2015-2016年福建省厦门六中高一(下)期中数学试卷和答案

2015-2016学年福建省厦门六中高一（下）期中数学试卷
一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选
项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上.）1．（5分）直线的倾斜角α=（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（5分）已知A（2，0，1），B（1，﹣3，1），点M在x轴上，且到A、B两点的距离相等，则M的坐标为（）
A．（﹣3，0，0）B．（0，﹣3，0）C．（0，0，﹣3）D．（0，0，3）3．（5分）下列四个命题中错误的是（）
A．若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面
B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面
4．（5分）平面α，β和直线m，给出条件：①m⊂α；②m⊥α；③m∥α；④α∥β；⑤α⊥β．为使m∥β，应选择下面四个选项中的条件（）
A．①⑤B．①④C．②⑤D．③⑤
5．（5分）过点（3，﹣4）且在坐标轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y+1=0B．4x﹣3y=0
C．x+y+1=0或4x﹣3y=0D．4x+3y=0或x+y+1=0
6．（5分）已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB=2，CD=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为（）
A．90°B．45°C．60°D．30°
7．（5分）两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）
A．4B．C．D．
8．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2=1，则的取值范围是（）A．B．
C．D．
9．（5分）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC
旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）
A．B．C．D．
10．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
11．（5分）下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）
A．①②B．①④C．②③D．③④12．（5分）将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）
A．B．2+C．4+D．
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分，请将所选答案写在答题卷上）13．（5分）如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是．
14．（5分）已知圆锥的表面积为9πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为．
15．（5分）过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程．16．（5分）下面给出四个命题的表述：
①直线（3+m）x+4y﹣3+3m=0（m∈R）恒过定点（﹣3，3）；
②线段AB的端点B的坐标是（3，4），A在圆x2+y2=4上运动，则线段AB的中
点M的轨迹方程+（y﹣2）2=1
③已知M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈[﹣
，]；
④已知圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0，b＞0，c＞0）与x轴相交，与y轴
相离，则直线ax+by+c=0与直线x+y+1=0的交点在第二象限．
其中表述正确的是（（填上所有正确结论对应的序号）
三、解答题（共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
请将所选答案写在答题卷上）
17．（10分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3）．
（1）求AB边上的高线所在的直线方程；
（2）求三角形ABC的面积．
18．（12分）已知一个几何体的三视图如图所示．
（Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．
19．（12分）如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PC与⊙O所在的平面成45°角，E是PC中点．F为PB中点．
（1）求证：EF∥面ABC；
（2）求证：EF⊥面PAC；
（3）求三棱锥B﹣PAC的体积．
20．（12分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：
（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；
（2）证明：E G⊥D F．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．
（1）求证：平面PAB∥平面EFG；
（2）证明：平面EFG⊥平面PAD；
（3）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．
22．（12分）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙
O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（1）求实数a，b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．
2015-2016学年福建省厦门六中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选
项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上.）1．（5分）直线的倾斜角α=（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解答】解：直线的斜率等于﹣，即直线倾斜角的正切值是﹣，又倾斜角大于或等于0度且小于180°，
故直线的倾斜角为150°，
故选：D．
2．（5分）已知A（2，0，1），B（1，﹣3，1），点M在x轴上，且到A、B两点的距离相等，则M的坐标为（）
A．（﹣3，0，0）B．（0，﹣3，0）C．（0，0，﹣3）D．（0，0，3）【解答】解：设点M（x，0，0），则
∵A（2，0，1），B（1，﹣3，1），点M到A、B两点的距离相等，
∴=
∴x=﹣3
∴M点坐标为（﹣3，0，0）
故选：A．
3．（5分）下列四个命题中错误的是（）
A．若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面
B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面
【解答】解：A、由两条直线平行确定一个平面判断正确，故A不对；
