(完整版)实变函数题库集答案

实变函数试题库及参考答案本科
、题 1．设A,B 为集合，则A B UB A U B （用描述集合间关系的符号填写）
2．设A是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写）
3．如果E中聚点都属于E ，则称E是闭集
4．有限个开集的交是开集
5．设E1、E2是可测集，则m E1UE2 mE1 mE2 （用描述集合间关系的符号填写）
n*
6．设E ? n是可数集，则m E = 0
7．设f x 是定义在可测集E上的实函数，如果a ?1，E x f x a 是可测集，则称f x 在E上可测8．可测函数列的上极限也是可测函数
9．设f n x f x ，g n x g x ，则f n x g n x f x g x
10．设f x 在E上L可积，则f x 在E上可积
11．设A,B 为集合，则B A UA A （用描述集合间关系的符号填写）
12．设A 2k 1k 1,2,L ，则A=a（其中a表示自然数集N 的基数）
13．设E ? n，如果E 中没有不属于E，则称E 是闭集
14．任意个开集的并是开集
15．设E1、E2是可测集，且E1 E2 ，则mE1 mE2
16．设E 中只有孤立点，则m*E =0
17．设f x 是定义在可测集E上的实函数，如果 a ?1，E x f x a 是可测，则称f x 在E上可测18．可测函数列的下极限也是可测函数
19．设f n x f x ，g n x g x ，则f n x g n x f x g x
20．设n x 是E上的单调增收敛于f x 的非负简单函数列，则f x dx lim n x dx
E n E
21．设A,B 为集合，则A B UB B
22．设A为有理数集，则A=a（其中a表示自然数集N 的基数）
23．设E ? n，如果E 中的每个点都是内点，则称E是开集
24．有限个闭集的交是闭集
25．设E ? n，则m*E 0 26．设E是? n中的区间，则m*E =E的体积
27．设f x 是定义在可测集E上的实函数，如果 a ?1，E x f x a 是可测集，则称f x 在E上可测28．可测函数列的极限也是可测函数
29．设f n x f x ，g n x g x a.e. ，则f n x g x
30．设f n x 是E 上的非负可测函数列，且单调增收敛于f x ，由勒维定理，有
f x dx lim f
x dx
n
n
E n E
31．设A, B为集合，则B AI B UA=AU B
32．设A为无理数集，则A=c (其中c 表示自然数集0,1 的基数)
33．设E ? n，如果E 中没有不是内点的点，则称E是开集 34．任意个闭集的交是闭集
n n * * * c
35．设E ? n，称E是可测集，如果T ? n，m*T m* T I E m*T I E c
36．设E是外测度为零的集合，且F E，则m*F=0
37．设f x 是定义在可测集E上的实函数，如果a ?1，E x a f x b 是可测，( a b)则称f x 在E 上可测
38．可测函数列的上确界也是可测函数
39．设f n x f x ，g n x g x a.e. ，则f n x g n x f x g x
40．设f n x f x ，那么由黎斯定理，f n x 有子列f n k x ，使f n k x f x a.e. 于E
41.设A, B为两个集合 ,则A B__ AI B c.(等于)
42.设E R ,如果E 满足E E (其中E 表示E 的导集 ), 则E 是闭 .
43.若开区间( , )为直线上开集G的一个构成区间 ,则( , )满(i) (a,b) G (ii) a G,b G
44.设A为无限集 .则A的基数A__a(其中a表示自然数集N 的基数) 答案：
45.设E1,E2为可测集 , mE2 ,则m( E1 E2) __ mE1 mE2. 答案：
46.设f (x)是定义在可测集E上的实函数 ,若对任意实数a,都有E［x f(x) a］是可测集E上的可测函数 .
47.设x0是E( R)的内点 ,则m*E__0. 答案
48.设f n(x) 为可测集E 上的可测函数列 ,且f n(x) ____________ f(x),x E,则由黎斯 __定理可知得 ,存在f n(x) 的子列
a.e
f n k(x) ,使得f n k(x) f (x) (x E).
49.设f (x)为可测集E( R n)上的可测函数 ,则f(x)在E上的L积分值不一定存在且| f(x)|在E上不一定L可积.
