15对商仆过河问题数学建模论文

数
学
建
模
题目：商仆过河问题
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目录
1.摘要 (3)
2.问题的提出 (3)
3.问题的分析 (4)
4.模型的假设 (5)
5.模型的建立与解 (5)
6.模型的符号 (6)
7.模型的解 (6)
8.模型的图解 (8)
9.关于C语言的程序算法 (10)
10.模型的优缺点 (14)
11.参考文献 (15)
摘要：
本文针对商人安全渡河问题，采用多步决策的过程建立数学模型，求解得到了在随从没杀人越货的情况下的渡河方案。

对于本题而言，在3(15)对商仆、船最大容量为2（8）人的情况下，首先定义了渡河前此岸的状态，并设安全渡河条件下的状态集合定义为允许状态集合，接着得到渡河方案的允许决策集合，然后得到状态随从渡河方案变化的规律。

利用c软件编译运行程序得到了一种商人安全渡河的方案，并输出了允许的状态向量和允许的决策向量。

关键词：船载量、允许状态向量、允许决策向量
一．问题的提出
仆人们密约，在河的任何一边，只要仆人的数量超过商人的
数量，仆人就会联合起来将商人杀死并抢夺其财物，三名商
人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳两人，由他们
自己划行。

在河的任意一岸，一旦随从的人数比商人多，商
人就有危险．但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。

商人们怎样才能安全渡河呢？同时，推广到十五名商人带十
五名随从又如何？
二．问题的分析
1.安全渡河问题可以看成一个多步决策过程，船由此岸驶向
彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员(商人随从各几
人)作出决策。

2.状态向量：用二维坐标向量表示（商，仆）：0<=H<=3(11),
0<=S<=3(11)，
例如：（3，3，）（5，0）（6，4）等均成立
3.允许向量：由题意可知，仆人数少于商人数被选定为允许
向量。

4.运载向量：利用二维向量(m,n)表示船只上的商仆数量。

5.可行的运载向量：满足二维向量(m,n)，0<=n<=m<=3(15)。

枚举所有可能的算法：（1，0）（2，0）（3，0）（4，0）（5，
0）（6，0）（7，0）（8，0）（1，1）（2，2）（3，3）（4，4）
（2，1）（3，2）（4，3）
6.可取用状态向量：利用穷举法表示状态，利用递归算法进
行模型的建立与运算
7.运载向量：使用二维向量进行表示（商，仆）：0<=商
<=3(11),0<=仆<=3(11)
8.该模型使用逻辑运算法则进行数学模型的建立
三．模型的假设
(1)每个商人和他的随从均会划船
(2)只有一条船，且船只的承载数量为8人
(3)船在划行的状况下不受任何的外力干扰
(4)不存在任意几人不能同时坐船的情况
四．模型的建立与解
由题目可知，3(15)对商仆过河，船载量为2(8)人，现记第K次渡河前的商人数为Xk,仆人数为Yk,k=1,2,…,(2)8,再记一组
二维向量Ak=(Xk,Yk)，Ak为给定时的状态量，可记做C的表达
式为：
C=｛(x,y)|x=0,y=0,1,…,(3)15=y=0,1,…,(3)15=y=0,1,…,(3)15
再记第K次渡河时船上的商人数为uk,仆人数为vk,记二维向量Bk=(uk,vk),可知小船此时的运载为D，D的表达式为;
D ={(u,v)|1<=u+v<=2(8),u,v=0,1,…,2(8)}
由上题目中的题意可知第K+1次时的情况为E ：
E=Ak+(-1)^k*Dk最终直到3(15)对商仆全部过河时完成问题
五．模型的符号
A 表示起始状态下商仆所在一岸
B 表示末状态商仆所在一岸
S 表示商仆的对数
K 表示船最多的载人数
C 渡河时的一侧岸边的商仆数
D 小船运载的商仆数量
E 第k次渡河是的商仆数量
Ak 河岸一边的商人数
Bk 河岸一边的仆人数
Ck 河岸另一边的商人数
Dk 河岸另一边的仆人数
六．模型的解
（1）利用程序框图来解决过河问题
根据题意状态转移必须满足以下规则;
(1). Z从1变0或0变1交替进行。

(2).Z从1变为0即从河的此岸到彼岸，此案的人数减少1或2；即(m,n,1) →(u,v,0)时，两岸的人数满足m>=n且u>=v，且m+n-1=u+v 或m+n-2=u+v。

(3) Z从0变为1时，即从河的彼岸到此案，则此案的人数增加1或2；即(u,v,0) → (m,n,1)时，两岸的人数满足m>=n ，u>=v ，
m+n+1=u+v或m+n+2=u+v。