B、根据三棱锥的四个顶点知，任意三点都不共线，故B不对；
C、若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行，故C对；
D、根据线面垂直的性质定理知，这两条直线平行，即不可能，故D不对．
故选：C．
4．（5分）平面α，β和直线m，给出条件：①m⊂α；②m⊥α；③m∥α；④α∥β；⑤α⊥β．为使m∥β，应选择下面四个选项中的条件（）
A．①⑤B．①④C．②⑤D．③⑤
【解答】解：∵m⊂α，α∥β，∴m∥β．
故①④⇒m∥β．
故选：B．
5．（5分）过点（3，﹣4）且在坐标轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y+1=0B．4x﹣3y=0
C．x+y+1=0或4x﹣3y=0D．4x+3y=0或x+y+1=0
【解答】解：当直线过原点时，方程为y=x，即4x+3y=0．
当直线不过原点时，设方程为x+y=a，把点（3，﹣4）代入可得a=﹣1，故直线的方程为x+y+1=0．
故选：D．
6．（5分）已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB=2，CD=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为（）
A．90°B．45°C．60°D．30°
【解答】解：设G为AD的中点，连接GF，GE，
则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线．
由此可得，GF∥AB且GF=AB=1，
GE∥CD，且GE=CD=2，
∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成角．
又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF
因此，Rt△EFG中，GF=1，GE=2，
由正弦的定义，得sin∠GEF==，可得∠GEF=30°．
∴EF与CD所成的角的度数为30°
故选：D．
7．（5分）两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）
A．4B．C．D．
【解答】解：∵直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，
∴，解得m=2．
因此，两条直线分别为3x+y﹣3=0与6x+2y+1=0，
即6x+2y﹣6=0与6x+2y+1=0．
∴两条直线之间的距离为d===．
故选：D．
8．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2=1，则的取值范围是（）A．B．
C．D．
【解答】解：如图，
设过P（2，0）的直线的斜率为k，
则直线方程为y=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k=0，
由坐标原点O（0，0）到直线kx﹣y﹣2k=0的距离等于1，得
，解得：k=．
∴的取值范围是[]．
故选：C．
9．（5分）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，
则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD
为轴截面的小圆锥后剩余的部分．
∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=ABsin60°=，
BE=ABcos60°=1，
V1==，V2==π，
∴V=V1﹣V2=，
故选：A．
10．（5分）已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：设P（x，y），要使∠APB=90°，那么P到AB中点（﹣1，2）的距离为，
而圆上的所有点到AB中点距离范围为[，
]，即[，3]，
所以使∠APB=90°的点P的个数只有一个，就是AB中点与圆心连线与圆的交点；故选：B．
11．（5分）下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）
A．①②B．①④C．②③D．③④
【解答】解：①如图所示，取棱BC的中点Q，连接MQ，PQ，NQ，可得四边形MNPQ为正方形，
且AB∥NQ，而NQ⊂平面MNPQ，AB⊄平面MNPQ，∴AB∥平面MNPQ，因此正确．
②由正方体可得：前后两个侧面平行，因此AB∥MNP，因此正确．
故选：A．
12．（5分）将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）
A．B．2+C．4+D．
【解答】解：由题意知，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小．
于是把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，
且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，
∴小正四面体的中心到底面的距离是×=，正四面体的中心到底面的
距离是+1 （1即小钢球的半径），
所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4=4+，
故选：C．
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分，请将所选答案写在答题卷上）13．（5分）如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是8cm．
【解答】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
所以OB=cm，对应原图形平行四边形的高为：2cm，
所以原图形中，OA=BC=1cm，AB=OC==3cm，
故原图形的周长为：2×（1+3）=8cm，
故答案为：8cm
14．（5分）已知圆锥的表面积为9πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆
锥的底面半径为cm．
【解答】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，
则由πl=2πr得l=2r，
而S=πr2+πr•2r=3πr2=9π
故r2=3
解得r=cm．
故答案为：cm．
15．（5分）过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程．【解答】解：∵把点P（，1）代入圆x2+y2=4成立，
∴可知点P（，1）是圆x2+y2=4上的一点，
则过P（，1）的圆x2+y2=4的切线方程为．
故答案为．
16．（5分）下面给出四个命题的表述：
①直线（3+m）x+4y﹣3+3m=0（m∈R）恒过定点（﹣3，3）；
②线段AB的端点B的坐标是（3，4），A在圆x2+y2=4上运动，则线段AB的中
点M的轨迹方程+（y﹣2）2=1
③已知M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈[﹣
，]；
④已知圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0，b＞0，c＞0）与x轴相交，与y轴
相离，则直线ax+by+c=0与直线x+y+1=0的交点在第二象限．
其中表述正确的是①②④（（填上所有正确结论对应的序号）
【解答】解：①直线（3+m）x+4y﹣3+3m=0（m∈R）得m（x+3）+3x+4y﹣3=0，由得，即直线恒过定点（﹣3，3）；故①正确，
