【100所名校】2019届贵州省铜仁市第一中学高三上学期第二次月考数学(理)试题(解析版)

姓名
准考证号
考场号
座位号
2019 届贵州省铜仁市第一中学
高三上学期第二次月考数学（理）试题
数学
注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题 卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷 、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1．已知集合
A．
B．
， C．
，则 D．
2．若复数
，则
A．
B．
C．
D．
3．方程 x2  y2  1表示双曲线的一个充分不必要条件是 m2 m3
A． 3  m  0 B． 3  m  2 C． 3  m  4 D． 1 m  3
4．若函数
图象上点
处的切线平行于直线
，则
A． ﹣1 B． 0 C．
D． 1
5．已知实数 x，y 满足
，则
的取值范围为
A． [2,5] B．
C．
D．
6．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”
设每层外周枚数为 ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为
A． 121 B． 81 C． 74 D． 49
7．已知函数
与 轴交点为 ，则
A．
B．
C．
D．
8．若点 的坐标满足
，则点 的轨迹图象大致是
A．
B．
C．
D．


9．下列选项中，说法正确的是
A． 命题“
，
”的否定为“
，
”
B． 命题“在 中，
，则
C． 若非零向量 、 满足
”的逆否命题为真命题 ，则 与 共线
D． 设 是公比为 的等比数列，则“ 10．函数
”是“ 为递增数列”的充分必要条件 的部分图象如图所示，为了得到
需将函数
的图象
的图象，只
A． 向左平移 个单位长度 B． 向左平移 个单位长度
C． 向右平移 个单位长度 D． 向右平移 个单位长度
11．设 、 分别为圆
A．
B．
12．已知函数
A．
B．
和椭圆
上的点，则 两点间的最大距离是
C．
D．
，则使得 C．
成立的 的取值范围是 D．
二、填空题
13．计算 14．已知
=___________.
，则
的最小值为__________．
15．已知函数
，若函数
有 4 个零点，则实数 的取值范围是_____________.
16．设 是定义在 上以 为周期的偶函数，在区间 上是严格单调递增函数，且满足
，
，
则不等式
的解集为_____________________
三、解答题
17．已知函数
．
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2）当
时，求函数 的值域．
18．数列 满足： ，
（
）
（1）求证：数列
是等差数列；
（2）求数列 的前 999 项和.
19．已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 F 0,c(c  0) 到直线
直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ，其中 A, B 为切点． (1) 求抛物线 C 的方程；
(2) 当点 P x0, y0  为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程；
(3) 当点 P 在直线 l 上移动时，求 AF  BF 的最小值．
的距离为 3 2 ．设 P 为 2
20．已知函数
.
（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数
的图像在点
处的切线的倾斜角为 ，对于任意的
，函数
在区间 上总不是单调函数，求 的取值范围；


（3）求证：
.
21．在极坐标系中，已知圆 的极坐标方程为
，以极点为原点，极轴方向为 轴正方向，取与极坐
标系相同单位长度建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为
.
（1）写出圆 的直角坐标方程和直线 的普通方程；
（2）已知点
，直线 与圆 交于 、 两点，求
22．函数
，其最小值为 .
（1）求 的值；
的值.
（2）正实数 满足
，求证：
.




2019 届贵州省铜仁市第一中学
高三上学期第二次月考数学（理）试题
数学 答 案
参考答案 1．A 【解析】
试题分析：解一元二次不等式
，解得 或 ，∴
又∵
，∴
，即
.
考点：1.解一元二次不等式；2.集合的交集. 2．B 【解析】 【分析】 根据复数的除法法则化简，求出 z 的模，就是其共轭复数的模. 【详解】
或，
因为
，所以
，故选 B.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则，复数的模及共轭复数的概念，属于中档题.
3．A
【解析】由题意知， m  2m  3  0  3  m  2 ，则 C，D 均不正确，而 B 为充要条件，不合题意，
故选 A. 4．D 【解析】 【分析】
根据导数的几何意义知， 【详解】
，即可求出 a.
因为
，切线与直线
平行，所以
，解得 ，故选 D.
【点睛】 本题主要考查了导数的求导法则，导数的几何意义，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 可.
【详解】 由约束条件，画出可行域如图：
过点 A 或 B 点时， 的取值即
由图象可知，当直线
过点 A 时，z 有最小值 2，当直线
过点
时，z 的最大值为 5，
所以 z 的取值范围为 ，故选 A. 【点睛】 本题主要考查了简单的线性规划及利用几何意义求最值，属于中档题. 6．B
【解析】满足
，第一次循环：
；满足
，第二次循环：
；满足
，第三次循环：
；满足
，第四次循环：
；满足
，第五
次循环： 7．D 【解析】 【分析】。

故选 B。

由函数与 x 轴交点为 【详解】
，代入可求出 m，然后直接求
即可.