50.若f ( x)是［ a, b］上的绝对连续函数 ,则f (x)是［a,b］上的有界变差函数
51．设A, B为集合，则A U B ___(B A)U A 答案= 52．设E R n，如果E满足E0 E(其中E0表示E的内部)，则E是开集
53．设G为直线上的开集，若开区间(a,b)满足(a,b) G且a G,b G，则(a,b)必为G的构成区间
54．设A {x|x 2n,n为自然数} ，则A的基数= a (其中a表示自然数集N的基数)
55．设A, B为可测集，B A且mB ，则mA mB__m(A B) 答案 =
56．设f (x) 是可测集E上的可测函数，则对任意实数a,b(a b)，都有E［x a f(x) b］是可测集57．若E( R)是可数集，则mE__0 答案=
a.e
58．设f n(x) 为可测集E上的可测函数列，f(x) 为E上的可测函数，如果f n(x) f(x) (x E) ，则
f n(x) f(x) x E不一定成立
59．设f (x)为可测集E( R n)上的非负可测函数，则f(x)在E上的L积分值一定存在
60．若f (x) 是［a,b］上的有界变差函数，则f (x)必可表示成两个递增函数的差(或递减函数的差) 多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案)
1．设E 0,1 中无理数，则( ACD )
A E 是不可数集
B E 是闭集
C E 中没有内点
D m
E 1
2．设E ? n是无限集，则( AB )
A E 可以和自身的某个真子集对等
B E a(a 为自然数集的基数)
CE
D m*
E 0
3．设f x 是E 上的可测函数，则( ABD )
A 函数f x 在E 上可测
B f x 在E 的可测子集上可测
C f x 是有界的
D f x 是简单函数的极限
4．设f x 是a,b 上的有界函数，且黎曼可积，则( ABC )
A f x 在a,b 上可测
B f x 在a,b 上L可积
C f x 在 a,b 上几乎处处连续
D f x 在 a, b 上几乎处处等于某个连续函数
设 E ? n
，如果 E 至少有一个内点，则（ BD ） m E 可以等于 0 B m E 0 C E 可能是可数集 D E 不可能是可数集
5．
6． 设 E ? n
是无限集，则（ AB ）
E 含有可数子集 B E 不一定有聚点 C E 含有内点 D E 是无界的
7． 设 f x 是 E 上的可测函数，则（ BD )
函数 f x 在 E 上可测
f x 是非负简单函数列的极限 f x 是有界的
8． 设 f x 是 a,
b 上的连续函数，则（ ABD )
A f x
在 a,b
上可测
B f x 在
a,b b
上 L 可积，且 R f x dx L
f x dx
a b
a ,
b C f x 在 a,b 上 L 可积，但 R f x dx L f x
a
a ,b
D f x 在 a,b 上有界
9． 设 D x 是狄利克莱函数，即
x 为 x
0,1 中有理数 ，则（ BCD ）
中无理数 10．设
x 几乎处处等于 1
x 是非负可测函数
n*
E ? n
， m *
E 0 ，
Dx 则（ ABD
几乎处处等于 0 是 L 可积函数
11． E 是可测集 B E 的任何子集是可测集 C E 是可数集 D E 不一定是可数集
设
E n
， E x
1 x E
c
，则( AB ) E 0 x E c
当 E 是可测集时， E x 是可测函数
E
x 是可测函数时， E 是可测集
f x 在 E 的可测子集上
D 当
E x 是不是可测函数时，E不一定是可测集
12．设f x 是a,b 上的连续函数，则（ BD ）
A f x 在a,b 上有界
B f x 在a,b 上可测
C f x 在a,b 上L可积
D f x 在a,b 上不一定L 可积
13．设f x 在可测集E上L可积，则（ AC ）
A f x ，f x 都是E上的非负可积函数
B f x 和f x 有一个在E上的非负可积
C f x 在E 上L 可积
D f x 在
E 上不一定L 可积
14．设E ? n是可测集，则（ AD ）
A E c是可测集
B mE
C E 的子集是可测集
D E的可数子集是可测集
15
．设f n x f x ，则（ CD ）
A f n x 几乎处处收敛于f x
B f n x 一致收敛于f x
C f
n x 有子列f
n
x ，使f
n
x f x a.e. 于E
D f n x 可能几乎处处收敛于f x
16．设f x 是a,b 上有界函数，且L 可积，则（ BD ）
A f x 在a,b 上黎曼可积
B f x 在a,b 上可测
C f x 在a,b 上几乎处处连续
D f x 在a,b 上不一定连续
17. 设E {[0,1] 中的无理点} ,则（CD）
（A ）E是可数集（B）E是闭集（C）E中的每个点均是聚点（D）mE 0 18.若E（R）至少有一个内点，则（ BD ）