②设AB的中点M（x，y），A（x1，y1），
又B（3，4），由中点坐标公式得：，
即．
∵点A在圆x2+y2=4上运动，
∴．
即（2x﹣3）2+（2y﹣4）2=4，整理得：+（y﹣2）2=1．
∴线段AB的中点M的轨迹为+（y﹣2）2=1，故②正确，
③集合M表示圆心为原点，半径为1的上半圆，集合N表示直线y=x+b，如图
所示，
当直线y=x+b过A点时，把A（1，0）代入得：b=﹣1；
当直线y=x+b与圆相切，且切点在第二象限时，
圆心到直线的距离d=r，即=1，即b=（负值舍去），
则M∩N≠∅时，实数b的范围是[﹣1，]．故③错误，
④解：由圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0），得到圆心坐标为（b，c），半径
r=a，
∵圆C与x轴相交，与y轴相离，
∴b＞a＞0，0＜c＜a，即b﹣a＞0，a﹣c＞0，
联立两直线方程得：，
由②得：x=﹣y﹣1，代入①得：a（﹣y﹣1）+by+c=0，
整理得：（b﹣a）y=a﹣c，
解得：y=，
∵﹣a＞0，a﹣c＞0，
∴＞0，即y＞0，
∴x=﹣y﹣1＜0，
则两直线的交点在第二象限．故④正确，
故答案为：①②④
三、解答题（共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
请将所选答案写在答题卷上）
17．（10分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3）．
（1）求AB边上的高线所在的直线方程；
（2）求三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）由题意可得，
∴AB边高线斜率k=，
∴AB边上的高线的点斜式方程为，
化为一般式可得x+6y﹣22=0；
（2）由（1）知直线AB的方程为y﹣5=6（x+1），即6x﹣y+11=0，
∴C到直线AB的距离为d=，
又∵|AB|==，
∴三角形ABC的面积S=
18．（12分）已知一个几何体的三视图如图所示．
（Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．
【解答】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，
其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧=×2π×2×2=4π；
S圆柱侧=2π×2×4=16π；
S圆柱底=π×22=4π．
∴几何体的表面积S=20π+4π；
（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：
则AB===2，
∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．
19．（12分）如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PC与⊙O所在的平面成45°角，E是PC中点．F为PB中点．
（1）求证：EF∥面ABC；
（2）求证：EF⊥面PAC；
（3）求三棱锥B﹣PAC的体积．
【解答】（1）证明：在三角形PBC中，
∵E是PC中点，F为PB中点，
∴EF∥BC，BC⊂面ABC，EF⊄面ABC，
∴EF∥面ABC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA．
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，
∴BC⊥面PAC
∵EF∥BC，BC⊥面PAC，
∴EF⊥面PAC．
（3）解：∵PA⊥⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC内的射影，
∴∠PCA即为PC与面ABC所成角，
∴∠PCA=45°，PA=AC，
在Rt△ABC中，E是PC中点，
，
∴三棱锥B﹣PAC的体积．
20．（12分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：
（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；
（2）证明：E G⊥D F．
【解答】（1）解：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1），E（1，0），F（2，0）．…（1分）
设M（x，y），由题意知|MD|=2|MC|…（2分）
∴…（3分）
两边平方化简得：即（x﹣4）2+（y﹣1）2=4…（5分）
即动点M的轨迹为圆心（4，1），半径为2的圆，
∴动点M的轨迹围成区域的面积为4π…（6分）
（2）证明：由A（0，0）．C（3，1）知直线AC的方程为：x﹣3y=0，…（7分）
由D（0，1）．F（2，0）知直线DF的方程为：x+2y﹣2=0，…（8分）
由得，故点G点的坐标为．…（10分）
又点E的坐标为（1，0），故k EG=2，k DF=﹣…（12分）
所以k EG•k DF=﹣1，即证得：EG⊥DF …（13分）
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．
（1）求证：平面PAB∥平面EFG；
（2）证明：平面EFG⊥平面PAD；
（3）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．
【解答】证明：（1）E，F分别是线段PC，PD的中点，所以EF∥CD，
又ABCD为正方形，AB∥CD，
所以EF∥AB，
又EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB．
因为E，G分别是线段PC，BC的中点，所以EG∥PB，
又EG⊄平面PAB，所以，EG∥平面PAB．
所以平面EFG∥平面PAB；
（2）因为CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD，
又EF∥CD，所以EF⊥平面PAD，所以平面EFG⊥平面PAD；
（3）Q为线段PB中点时，PC⊥平面ADQ．
取PB中点Q，连接DE，EQ，AQ，
由于EQ∥BC∥AD，所以ADEQ为平面四边形，
由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，
又AD⊥CD，PD∩CD=D，所以AD⊥平面PDC，
所以AD⊥PC，
又三角形PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，所以DE⊥PC，
AD∩DE=D，所以PC⊥平面ADQ．
22．（12分）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（1）求实数a，b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．【解答】解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2．
由已知PQ=PA，可得PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．
化简可得2a+b﹣3=0．
（2）∵PQ====，
故当a=时，线段PQ取得最小值为．
（3）若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO ≤R+1．
而OP===，故当a=时，PO取得最小值为
，
此时，b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1．
故半径最小时⊙P 的方程为+=．。