几何之立体图形

第三讲 几何之立体图形
教学目标
立体图形，主要考点集中在不规则形体的表面积与体积计算。

其中有自成一类的“染色问题”，也是经常见到的“几何奥数题”。

小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。

★★★ 正方体：我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a ，那么可得： 正方体的表面积：26S a =正方形 正方体的体积：3V a =正方形
★★★ 长方体：若长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，那么可得： 长方体的表面积：2S ab bc ac =++长方形（） 长方体的体积：V abc =长方形
★★★ 圆柱体：如右图，圆柱体的底面是圆，其半径为r ；圆柱体的侧面展开图是一个长方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长； 圆柱体的表面积：2
222S rh r ππ=+=+圆柱侧面积个底面积
圆柱体的体积：2
V r h π=圆柱
★★★ 圆锥体：如右图，圆锥体的底面是圆，其半径为r ；圆锥体的侧面展开图是一个扇形；
圆锥体的体积：2
13V r h π=圆锥体
★★★
球体：34
3
V r π=球体
在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。

想 挑 战 吗 ？
（06年武汉明心数学挑战赛） 如右图，两个人正在为一个开口为正方形的长方体容器中是否 正好装了一半水而争吵．请你设计一种方案，不用其他任何工具与 设备，并且不能把水倒出来而判断出容器中的水是否正好装了一半． r
教师版答案提示：如下图，将长方体容器如图那样倾斜，使一端的水面刚好到容器口的棱A 处，水平面
的另一端刚好在棱B 处时，容器内正好装了一半水．如果不符合上述情况则容器内装的水就不是一半．如图②是容器里的水正好装一半，图①和图③则不是，图①大于一半，图③小于一半．
立体图形的表面积
边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？
分析：图形所含块数的规律：第1层1块，第2层3块，第3层6块，第4层10块，第5层15块，依次增加2、3、4、5…，当重叠到第5层时，该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米。

【例1】 有两个圆柱体的零件，高l0厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有有
一个圆柱体的零件，高l0厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形直孔，如图，圆孔直径是4厘米，孔深5厘米，如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共要涂多少平方厘米?( 3.14π=)
<分析>：
观察可知涂漆部分包括圆柱体的外表面，以及圆孔的内表面． 零件的上、下底面：2
3254π⨯⨯=，零件的外侧面：610180π⨯⨯= 零件的内侧面：4560π⨯⨯=，零件涂防锈漆部分为：5418060294++=。

【巩固】
右图是一顶帽子。

帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。

如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a 厘米，那么哪种颜色的布用得多？
分析：一样多。

黑布：2
2
23a a a a πππ+⨯⨯=，白布：222
(2)3a a a πππ-=。

【例2】 用铁皮做一个如图所示的工件(两端不封闭)，需要铁皮多少平方厘米? （3π=）
分析：工件既不是圆柱也不是圆锥，不是我们常见的规则几
何图形，因此要考虑如何将此几何体转化为熟悉的常见几何体．如下图，再取一个同样的工件，两个工件拼在一起，可以拼成一个规则的圆柱体，则一个工件的侧面积是此圆柱侧面积的一半．圆柱的高为：4654100+=，圆柱的侧面积为：151004500π⨯⨯=，一个工件需铁皮：450022250÷=(平方厘米)．在解决不规则立体图形的问题时，关键是先将其转化为规则的立体图形，然后才能利用已经掌握的公式、性质进行解题．其实这个思想我们在春季班就已经接触到了。

【巩固】
（五年级春季所学相关题目）（07年希望杯培训试题）一个底面为正方形的长方体木块被锯掉一部分，变成如右图所示的六面体ABCD-EFGH ，其中最长的边DH=8厘米，最短的边AB=BC=CD=DA=BF=4厘米，那么这个六面体的体积是多少 立方厘米？
分析：42．这个六面体的体积是长4厘米，宽4厘米，高12厘米的长方体体积的一半，即4×4×12÷2=96(立方厘米).
【拓展】 （05年华罗庚金杯）如图1是一个直三棱柱的表面展开图，其中，灰色和
黑色的部分都是边长等于1的正方形．问：这个直三棱柱的体积是多少?
分析：如图2，这个直三棱柱是棱长为1的正方体沿一条对角线切
割得到的直三棱柱体．正方体的体积是1，这个直三棱柱的体积是正方体体积的一半，体积是12
．
【例3】
（迎春杯数学邀请赛）一个正方体的表面积为54平方厘米，如果一刀把它切成两个长方体，那么，这两个长方体表面积的和是多少平方厘米？
分析：已知正方形的表面积为54平方厘米，那么这个正方形每一个侧面的面积为54÷6=9(平方厘米)．一刀切成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和比原来正方形表面积增加了9×2=18(平方厘米)．因此，所求的两个长方体的表面积之和为：54+18=72(平方厘米)．
【前铺】 如右图，正方形ABCD 的边长是6厘米，过正方形内的任意两点画
直线，可把正方形分成9个小长方形。

这9个小长方形的周长之和是多少厘米？
分析：从总体考虑，在求这9个小长方形的周长之和时，AB 、BC 、CD 、AD 这四条边被用了1次，其余四条线被用了2次，所以9个小长方形的周长之和是：4×6+4×2×6=72（厘米）.
【前铺】 （五年级春季所学相关思路的题目）一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿着水平方向将
它锯成3片，每片又按任意尺寸锯成4条，每条又按任意尺寸锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块.问这60块长方体表面积的和是多少平方米？
分析 原来的正方体有六个外表面，每个面的面积是1×1＝1（平方米），无论后来锯成多少块，这六个外表面的6平方米总是被计入后来的小木块的表面积的.再考虑每锯一刀，就会得到两个1平方米的表面，现在一共锯了：2+3+4＝9（刀），一共得到18平方米的表面.因此，总的表面积为：6＋（2+3＋4）×2
＝24（平方米）。

