湖北省部分重点高中2016届高三十月联考理科数学

省部分重点高中2016届高三十月联考
理科数学试题
考试时间2015年10月27日15:00-17:00 满分150分
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知
11a
bi i
=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -= A ．3B ．2C ．5D ．5 2．下列命题中正确命题的个数是
(1)对于命题2
:,10p x R x x ∃∈++<使得，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++>； (2)命题 “已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题 (3)回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则
回归直线方程为ˆy
＝1.23x ＋0.08 (4)3=m 是直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 互相垂直的充要条件；
(5)若[],0,1a b ∈，则不等式2
2
14a b +<
成立的概率是4
π
； A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
3．执行右面框图，则输出m 的结果是 A ．5B ．7C ．9D ．11
4．某几何体的正视图和侧视图如图所示（方格长度为1个单位），则该几何体的体积不可能是 A ．
13B ．6
πC ．2
3D ．1 5．在ABC ∆中， ac b =2，且3
3,cos 4
a c B +==
，则BC AB ⋅= A ．
32 B ．3
2
- C ．3D ．－3 6．定义在R 上的函数()x
x
g x e
e
x 则满足(21)(3)g x g 的x 的取值围是
A ．(－∞，2)
B ．(－2，2)
C ．(－1，2)
D ．(2，＋∞)
7．若x 、y 满足，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为
A ．2
B ．2-
C ．
1
2
D ．12-
8．)sin()(ϕω+=x A x f （其中0>A ，0>ω，2
||π
ϕ<）的图象如图，为了得到2cos 2y x =的
图象，只要将)(x f 的图象 A ．向左平移
12π
个单位长度B ．向右平移
12π
个单位长度
C ．向左平移6π个单位长度
D ．向右平移6
π
个单位长度
9．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与抛物线28y x =有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交
点为P ，若5PF =，则点F 到双曲线的渐近线的距离为 A ．3B ．2C ．6D ．3
10．已知()3sin 2cos 2f x x a x =+，其中a 为常数.()f x 的图象关于直线6
x =π
对称，则()
f x 在以下区间上是单调函数的是
A ．31[,]56
--ππB ．71[,]123-
-ππC ．11[,]63-ππD ．1[0,]2
π 11．定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1m kx y +=和2m kx y +=，使得在D x ∈时，21)(m kx x f m kx +≤≤+ 恒成立，则称函数)(x f 在D 有一个宽度为d 的通道.
定义二：若一个函数)(x f ，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数)(x f 在),[0∞+x 有一个宽度为ε的通道，则称)(x f 在正无穷处有永恒通道.下列函数
①()ln f x x =,②sin ()x f x x
=，③2
()1f x x =-，④()x f x e -=，
其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．已知函数()2f x x x a x =-+,若存在[]3,3a ∈-，使得关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根，则实数t 的取值围是 A ．95(,)84B ．25(1,
)24C ．9(1,)8D ．5(1,)4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

.
13．()()8
x y x y -+的展开式中27
x y 的系数为________.（用数字填写答案）
14．若1
2
()2
(),f x x f x dx =+⎰
则1
()f x dx =⎰
15．向量,a b 满足2||||=•==b a b a ，向量c 满足0)()(≤-•-c b c a ，则c 的最小值为；
16． 已知数列{}n a 共有9项，其中，191a a ==，
且对每个{}1,2,...,8i ∈，均有112,1,2i i a a +⎧⎫
∈-⎨⎬⎩⎭。

（1）记3
92128
...a a a S a a a =
+++，则S 的最小值为 （2）数列{}n a 的个数为
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分） 已知函数
.
求.
18．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，*112311
1,23().2
n n n a a a a na a n N ++=++++=
∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；
（Ⅱ）若存在*
n N ∈，使得(1)n a n λ≤+成立，数λ的最小值. 19．（本小题满分12分）已知ABCD 是正方形，直线⊥AE 平面ABCD ，且AB=AE=1. （Ⅰ）求异面直线AC,DE 所成的角； （Ⅱ）求二面角D CE A --的大小；
（Ⅲ）设P 为棱DE 的中点，在ABE ∆的部或边上是否存在一点H ，使⊥PH 平面ACE ？若存在求出点H 的位置，若不存在说明理由.
20．（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式。

