勾股定理的逆定理-完整版课件

一、探究勾股定理的逆定理：
2、实验探究： （1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数 为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？ ① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10． （2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数． （3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30. ∵24²+18²=30²， 即PQ²+PR²=QR²， ∴△PQR为直角三角形，即∠QPR=90°. ∵∠1=45°， ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
练习4、如图，如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东 为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的 速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知 A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得离C艇 的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
2
2
∴BE= AB•BC60.
B
AC 13
.
在Rt△BCE中，由勾股定理得，
N
∴CE= BC 2BE 2 12 2(60 )2144
13 13
∴最早进入时间≈0.85小时=51分钟.
.
9时50分+51分=10时41分.
答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.
五、课堂小结：
1、利用勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形的一般步骤： ①确定最大边长c； ②计算a2+b2和c2的值, 若a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形； 若a2+b2<c2，则此三角形是钝角三角形； 若a2+b2>c2，则此三角形是锐角三角形. 2、互逆命题表明两个命题在形式上的关系，将一个命题的题设和结论互换 即可得到它的逆命题，当原命题成立时，它的逆命题不一定成立，即互逆 的两个命题不一定同真或同假. 3、已知一三角形的三边的长度时，首先应对该三角形进行判断，判断最长 边的平方是否等于其余两边的平方和，如何满足这一条件则此三角形为直 角三角形.
（2）∵13²+14²=169+196=365,15²=225， ∴13²+14²≠15²， 根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形；
练习3、同学们还知道哪些勾股数？请完成以下未完成的勾股数：
（1）3，4，
；（2）6，8，
；（3）7，24，
；
（4）7，40，
；（5）9，12，
.
答案：5；10；25；41；15.
证明：如图，作Rt△A'B'C',使∠C'=90°，a'=a， b'=b, 由勾股定理得，A B B C 2 A C 2a 2 b 2 c . ∴A'B'=AB，B'C'=BC，A'C'=AC, ∴△A'B'C'≌△ABC， ∴∠C=∠C'=90°, 即△ABC是直角三角形.
一、探究勾股定理的逆足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形.
练习1、在△ABC中，AC²-AB²=BC²，那么（ ）
A．∠A=90°
B.∠B=90°
C.∠C=90°
D.不能确定哪个角是直角
二、逆命题和逆定理的概念：
1.逆命题： 命题1：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c². 命题2：如果三角形的三边长a，b，c 满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角 三角形． 概念1：两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题． 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．
3、作出猜想： 如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形.
一、探究勾股定理的逆定理：
4、验证猜想： 如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2. 求证：△ABC是直角三角形.
M
A
E
C
B N
解：设MN交AC于E，则∠BEC=90°.
∵AB²+BC²=5²+12²=169，AC²=13²=169，
∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°.
M
∵MN⊥AC，即CE⊥MN，
∴走私艇C进入我领海的最近距离是CE.
A
E
C
∵S△ABC=
1AC•BE1AB•BC
【反思】任何一个命题都有逆命题；原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题．
三、勾股定理逆定理的运用
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a=15，b=8，c=17； （2） a=13，b=14，c=15；
解：（1）∵15²+8²=225+64=289,17²=289， ∴15²+8²=17²， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形；
六、课堂小结
1.已知一三角形的三边的长度时，首先应对该三角形进行判断，判断最长边的平 方是否等于其余两边的平方和，如何满足这一条件则此三角形为直角三角形；
2.勾股定理的逆定理为证明直角三角形提供了新的方法，由数量关系得到角为直 角，是数形结合的很好体现.
The end
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一、探究勾股定理的逆定理：
1、提出问题： 据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离
的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边 长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确 吗？
这个问题意味着，如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满 足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形．
四、勾股定理及其逆定理的实际应用：
例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离 开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每 小时航行12nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，相距30 nmile ，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航 行吗？ 解：根据题意：
2.逆定理： 如果一个定理得逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个 定理互为逆定理.
练习2、说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； （2）对顶角相等； （3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题． （2）逆命题：相等的角是对顶角．假命题． （3）逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．真命题．