因为
与 轴交点为 ，所以
， ，因此
，
所以
，选 D.
【点睛】
本题主要考查了分段函数求值，对数函数，属于中档题.
8．B
【解析】
【分析】
根据所给关系式，分析 的取值范围即可通过排除法选出答案. 【详解】
由
知 ,可排除选项 C,D,又因为
,所以
，即
故选 B.
【点睛】
本题主要考查了函数的图象，及利用特殊点区分图象，属于中档题.
9．C
【解析】
【分析】
根据命题的否定，解三角形，向量的模，数列等概念，逐一验证各选项.
【详解】
对于 A,命题的否定需要把存在性量词改成全称量词，故 A 选项错误，对于 B,当
，排除选项 A，
时，若存在
，
则
错误，故 B 选项错误，对于 C，由
可得：
，化简得
，
所以 与 共线正确，对于 D，当 时，若首项是负数，则数列不是递增数列，故选项 D 错误. 【点睛】 本题主要考查了命题的否定，解三角形，向量的模，数列等概念，属于中档题. 10．B 【解析】
【分析】 由五点作图法求出函数的表达式，再由平移变换知识得到结果. 【详解】
,
，
,
,
,
解得：
，所以
，
，
，
根据平移原则，可知函数向左平移 个单位， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查由函数 y=Asin（ω x+φ ）的部分图象求解析式，函数 y=Asin（ω x+φ ）的图象变换规律， 属于基础题． 11．D 【解析】 【分析】 求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出 P、Q 两点间的最大距离. 【详解】
设椭圆上点 Q ，则 圆心的距离
，因为圆
的圆心为
，半径为 ，所以椭圆上的点与
为
，
所以 P、Q 两点间的最大距离是
.
【点睛】 本题主要考查了圆与椭圆，两点间的距离转化为定点圆心与椭圆上动点间的距离的最值，属于中档题.
12．C


【解析】 【分析】
函数在 R 上为偶函数，由
等式转化为
即
【详解】
知当 时， ，即可求出.
，所以函数在
上是增函数，所以原不
因为
,所以函数为偶函数，又
知当 时，
，所以函数在
上是增函数，所以原不等式转化为
即
，所以
，解得
，
故选 C.
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，单调性，含绝对值的不等式，属于中档题.
13．
【解析】原式=
14． 【解析】 【分析】
根据
知
，且
，所以
，故
【详解】
，化简后利用均值不等式即可求解.
因为
知
，又
，所以
，而
【点睛】
，经检验等号成立,故填
.
本题主要考查了均值不等式，考查了数学式子的变形化简，对计算能力要求较高，属于中档题.
15． 【解析】若函数
有 个零点，即方程
有 个解
与 有 个交点，记
则过原点作 的切线，切线斜率为
则实数 的取值范围是 点睛：本题主要考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，考查了函数零点个数的问题。

本题中根据题
意可知，原问题等价于
与 有 个交点，这个是解决问题的关键，属中档题
16． 【解析】 【分析】 根据周期性可知
，因为
，
，所以 关于 的对称点为 ，
且
，
【详解】
，因此不等式的解为
根据函数周期为 2 且为偶函数知，
. ，因为
，且根
据对称性知函数在 【点睛】
上单调递减，所以
的解为
，故填
.
本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，单调性，及变形推理能力，属于难题.
17．（1） ， 【解析】 【分析】
；（2）


（1）运用两角和差公式和二倍角公式，化简整理，再由周期公式和正弦函数的单调增区间，即可得到（2）
由 x 的范围可得 【详解】
的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域.
（1）f(x)＝2sinx( sinx＋ cosx)＝ 函数 f(x)的最小正周期为 T＝π
＋ sin2x＝sin(2x－ )＋ .
由－ ＋2kπ ≤2x－ ≤ ＋2kπ ，k∈Z，解得－ ＋kπ ≤x≤ ＋kπ ，k∈Z，
所以函数 f(x)的单调递增区间是[－ ＋kπ ， ＋kπ ]，k∈Z
（2）当 x∈[0， ]时，2x－ ∈[－ ， ]， sin(2x－ )∈[－ ，1]，
f(x)∈[0，1＋ ]．所以当 x∈[0， ]时，函数 f(x)的值域为[0，1＋ ]． 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角和差的正弦公式及函数的单调性和值域， 属于中档题.
18．（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】
（1）方程两边减 3 后，取倒数可化简得
，即可证明（2）化简
【详解】
，相加相消求和即可.
（1）数列 满足： ，
（
）
，
所以，
，
即，数列
是以
为首项， 为公差的等差数列；
（2）由（1）得
，解之得：
；
所以，
于是，
【点睛】
本题主要考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、对数的运算及相加相消求和，属于中档题.
19．(Ⅰ)
x2  4y
(Ⅱ)
x0 x  2 y  2 y0  0
(Ⅲ)
9 2
【解析】试题分析：（1）设拋物线 C 的方程为 x2  4cy ，利用点到直线的距离,求出 c 1,得到抛物线方
程；（2）对抛物线方程求导,求出切线 PA, PB 的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共同点,得到
直线 AB 的方程；（3）由拋物线定义可知 AF  y1 1, BF  y2 1，联立直线与抛物线方程,消去 x ,得到一
个关于 y 的一元二次方程,由韦达定理求得 y1  y2 , y1 y2 的值,还有 x0  y0  2 ,将 AF  BF 表示成 y0 的二次
函数的形式,再求出最值.
试题解析: 解：（1）依题意，设拋物线 C 的方程为 x2  4cy ，由 0  c  2  3 2 结合 c  0 ，
2
2
解得 c 1，所以拋物线 C 的方程为 x2  4 y .
（2）拋物线 C 的方程为 x2  4 y ，即 y  1 x2 ，求导得 y  1 x ，
4
2
    设 A x1, y1 , B x2, y2
(其中
y1