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量
（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望与方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。

日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
21.（本小题满分12分）已知函数()()()2
1ln ,02
f x x
g x ax bx a ==
+≠ （I ）若2a =-时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，求b 的取值围； （II ）在（I ）的结论下，设函数()[]2,0,ln 2x x x e be x ϕ=+∈，求函数()x ϕ的最小值； （III ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点,P Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交12,C C 于点,M N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22.（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】 如图，在正△ABC 中，点D,E 分别在边AC, AB 上，
且AD=13
AC ， AE=23AB ，BD ，CE 相交于点F ． （Ⅰ）求证：A ，E ，F ，D 四点共圆；
（Ⅱ）若正△ABC 的边长为2，求，A ，E ，F ，D 所在圆的半径．
23.(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
直线4,:(),:)124x a t l t C y t
π
ρθ=+⎧=+⎨
=--⎩为参数圆（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位
长度相同）。

（Ⅰ）求圆心C 到直线l 的距离；
（Ⅱ）若直线l 被圆C 截的弦长为
5
a 求的值。

24.(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设函数()222f x x x =+--． (Ⅰ)求不等式2)(>x f 的解集； (Ⅱ)若R x ∈∀，27
()2
f x t t ≥-恒成立，数t 的取值围。

省部分重点高中2016届高三十月联考
理科数学答案
CCBDB CDAAB CB 13．20-14．1
3
-
15116．（1）6；（2）491 17.解：由条件可得：
f(x)=-√3 msin2x-mcos2x+m+n=-2msin(2x+π/6)+m+n
x ∈[0,π/6],∴2x+ π/6∈[π/6,7π/6]∴sin ⁡(2x+ π/6)∈[-1/2,1]…………………………..4分 当m>0,f(x)的最大值为-2m(-1/2)+m+n=4. f(x)的最小值为-m+n=-5. 解得：m=3,n=-2,从而g(x)=3sinx-4cosx=5 sin ⁡(x+∅),x ∈R.
则T=2π，最大值为5，最小值为-5. ………………………………………..8分 当m<0,
解得：m=-3,n=1,从而g(x)=-3sinx+2cosx=√13 sin ⁡(x+∂),x ∈R.
则T=2π，最大值为√13，最小值为-√13. ……………………………………….12分
18．解：（Ⅰ）1211a a =⇒=当2n ≥时123123(1)2n n n a a a n a a -++++-=
11(2).22
n n n n n
na a a n ++⇒=-≥ 即13(1)(2).n n na n a n +⇒=+≥显然0n a ≠，则13(2).1
n n a n
n a n +⇒
=≥+当3n ≥时13(1)
(3).n n a n n a n
--⇒
=≥ 23211
23(1)3(2)32213(3).1
3n n n n n n a a a n n a a n a a a n n n -----⨯⇒=⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅⨯=⋅≥-而21a =符合，故2
1,1
23,2n n n a n n
-=⎧⎪
=⎨⋅≥⎪⎩6分 （Ⅱ）()11n n a a n n λλ≤+⇔≥+有解，由（1）可知当2n ≥时，设()()
2
23,11n n a f n n n n -⋅==++
则()()()()
()()()143(1)
10,1212n n f n f n f n f n n n n n -⨯-+-=
>∴+>≥++又()123f =与1122a =知min 1()13n a n =+，所以所
数λ的最小值为1
3
12分
19.解 （Ⅰ） 以A 为坐标原点、AD 为x 轴，AE 为y 轴、AB 为z 轴建立坐标系，则()0,0,0A ，
()()(),1,0,1,0,1,0,0,0,1C E D 从而()()0,1,1,1,0,1-==DE AC ，于是
21
,cos -=>=
<DE
AC DE AC , 因此异面直线AC 与DE 所成角为 60.------------------4分
（Ⅱ）()()1,1,1,1,0,1--==CE AC ，设平面ACE 的法向量为()1,,n x y z =，则⎩⎨
⎧=-+-=+.
0,
0z y x z x