A) m * E 可以等于０ (B)m *
E 0 (C) E 可能是可数集 (D) E 不可能是可数集
设 f (x) 是[a,b] 上的单调函数，则( ACD)
f n (x) f ( x),( x E) ，则下列哪些结果不一定成立( ABCD
(A) f (x)dx 存在
(B) f(x)在 E 上L -可积 a.e
(C
)
f n (x) f (x) (x E) (D) lim
f n (x)dx f(x)dx
n E E
24．若可测集 E 上的可测函数 f(x)在E 上有 L 积分值，则( AD ) A) f (x) L(E) 与 f (x) L (E)至少有一个
成立 B) f (x)
L(E) 且
f
(x) L(E)
C) |f(x)|在 E 上也
有
L - 积分值
D)
| f(x)|
L(E)
、单项选择
1． 下列集合关系成立的是(
A )
A B A I A B A B IA
C
A B UB A D B A UA B
2． 若E R n 是开集， 则( B
)
A E E
B E 0
E C E E D E E
19． 设E [a,b] 是可测集，则
E 的特征函数 E (x) 是( ABC ) A) [a,b] 上的符号函数 C) E 上的连续函数 B) [a,b] 上的可测函数 D)[a,b] 上的连续函数
20． 21． A) C) 设E f (x) 是 [a,b] 上的有界变差函数 f (x) 在[a,b] 上几乎处处收敛 {[0,1] 中的有理点 } ，则( AC B) f(x) 是[a,b] 上的绝对连续函数 D) f(x) 在[a,b] 上几乎处处可导 A) E 是可数集
mE 0
B ) E 是闭集
D )
E 中的每一点均为 E 的
22．若 E( R) 的外测度为 0，则( AB )
A) E 是可测集 C) E 一定是可数B) mE 0 D) E 一定不是可数
23 ．设 mE
， f n (x) 为 E 上几乎处处有限的可测函数列， f(x) 为 E 上几乎处处有限的可测函数，如果
4．设f n x 是E 上一列非负可测
函数，
则
（
B
）E
l
n
im
f n
En
d
x
li
m
n
x
dx
E
lim
f n
E
n
d
x
li
m
n
x
dx
E
l
n
im
f n
En
d
x
li
m
n
x
dx
lim
E
f n
n E
dx
E
lim
f n
E
n
5．列集合关系成立的
是（
I
A c
U
A U A c
I
A c
U
A
6．若E R n是闭集，
则
E0
7．A 9．设E 为无理数集，
E 为闭集B 下列集
合关系成立的是（
C ）
E 是不可测
集
B ）
则
（mE
I
A c A c
U
A A c U A c
10．设R
n
，则
( A )
A E EE D E
D m
E 0
P为康托集，则( B B mP
11．设
A P 是可数集
13．下列集合关系成立的是（）
A）
P 是不可数
集
D P 是开
集
B
则B c A c B则A c B c
B则AI BB B则AUB
14．设E R n，则
A E E0 CE ED
15．设E x,
0x 则
（ B ）
A mE mE 2
C E是R2中闭集
2
E是R2中完备集
16．设f x ，g x 是E 上的可测函数，则（ B ）
21．下列集合关系成立的是( A )
A)E 0
C) E
23. 设 Q 的有理数集，则(
四、判断题
A Ex f x g x 不一定是可测集
B Ex f x g x 是可测集
C Ex f x g x
是不可测集
D Ex f x g x 不一定是可测
集
１7 ．下列集合关系成立的是( A )
(A) (A B)UB
AUB (B) (A B)U B A
(C) (B A)U A A (D ) B A A
18.
若E R n
是开集，则 ( B )
(A) E 的导集 E (B) E 的开核 E
(C) EE
(D) E 的导集 E
19. 设 P 的康托集，则 (C)
(A) P
为可数集
(B) P 为开集
(C) mP 0
( D) mP 1
设 20、 E 是 R 1
中的可测集， (x)是 E 上的简单函数，则
A) (x)是 E 上的连续函数 B) (x) 是E 上的单调函数 C) (x)在 E 上一定不 L 可积
D) (x) 是 E 上的可测函数
A) AI (BUC) (AI B)U (AI C) B) (A B)I A C)(B A)I A D) AUB
AI B
22. 若 E R n
是闭集，则
B) D)
A ) mQ 0 B) Q 为闭集 C) mQ 0
D) Q 为不可测集
24.设 E 是 R n
中的可测集， f(x)为 E 上的可测函数，若 f
(x)dx
0 ，则
A)在 E 上， f ( x)不一定恒为零 B)在 E 上， f (x) C)在 E 上， f(x) 0
D)在 E 上， f (x)
1. 可数个闭集的并是闭集 .
2. 可数个可测集的并是可测集 .
3. 相等的集合是对等的 .