x12 4
,
y2

x22 4
)则切线 PA, PB 的斜率分别为
1 2
x1,
1 2
x2
，
所以切线 PA 的方程为
y

y1

x1 2
x
x1  ，即
y

x1 2
x
x12 2

y1 ，即
x1x  2 y
 2 y1

0
，
同理可得切线 PB 的方程为 x2 x  2 y  2 y2  0 ，
  因为切线 PA, PB 均过点 P x0, y0 ，所以 x1x0  2 y0  2 y1  0 ， x2 x0  2 y0  2 y2  0 ，


所以  x1, y1 , x2, y2  为方程 x0x  2 y0  2 y  0 的两组解，
所以直线 AB 的方程为 x0 x  2 y  2 y0  0 .
（3）由拋物线定义可知 AF  y1 1, BF  y2 1，
  联立方程{ x0x
 2 y  2 y0 x2  4y

0
，消去 x 整理得 y2 
2 y0  x02
y  y02  0 .
由一元二次方程根与系数的关系可得 y1  y2  x02  2 y0 , y1 y2  y02 ，
所以 AF  BF  y1y2   y1  y2  1  y02  x02  2y0 1
又点 P x0, y0  在直线 l 上，所以 x0  y0  2 ，
所以
y02

x02

2
y0
1

2
y02

2
y0

5

2 
y0

1 2
2 

9 2
，
所以当
y0


1 2
时，
AF  BF 取得最小值,且取得最小值为 9 . 2
考点：1.点到直线距离公式；2.抛物线方程；3.利用导数求抛物线上某点切线的斜率；4.二次函数求最值.
【方法点晴】本题利用抛物线为载体,考查了求抛物线方程,利用导数求抛物线上某点切线的斜率等知识点,
属于中档题.第一问很容易,第二问中,利用导数求抛物线上一点的切线斜率,比用联立方程,判别式等于 0 的方
法要好,步骤少,花的时间也少.从切线 PA, PB 的方程,得出直线 AB 的方程;第三问先用抛物线定义把
AF , BF 的值表示出来,联立直线 AB 与抛物线方程,得到 y1  y2 , y1y2 的值, 将 AF  BF 表示成 y0 的二次
函数的形式,再求出最值. 视频
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】
（1）求函数导数
，分
,写出 ， 在区间 上总不是单调函数知
三种情况进行讨论即可（2）由导数几何意义可求出
在 上有解即可（3）构造函数证明
在
上成立，进而可得 【详解】 （1）已知函数
，即可证得结论. ，
当 时， ②当 时， ③当 时，
， 的单调递增区间是 ， 的单调递增区间是 恒成立， 不具备单调性.
， 的单调递减区间是 ， 的单调递减区间是
（2）
得，
在区间 上总不是单调函数且
由题意知：对于任意的
，
恒成立
所以
，解得
.
（3）当 时，
，
，
，
所以， 的单调递增区间是
， 的单调递减区间是
，
所以， 时， 取极小值 .即
，即
，即
（）
所以
；
；
；......；
叠乘得
则 【点睛】
. 即证.


本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，证明不等式，考查学生综合运用知识解决
（2）根据柯西不等式，
问题的能力，属于难题.运用函数的单调性最值等构造不等式是解决证明不等式的关键，是此类问题的核心. .
21．（1）
，
；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，及消参即可得出直角坐标方程和普通方程（2）将直线方程代入
圆，结合参数的几何意义，利用根与系数的关系求解.
【详解】
（1）由
得
，化为直角坐标方程为
，
所以圆 的直角坐标方程为：
线 的普通方程为
.
.由
（ 为参数），消去参数 得
，所以直
（2）显然直线 经过点
，将
代入
并化简得
，由韦达定理得
.
【点睛】
本题主要考查了极坐标与直角坐标的转化，直线的参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义，属于中
档题.
22．（1）3；（2） 【解析】
试题分析：（1）由题意，利用绝对值三角不等式求得 的最小值，即可求解 的值； （2）根据柯西不等式，即可作出证明. 试题解析：
（1）
，当且仅当
取等，所以 的最小值

。