令1=x ，得()1,0,11-=n ，同理可得平面CDE 的法向量为()0,1,12=n ，因此其法向量的夹角为
12.
1
0,则
2b x x
x x x
∴≤+>+≥1
2.1
0,则22 2.
b x x
x x x ∴≤
+>+≥ 60，即二面角D CE A --的大小为 60. -----------------8分
（Ⅲ）由于⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,21P ，设()z y H ,,0（其中1,0,0≤+≥≥z y z y ），则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=z y PH ,21,2
1.
由⊥PH
面ACE,得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0CE PH AC PH 从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+-,0212
1,021
z y z 解得,21==z y 故存在点⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,21,0H ，即BE 的中点，使⊥PH 平面ACE. ----------------12分
20解：（1）当16n ≥时，16(105)80y =⨯-=当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-
得：1080(15)
()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩
…………4分
（Ⅱ）①X 可取60，70，80 ，(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======X 的分
布列为：600.1700.2800.776EX =⨯+⨯+⨯=,222
160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=……8分
②购进17枝时，当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=
76.476> 得：应购进17枝………12分
21.解：（I ）依题意：.
ln )(2bx x x x h -+=()h x 在（0,+∞）上是增函数，
1
()20h x x b x
'∴=
+-≥对x ∈（0,+∞）恒成立，
…………2分
(]
.22,∞-∴的取值范围为b ………4分
（II ）设].2,1[,,2
∈+==t bt t y e t x 则函数化为 当t=1时，y m I n =b+1；
当t=2时，y m I n =4+2b
.
)(,24.1)(,222,2
b x b b x b --<<-+≤≤-的最小值为时当的最小值为时当综上所述ϕϕ
]2,1[222,12
.
4)2(2
2上
在函数时即当y ，b b b b t y ≤≤-≤-∴-+= ,]2,1[222,12.
4
)2(22上为增函数在函数时即当y ，b b b b t y ≤≤-≤-∴-+= ,]2,1[4,22;42,24,2212
min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b b b ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-<,]2,1[4,22
;
42,24,22
12min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b b b ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-<
.4)(,24.1)(,222,2
b x b b x b -
-<<-+≤≤-的最小值为时当的最小值为时当综上所述ϕϕ
当)(,4x b ϕ时-≤的最小值为.24b +…………8分
（III ）设P 、Q .0),,(),,(212211x x y x y x <<且则点M 、N 的横坐标为.221x x x +=C 1在M 处的切线斜率为.2|12
12
1
2
1x x x k x x x +==+=C 2在N 处的切线斜率为.2)(|21222
1
b x x a b ax k x x x ++=+=+=……9分 假设存在点R 使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则.21k k = ……10分 设①……11分 这与①矛盾，假设不成立. 所以不存在点R 使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行， ……12分 22.（Ⅰ）证明：23AE AB =，∴13BE AB =. 在正△ABC 中，13AD AC =，∴AD BE =，又AB BC =，
BAD CBE ∠=∠，∴△BAD ≌△CBE ，∴ADB BEC ∠=∠， 即πADF AEF ∠+∠=，所以A ，E ，F ，D 四点共圆. …………5分
（Ⅱ）解：如图，取AE 的中点G ，连结GD ，则1
2
AG GE AE ==.
23AE AB =，∴1233AG GE AB ===，12
33
AD AC ==，60DAE ∠=︒，
∴△AGD 为正三角形，∴23GD AG AD ===，即2
3
GA GE GD ===，
所以点G 是△AED 外接圆的圆心，且圆G 的半径为2