4. 称 f x ,g x 在 E 上几乎处处相等是指使
（ × ）
（ √ ）
（ √ ）
g x 的x 全体是可测集 . （ √ ）
5. 可数个 F 集的交是 F 集 .
6. 可数个可测函数的和使可测函数 .
7. 对等的集合是相等的 .
8. 称 f x ,g x 在 E 上几乎处处相等是指使
（ × ） （√） （× ）
x g x 的 x 全体是零测集 . （ × ）
9. 可数个 G 集的并是 G 集 . 10. 零测集上的函数是可测函数 .
11. 对等的集合不一定相等 .
12. 称 f x ,g x 在 E 上几乎处处相等是指使 f
13. 可数个开集的交是开集
14. 可测函数不一定是连续函数 . 15. 对等的集合有相同的基数 .
16. 称 f x ,g x 在 E 上几乎处处相等是指使 f
17. 可列个闭集的并集仍为闭集 18. 任何无限集均含有一个可列子集 19. 设 E 为可测集，则一定存在 G 集 G ，
使 E
√） （ √ ） （ √ ）
x g
x
的 x 全体是零测集 . （
√）
（ × ）
x
g
x （ √ ）
（ √ ）
0 （ × ）
的 x 全体的测度
（ × ）
（ √ ） G 且 m G E 0.
( √ ）
21. 设 f x 为可测集 E 上的非负可测函数，则
22. 可列个开集的交集仍为开集 23. 任何无限集均是可列集
24. 设 E 为可测集，则一定存在 F 集 F ，使 F
25. 设 E 为 零 测 集 ， 则 f x 为 E 上 的 可 测 函 数 的 充 要 条 件 是 ： 实 数 a 都 有 E x f （x ） a √）
26. 设 f x 为可测集 E 上的可测函数，则 f x dx 一定存在 . E 五、简答题
1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合 . 答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集 合 A ， A 的幂集 2A
的基数大于 A 的基
x L E （ × ）
（× ）
（ × ）
E ，且 m E
F 0.
（ √ ）
x 不一 定是 E 上的可测
函数（
×） 20. 设 E 为零测集， x 为 E 上的实函数，则 是可测集 ×）
数 .
2.简述点集的边界点，聚点和内点的关系 .
答 : 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点 .
3.简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限
4.a,b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差 .
5.简述集合对等的基本性质 .
答：A: A；若A: B，则B: A；若A: B，且B : C，则A: C.
6.简述点集的内点、聚点、边界点和孤立点之间关系. 答：内点一定是聚点，内点不是孤立点，边界点由点集的孤立点和聚点组成 .
7.可测集与开集、G 集有什么关系？
答：设E是可测集，则0，开集G，使G E，使m G E ，或G 集G，使G E，且m G E 0.
8.a,b 上单调函数、有界变差函数与绝对连续函数有什么关系？答：绝对连续函数是有界变差函数，反之不然；有界变差函数是单调增函数的差，而单调函数是有界变差函数 .
9.简述证明集合对等的伯恩斯坦定理 .
答：若A: B B ，又B: A A，则A: B
10.简述R1中开集的结构 .
答: 设G为R1中开集，则G可表示成R1中至多可数个互不相交的开区间的并 .
11.可测集与闭集、F集有什么关系？
答：设E是可测集，则0，闭集F E ，使m E F或F集F E ，使m E F 0.
12.为什么说绝对连续函数几乎处处可微？答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微 .
13.简述连续集的基数大于可数集的基数的理由 .
答 :连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数 . 14.简述R n中开集的结构 .
答：R n中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并
15.可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？
答：设f n x , f x 是可测集E 上的一列可测函数，那
当mE 时，f n x f x ,a.e 于E ，必有f n x f x .
反之不成立，但不论mE 还是mE ，f n x 存在子列f n k x ，使f n x f x ,a.e于E .
当mE 时，f n x f x ,a.e 于E ，由Egoroff 定理可得f n x 近一致收敛于f x ，反之，无需条件mE ，结论也成立 .
16.为什么说有界变差函数几乎处处可微？答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微 .