(4)对重复出现过的状态不计入安全状态，如（3,3,1）→（3,2,0）→（3,3,1）
最终，我们可以得到如下的四种解法：
第一种解法：
第二种解法：
第三种解法：
第四种解法：
（2）利用C的程序来求解过河问题
1.建立一维数组P1[],P2[],pp[]，分别代表河的一岸的商仆
数，船只承载的商仆数，河的另一岸的商仆数。

2.已知船只承载量，利用动态规划的核心思想，统筹规划
选定第一次过河的商仆数，保证P1，P2，PP数组均无
冲突变量产生。

3.完成一次单向承载后，保证在船只可以有人划行返回的
状况下，P1，P2，PP不发生冲突。

4.利用递归的方法，以此类推，在第2次到第K次的船只
运输时，保证P1，P2，PP不发生冲突。

5.重复第4步骤直到完成过河。

6.此模型的过河方案的步骤记作第1次方案
7.利用动态规划思想重新设计渡河方案，完成k次运算结
果。

8.利用贪心算法比较数据，选出对此模型的最优解。

七．模型的图解
（1）关于渡河时可完成任务的条件图例1.原始状况下仅有3对商仆时的情形图例：
1.关于当商仆数为3时的标准作图：
第一步：0商2仆过河0商1仆返回
第二步：0商2仆过河0商1仆返回
第三步：0仆2商过河1商1仆返回
第四步：0仆2商过河0商1仆返回
第五步：0商2仆过河0商1仆返回
第六步：0商2仆过河完成
2.由3对商仆延伸至15对商仆时：
第一步：0商7仆过河 0商1仆返回第二步：7商1仆过河 1商1仆返回第三步 4商4仆过河 1商1仆返回第四步：4商4仆过河 1商1仆返回第五步：3商3仆过河完成
(2)关于渡河时的商仆数与船只承载量的关系：
八．关于C语言的程序算法
(1)关于过河问题的C语言程序
#include <stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
struct node
{
int x1;
int y1;
int state;
struct node *next;
};
typedef struct node state;
typedef state *link;
link PP1=NULL;
link PP2=NULL;
int a1,b1;
int a2,b2;
void Push(int a,int b,int n)
{
link newnode;
newnode=(link)malloc(sizeof(state));
newnode-> x1=a;
newnode-> y1=b;
newnode-> state=n;
newnode-> next=NULL;
if(PP1==NULL)
{
PP1=newnode;
PP2=newnode;
}
else
{
PP2-> next=newnode;
PP2=newnode;
}
}
void Pop()
link p;
if(PP1==PP2)
{
free(PP1);
PP1=NULL;
PP2=NULL;
}
p=PP1;
while(p-> next!=PP2)
p=p-> next;
free(PP2);
PP2=pr;
PP2-> next=NULL;
}
int history(int a,int b,int n)
{
link pr;
if(PP1==NULL)
return 1;
else
{
p=PP1;
while(p!=NULL)
{
if(p-> x==a&&p-> y==b&&p-> state==n) return 0;
p=p-> next;
}
return 1;
}
}
int judge(int a,int b,int c,int d,int n)
{
if(history(a,b,n)==0) return 0;
if(a>=0&&b>=0&&a<=3&&b<=3&&c>=0&&d>=0&&c<=3&&d<=3&&a+c== 3&&b+d==3)
{
switch(n)
{
case 1:
{
if(a==3)
{
Push(a,b,n);
return 1;
}
else if(a==0)
{
Push(a,b,n);
return 1;
}
else if(a==b)
{
Push(a,b,n);
return 1;
}
else return 0;
}
case 0:
{
if(a==3)
{
Push(a,b,n);
return 1;
}
else if(a==0)
{
Push(a,b,n);
return 1;
}
else if(a> =b)
{
Push(a,b,n);
return 1;
}
else return 0;
}
}
}
else return 0;
}
main()
{
Judge();
Switch(Push)；
Getch(); }
(2)关于上述程序运算过后的图解实例：1.三对商仆的初始问题图例
2.十一对商仆过河问题图例
九．模型的优缺点
1.模型的优点
（1）采用了较为成熟的数学理论建立模型，可行度比较高；
（2）运用程序显示成TXT文档，易于读写插入；
（3）模型的求解运用了强大的Dev cpp 7.5软件，结果准确度
较高，便于推广与使用；
（4）通过C程序，能判断出“当任意个商人﹑任意个随从﹑
船的容量任意时，商人能否安全渡河？”的问题，使得所建
模型更加全面。

2.模型的缺点
（1）没有找到商人数﹑随从数及船的容量之间的数量关
系；
十．参考文献
1.数学建模与实验王涛等著清华大学出版社
2.初等数学建模黄忠裕著四川大学出版社
3.数学建模原理与案例冯杰等著科学出版社
4.数学建模实验（2000版）赫孝良著西安交通大学出
版社
5.数学建模导论（2003版）陈理荣等著北京邮电大学
出版社。