3
.
由于A ，E ，F ，D 四点共圆，即A ，E ，F ，D 四点共圆G ，其半径为2
3. …………10分
23.解（Ⅰ）把⎩⎨
⎧--=+=t
y t
a x 214化为普通方程为,022=-++a y x
.1)1(2)(2ln 1212211212x x x x x x x x x x +-=+-=∴,1,1)1(2ln ,112>+-=>=u u u u x x u 则,ln ln ln )2()2()(2)()(2.2)(212121212122212212221122121x x x x y y bx x a bx x a x x b x x a x x x x b x x a x x =-=-=+-+=-+-=+-++=+则即,ln ln ln )2()2()(2)()(2.2)(212121212122212212221122121x x x x y y bx x a bx x a x x b x x a x x x x b x x a =-=-=+-+=-+-=+-++=则即,ln ln ln )2()2()(2)()(2.2)(21212121
2122212212221122121x x x x y y bx x a bx x a x x b x x a x x x x b x x a x x =-=-=+-+=-+-=+-++=+则即ln ln ln )2()2()
(2)()(2.2)(21212121212221221222112212
1x x x x y y bx x a bx x a x x b x x a x x x x b x x a x x =-=-=+-+=-+-=+-++=+则即ln ln ln )2()2()(2)()(2.2)(212121212122212212221122121x x x x y y bx x a bx x a x x b x x a x x x x b x x a x x =-=-=+-+=-+-=+-++=+则即,ln ln ln )2()2()(2)()(2.
2
)(2
1212121212221221222
1122
121x x x x y y bx x a bx x a x x b x x a x x x x b x x a x x =-=-=+-+=-+-=+-++=+则即[).
1
)1(2ln ,0)1()(,,1)(.0)(,1.)1()1()1(41)(.1,1)1(2ln )(22
2+->=>+∞>'∴>+-=+-='>+--=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u u u u r 则故上单调递增在所以则令 [).1
)1(2ln ,0)1()(,,1)(.0)(,1.)1()1()1(41)(.1,1)1(2ln )(222+->=>+∞>'∴>+-=+-='>+--=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u u u u r 则故上单调递增在所以则令 [).1)1(2ln ,0)1()(,,1)(.0)(,1.)1()1()1(41)(.1,1)1(2ln )(222+->=>+∞>'∴>+-=+-='>+--=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u u u u r 则故上单调递增在所以则令 [).1)1(2ln ,0)1()(,,1)(.0)(,1.)1()1()1(41)(.1,1)1(2ln )(222+->=>+∞>'∴>+-=+-='>+--=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u u u u r 则故上单调递增在所以则令 [).1)1(2ln ,0)1()(,,1)(.0)(,1.)1()1()1(41)(.1,1)1(2ln )(222+->=>+∞>'∴>+-=+-='>+--=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u u u u r 则故上单调递增在所以则令 ).1)1(2ln ,0)1()(,,1)(.0)(,1.)1()1()1(41)(.1,1)1(2ln )(222+->=>+∞>'∴>+-=+-='>+--=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u u u u r 则故上单调递增在所以则令
把)4
cos(22π
θρ+
=化为直角坐标系中的方程为,02222=+-+y x y x ……………4分
∴圆心(1,1)C -到直线的距离为
5
|
1|5a -……………5分
所以，2
2
2+=……………8分 022=-∴a a ，02a a ==或…………… 10分
24．解：（Ⅰ）4,1()3,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪
=-≤<⎨⎪+≥⎩
，……………2分
当1,42,6,6x x x x <---><-∴<-当22
12,32,,233
x x x x -≤<>>∴<< 当2,42,2,2x x x x ≥+>>-∴≥综上所述2|63x x x ⎧⎫
>
<-⎨⎬⎩⎭
或．……………5分 （Ⅱ）易得min ()(1)3f x f =-=-，若R x ∈∀，t t x f 2
11
)(2-≥恒成立， 则只需22min 73
()32760222
f x t t t t t =-≥-
⇒-+≤⇒≤≤， 综上所述
3
22
t ≤≤．……………10分。