17.简述无穷多个开集的交集是否必为开集？
11 答：不一定，如 I 1 1
, 1 1
1,1 n 1
n n
18. 可测集 E 上的可测函数与简单函数有什么关系？ 答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式 19. a,b 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？
答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差 20. 简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？
11 答：不一定 如 U 1 , 1 1,1 n 1
n n
21. 可测集 E 上的可测函数与连续函数有什么关系？
答： E 上连续函数必为可测函数但 E 上的可测函数不一定时连续函数， E 上可测函数在 E 上是“基本上”
22. a,b 上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？
答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数 六、计算题
2
x
xE
，其中 E 为
0,1
中有理数集，求 f
1. 设 f x
3
x
x dx
x 0,1 E
0,1
解：因为 mE 0， 所以 f x x 3
,a.e 于
0,1 ， 于是 f x dx
x 3dx
，
0,1 0,1
而 x 3
在 0,1 上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，
1 x r 1,r 2,L r n
0 x 0,1 r 1,r 2,L ，求
lim f n x dx .
n
0,1
因此
lim
f n x dx 0.
n
0,1
解：因为 mP 0 ，所以 f x x 2
, a.e 于 0,1
3
1 3
x 3dx
R
x 3dx
0,1
因此 f x dx 1
0,1
4
.
4
x
44|1
解：显然 f n x 在 0,1 上可测，另外由 f n x 定
义知， f n x 0,a.e 于 0,1 n
1
所以 f n
x dx
0,1
0dx 0
0,1
连续的函数 2. 设 r n 为 0,1 中全体有
f n x
3. 设 f x
sinx
xP
x 0,1 P
P 为康托集，求
x dx .
于是 f x dx
x 2
dx
0,1 0,1
2
而 x 2
在 0,1 上连续，所以
解：因为 f n x 在 0,1 上连续，所以可测 n 1,2,L
而 lim 2 2 0 ，所以 lim f n x 0. n 1 n 2 x 2
n
因此由有界控制收敛定理
lim f n x dx
li f n x dx
0dx 0
n
0,1
0,1
n
0,1
3
x
x E
5. 设 x
， E 为 0, 中有理数集，求 f
x dx
cosx x 0, E
2
2 0,
2
解：因为 mE 0 ，所以
x cosx,a.e 于 0,1
0,
2
而 cosx 在 0, 上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式
2 cos
xdx
0,1
R 2
cos xdx
sin x|02
1
因此
f x dx 1
0,
2
6. 设
f n x nxcos nx 0,1
， 求
lim f n x dx n 0,1
1 2 2 ,x nx 解：因为 f n x 在 0,1 上连续，所以可测 n 1,2,L
x 2dx
0,1 x 2
dx
|
1
因此 0,1 x dx
4. 设 f
n
x nxsin
nx 2 2 ,x 1 n x
0,1 ，求
lim f n x dx . n
0,1 又
f n x
nxsin nx
22
nx
nx nx 1
1 n 2x
2 2nx 2
,x 0,1 ,n 1,2,L
于是 f x dx cos xdx 0,
2
又 f
n nxcos
nx 22
nx nx 22 1 n x 因此由有界控制收敛
定理
而
lim n 0，所
以
lim n 0,1 n x dx
0,1
li
m
n 7. 设 f
x
3
sin x
解：因为
mP 0
，
所以 f
nx
22
1 n x lim f n x n
x dx
0,1
nx 1 2nx 2,x 0.
0dx 0
0,1
P 为康托
集，
x, a.e 于 0,1
而 x 在 0,1 上连续，所以
1 2
x 2
1 1
xdx R
x dx |0 0,1
0 2 0
2
因此 f x dx 1
.
0,1
2
l n x n
x 8. 求
e cos xdx .
n 0,n
n
ln x n
解：令 f n x
0,n x
n
显然 f n
x 在 0, 上可测，且 ln x n
e cos xdx
f n 0,n n
0, ln x n x 因为 f n x
e cosx
n
于是
f x dx xdx
0,1 0,1
x
e cosx
x dx 0,1 ,n 0,1
1,2,L
x dx .
ln x n
, x 0, ,n 1,2,L n ln x n
不难验证 g n x ，当 n 足够大时，是单调递减非负函数，且 n
lim g n x 0 ，所
以 n lim
n
ln x n
dx n
lim
n
g n x dx
l n im g n x 0, n
0dx 0
由勒贝格控制收敛定理
lim f n x dx 0 n
0,
ln x n x 故
lim e cos xdx 0. n
n
0,n
9. 设 D
x
1 x 为 0，1 上的有
理点 0 x 为 0，1 上的无理点 ，求 D x dx .
0，1 证明 记 E
1 是 0,1
中有理数集， E
2 是 0,1 中无理数集，则 0,
1
E 1 U E 2, E 1 I E 2 ， mE 1 0,mE 2 1，且
E
2
所以 D x dx 1mE 1 0mE 2 0,1 0.
10 求 l n im
0 ln x n x
e cos xdx . n 证明 易知 li
m
n
ln x n x e cosx 0
n
对任意 0,n
1， ln x n e
n x cos
x
ln x n
f(y ) ln x y 0 ，则 f (y)
y
ln
xy 2
y
xy y 3
时，
y
xy
ln x y ， f (y)
0.
f
(n) l n xn
是单调减函数且非负（ n 3 ）；
l n lim n
li m
n 再由 li
m
n xn li m n
0，由 Levi 单调收敛定理得
xn ln x n 0
dx n
0 l n im
ln x n dx n 0 0dx 0 ， ln x n
L(E)，
Lebsgue 控制收敛定
理得
ln x n x e cos
xdx 0n ln x lim n
n
n
x e cos xdx
0dx
2
x
11. 设 f x 3
x 3
x 0,1
xP ，其中 P 为康托集，求
dx .
解：因为 P 为康托集，故 mP 0，m 0,1 P 1
七、证明题
证明 设{r n } 为全体有理数所成之集，则
g(x)] U E[x| f (x) r n ]I E[x|g(x) r n ] n1
因为 f (x),g(x)是 E 上的可测函数，所以 E[x| f (x) r n ]， E[x|g(x) r n ]是可测集， n 1,2,L ，于是由可测
所以 f x x 3
2
0,1 P
x
P
所以
0,1
x dx
23
x mP x m 0,1 P
12. 求 f n
nx
E
0,1 ，求 lim
n
x dx .
解：易知： 令 f n x
nx lim
2 2 n 1 n 2x
2 nx
2 2
,g
x
0,1
1n
n
x
nx 1 n 2x 2
2 2 3
n x
nx nx 2 2 2 gx
1 n x
2 1 nx n x 0
nx 2
n 2 所以 0 n x gx x 0,1,n 1
又因为 g x 在 0,1 上 Lebesgue 可积， 所以由控制收敛定理，得 li
m 1
n n x
2x 2dx
E 1 n x
0dx
E
1．证明集合等式： (A B)U B AUB 证明 c
(A B)U B (AI B c
)U B
c (AI B c
)U(AI B)UB
c
AI (BUB c
)U B AUB
2．设 E 是 [0,1] 中的无理数集，则 E 是可测集，且 mE 1 证明 设 F 是 [0,1] 中的有 理数集 ，则 F 是可数 集， 从 而 m *
F 0 ，因此 F 是 可测集，从而 F c
可 测， E [0,1] F [0,1] I F c
，故 E 是可测集 .由于 EI F ，所以
1 m[0,1] m(E UF) mE mF 0
mF ，故 mF 1
3．设 f (x),g(x)是 E 上的可测函数，则 E[x| f (x) g( x)]是可测集
E[x| f(x) g(x)] U E[x| f (x) r n n1
集性质知 E[x|f(x) g(x)] 是可测集
因为 f (x)在E 上可测，所以 | f (x) |在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质，
E[x|f(x)| a]adx E[x|f(x)| a]| f(x)|dx E |f(x)|dx
E[x|f(x)| a]
adx a mE[x |f (x)| a]
，所以
4．设 f (x)是E 上的可测函数，则对任何常数 a 0，有 mE[x |f (x)| a]
1
a 1
E | f ( x)
证明 5．设 li m mE[x | f(x)|
f ( x) 是 E 上的
L 可积函数， f ( x)dx
证明 因为 lim
mE
0，所以 对连续性，
0, 0,当e 于是当 n N 时， m E n 6．证明集合等式： ( A B)
证明 A (A B ) 7．设 证明 1
a] a 1
E | f(x)|dx
{E n }是 E 的一列可测子集，且 lim mE n 0，则 0, N E, me 因此 |
E A I (AI B c )c
A I
(AI A c
)U (A I A 1,A 2 是[0,1] 的可测子集，且 mA 1 因为 A 1 [0,1], A 2 [0,1] ，所以 另一方面， 1 ，当 n N 时， mE n ，又 f ( x) 在 E 上 L 时| f (x)dx| f ( x)dx |
，即 lim f ( x)dx 0
n E n 可积，所以由积分的绝 (A c U(B c )c
) B) A I B
mA 2 1 ，则 AI (A c
UB)
m(A 1 I A 2) 0
A 1UA 2 [0,1] ，于是 m( A 1 U A 2 ) m[0,1] 1 A 1U A 2 [A 1 (A 1I A 2)] U A 2 ，所以
m(A 1 U A 2 ) m [A 1 (A 1I A 2)]UA 2
m[A 1 (A 1I A 2)] mA 2 mA 1 m(A 1I A 2) mA 2
于是
m(A 1I A 2) mA 1 mA 2 m(A 1U A 2) 0
8．设 f (x)是定义在可测集 E R n
上的实函数， E n 为 E 的可测子集
n 1,2,L )，且 E U E n ，则 f (x) 在 E 上
n1
可测的充要条件是 f (x) 在每个 E n 上可测 证明 对任何实数
a ，因为
E[x| f(x) a] U E n [x| f(x) a] U (E n I E[x| f(x) a])
所以 f (x)在E 上可测的充要条件是对每个 n 1,2,L ， f ( x)在每个 E n 上可测
9．设 f (x)是 E 上的可测函数，则对任何常数 a 0，有 mE[x| f (x) a] e a E e
f(x)
dx
a
f (x)
f (x)
e dx e dx e dx E[x|f(x) a] E[x|
f (x) a] E
aa
而
E[x|f(x) a]
e a dx e a
mE[x| f (x) a]，
m *
F 0 ，于是由卡氏条件易知 F 是可测集
f n (x)
g n (x) f (x) g(x)
.证明 对任何正数 0 ，由于
|( f n (x) g n (x)) ( f (x) g(x))| | f n (x) f (x)| |g n (x) g(x)|
所以 E[x |(f n (x) g n (x)) (f (x) g(x))| ]
E[x | f n (x) f (x)| 2]U E[x |g n (x) g(x)| 2]
于是 mE[x |(f n (x) g n (x)) (f (x) g(x))| ]
mE[x | f n (x) f (x)| ] mE[x |g n (x) g(x) | ] 0(n )
22
证 明 因 为 f (x) 在 E 上 可 测 ， 所
以 e f(x)
是 非 负 可 测 函
数，于是由非负可测函数积分性质，
所以
mE[x| f (x) a]
e a
e f (x )
dx
E
10．设 f (x) 是 E 上的可积函数， { E n } 为 E 的一列可测子集， mE ，如果 lim mE n mE
n
则
lim n
E f
( x)dx
E f ( x)dx 证明 因 f ( x) 在 E 上 L 可积， 由积分的绝对连续性知，对任意 0 ，存在 0， 对任何 A E ， 当 mA
有| A f (x)dx | ， 由 于
lim mE n mE n
，故对上述的
0，存在 k 0 ， 当 n k 0 时 E n
E ， 且有
mE mE n m( E E n )
| E f ( x)dx E
f (x)dx| | E E f (x)dx|
lim f ( x)dx
E f (x)dx 11．证明集合等式： (AU B) C (A C) U(B C)
证明 (AUB) C (AU B)I C c (AI C c )U(BI C c
)
(A C)U (B C)
12．设 E R n
是零测集，则 E 的任何子集 F 是可测集，且
mF 证明 设 F E ， m *
E 0，由外测度的单调性和非负性， m
F mE 0 ， 所以
13． 设 f n (x),g n (x), f (x), g( x) 是 E 上 几 乎 处 处 有 限 的可 测 函 数 ， 且 f n (x) f (x) ，g n (x) g(x) ，则
故f n(x) g n(x) f (x) g(x)
14．设f(x),g(x)是E上L 可积函数，则f2(x) g2(x)在E上也是L 可积的证明因f(x),g(x)是E上L 可积，所以|f(x)|,|g(x)|在E上L 可积，从而
| f(x)| |g(x)| L 可积，
又f2(x) g2(x) (| f(x)| |g(x)|)2 | f(x)| |g(x)|
故f 2(x) g2 (x) 在E 上L 可积
15．设f (x)是可测集E上的非负可测函数，如果 f (x)dx 0，则f(x) 0 a.e 于E
证明反证，令A E[x| f(x) 0]，则由f (x)的可测性知，A是可测集 .下证mA 0，若不然，则mA 0
1
由于A E[x| f(x) 0] U E[x| f(x) ] ，所以存在N 1，使
n1 n
1 mE[x| f (x) ]
N d 0
于是E
f
( x)dx
1 f
( x)dx
E[x|f (x)
1
]
E[x|f(x) N
1
] N1dx N1mE[x| f(x) N1] N d0
因此
f
( x)dx E
0 ，矛盾，故f
(x) 0 a.e 于E
16．证明等式：A (B UC) (A B)I (A C)
证明
c c c c c
A (BUC) AI (BUC)c AI (
B c I
C c) (AI B c)I (AI C c) (A B)I (A C) 17．设E R n是有界集，则m*E
.证明因为E是有界集，所以存在开区间I ，使E I 由外测度的单调性，m*E m*I ，而m*I |I |
m *
E
1
18．R1上的实值连续函数f (x) 是可测函数证明因为f ( x)连续，所以对任何实数a，｛x| f(x) a｝是开集，而开集为可测集，因此f(x)是可测函数
19．设mE ，函数f (x)在E上有界可测，则f(x)在E上L 可积，从而[a,b]上的连续函数是L 可积的
证明因为f (x)在E上有界可测，所以存在M 0，使| f(x)| M ，x E，| f ( x) |是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，
| f(x)|dx Mdx M mE
故|f (x)|在E上L 可积，从而f(x)在E上L 可积
因为[a,b] 上的连续函数是有界可测函数，所以L 可积的
20．设f n(x)(n 1,2,L )是E上的L 可积函数，如果lim | f n( x) |dx 0，则f n(x) 0 n E n
证明对任何常数0，mE[x | f n(x)| ] E[x|f (x)| ]| f n(x)|dx
1
所以mE[x | f n(x)| ] 1E[x|f n(x)| ]| f n(x)|dx
1
E
| f n(x)|dx 0(n )
因此f n (x) 0
21. 证明集合等式：AUB C A C U B C .
证明AUB C AUB I C c AI C c U BI C c A C U B C
22. 设E0 0,1 中的有理点，则E0为可测集且mE0 0.
证明因为E0 为可数集，记为E0 r1,r2,L r n,L ，
0，取I n r n
2n 1,r n 2n 1 n 1,2,L
显然E0 UI n ，所以E0 UI n0 m E0 I n
n1 n1
n1 n12
让
，得m E0 0.
T
R n
，由于
T TI E0 U TI E
c
所以mT m TI E0 m TI E0c
c
c c
又TI E0c T,m E0 0，所以mT m TI E0c m TI E0 m TI E0c.
故mT m T I E0 m TI E0c
其中|I | 表示区间I 的体积)，所以
故E0 为可测集，且mE0 0
11
23. 证明：R1上的实值连续函数f x 必为R1上的可测函数
11
证明a,b R1，不妨假设a b，因为f x 是R1上的连续函数，故f x 是a,b 上的连续函数，记F
a,b ，由f x 在F 上连续，则M,m m M ，使m f x M ，则显然易证，R1,F f 是闭集，即f x
为a,b 上的可测函数，
由a,b的任意性可知，f x 是R1上的可测函数 .
24. 设f x L E ，E n为E的一列可测子集，mE ，如果lim mE n mE，则lim f x dx f x dx .
nn
E n E
证明因f (x)在E上L可积，由积分的绝对连续性知，对任意0，存在0，对任何A E，当mA 时有
|
A
f
( x)dx| m(E
由于lim mE n
n
mE ，故对上述的0 ，存在
k0 ，当
n k0 时E n E ，且有
E n)
，于
是
|
E
f (x)dx E
f(x)dx| |
E
E
E
n
E E
n
f
(x)dx
|
即
n lim
E
n f(x)dx
E
f (x)dx
25. 证明集合等
式：
A BUC ABU A C. 证明
A BUC AI BUC c AI
B c
I C
c
AI B c I AI
C c
ABI AC
26. 设E R1，
且mE
0 ，则E 为可测
集 .
证明T R n，由于
T R n T T I E UT I E c
所以mT mT IE m T I E c
又T I E c T,m E0 ，所以m
T
m T
I E
c m T I E m T I E c.
故mT m T I E m TI E c 所以E 为可测集
27. 证明：R1上的单调函数f x 必为可测函数
11
证明a,b R1，不妨假设a b，因为f x 是R1上的单调函数，不妨设f x 为单调增函数，故f x 是a,b 上
则
R 1
， 有
1) 当 sup f
x 时， E x f (x) ; xE 2) 当 inf f x 时， E x f (x) E; 3) 当 inf f x sup f x 1 时，必有 x 0 E I R ，使
xE xE
f x
0 0 ,f
x 0 或 f x 0 0 , f x 0 0 由 f x 的单调增知， E x f(x) EI x 0, 或 EI x 0, 在所有情况下， E x f(x) 都可测 . 即 f x 是 a,b 上的可测函数 由由 a,b 的任意性可知， f x 是 R 1
上的可测函数 .
充分性
28. 设 f x 为可测集 E R n 上的可测函数，则
f L E 的充要条件 证明 必要性 若 f x LE ， 因为 f x x ，且 f x L E 所以 f E
x dx, f E x dx 中至少有一个是有
限值，
dx x dx x
dx
因为 f x x ，且 f x
LE 所以 f E
dx, f E x dx 中至少有一个是有限值，
故f x dx
E
x dx f x dx ，E。