【例4】（05年清华附培训试题）将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘
米？
分析：长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；所以原长方体的表面积是：
（3×5+3×5+3×3）3×2=78平方厘米。

【前铺】（五年级春季所学相关思路的题目）右图是4×5×6正方体，如
果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的
小正方体各有多少块？
分析：三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；
两面涂红色的在棱长处，共（4-2）×4+（5-2）×4+（6-2）×4=36块；
一面涂红的表面中间部分：
（4-2）×（5-2）×2+（4-2）×（6-2）×2+（5-2）×（6-2）×2=52块。

没涂红色的小方块有：（4-2）×（5-2）×（6-2）=24块。

注意帮助孩子们理
解，而后可以总结规律。

【拓展】（五年级春季所学相关思路的题目）右图是由27块小正方体构成的
3×3×3的正方体。

如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正
方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18
块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的。

这样两面有红
色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小
方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍。

问：由多少块小正
方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有
红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有
的小方块是三面有红色的小方块的八倍？
分析：对于由n3块小正方体构成的n×n×n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12×（n －2）块，一面涂有红色的有6×（n－2）2块，没有涂色的有（n-2）3块。

由题设条件，一点红色也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即（n-2）3＝8×8，解得n＝6。

立体图形的体积
【例5】（05年华罗庚金杯）如图，一个圆锥形容器甲与一
个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的
尺寸如图所示，若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次?
分析：圆锥形容器甲的容积是：2111()13212
V ππ=
⨯⨯⨯=，半球形容器乙的容积是：3222183312
V ππ
π=⨯⨯==⨯，所以至少要注水8次．
【例6】 一个圆锥形容器高24厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的柱形容器中，水面高多少厘米7．
分析：设底面积为S ，圆柱体内水面的高为h ，根据题意有：124,83
S Sh h ⨯⨯==
【拓展】
如右图所示，圆锥形容器内装的水正好是它容积的
8
27
，水面高度是容器高度的几分之几？
分析：设水面高度是容器高度的x 倍，则水面半径也是容器底面半径的x 倍。

根据题意得到：2
2118()()3
327xr xh r h ππ=⨯，382,273
x x ==
【例7】
皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。

皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米。

皮球有
4
5
的体积浸在水中（见右图）。

问皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？
分析：皮球的体积是：3
34415
()562.53
32
r πππ=
⨯=（立方厘米）；皮球浸在水中的部分是：4562.54505ππ⨯=（立方厘米）；水桶的底面积是：2
60()9002
ππ⨯=（平方厘米）；水面升
高的高度是：4509000.5ππ÷=（厘米）。

【例8】
（06年北京五中实验班选拔）一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，水深8厘米。

现将一个底面积是16平方厘米的长方体铁块竖放在水中后，仍有一部分铁块露在外面。

现在水深多少厘米?
分析：根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度。

（法1）：80×8÷(80一16) =640÷64=10(厘米)； （法2）：设水面上升了x 厘米。

根据上升部分的体积=浸人水中铁块的体积列方程为：
8016(8)x x =+，解得：2x =，8+2=10(厘米)。

【巩固】 有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中。

钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米。

这段钢材有多长?
分析： 根据题意可知，圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积，因为钢材底面半径是水桶底面半径的
520，即41，钢材底面积就是水桶底面积的16
1。

根据体积一定，圆柱体的底面积与高成反比例可知，钢材的长是水面下降高度的16倍。

（法1）：6÷(
520
)2
=96(厘米) （法2）：3.14×202
×6÷(3.14×52
)=96(厘米)
【拓展】
（五年级春季学习过的题目，希望教师尽量抽出时间将此题回忆一遍）一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米.今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放入容器中.求这时容器的水深是多少厘米.
分析：本题可能出现三种情况：①放入铁圆柱后，水深不及铁圆柱高.②放入铁圆柱后，水深比铁圆柱高但未溢出.③水有溢出.放入铁圆柱后，在铁圆柱周围，水的截面成圆环状，如图所示，截面积为π×5×5—π×2×2=21π.收入圆柱前后，水的体积不变，为π×5×5×15=375π.又因为375π÷21 π=7
125=17 76
<18厘米.因此这时容器的
水深是17
7
6
厘米. [评注] 请同学们考虑水深是16厘米或19厘米的情况，并与本题的结果作比较.
【例9】 一个立体图形，我们从上到下，从前往后，从左到右观察都是相同的
图形，是一个边长为3厘米分成9个面积相等的小正方形形成的井字形(如右图)．计算该立体的全表面积和体积．
分析：根据三视图，可以判定立体是一个棱长为3厘米的正方体，在每个面都在
中央打一个底面积为1平方厘米的正方形，高为3厘米．的正棱柱孔洞．如右下图．
设该立体的全表面积为S ，体积为V 则：
222(31)6(14)672S =-⨯+⨯⨯=(平方厘米)，
2337120V =-⨯=(立方厘米)．
【前铺】
在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．求挖洞后木块的表面积和体积．
分析：大正方体的边长为4厘米，挖去的小正方体边长为1厘米，说明大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞内”的4个侧面积。

6个小洞内新增加面积的总和： 1×1×4×6＝24（平方厘米），原正方体表面积：
42×6＝96（平方厘米），挖洞后表面积：96＋24＝120（平方厘米），体积：43－13
×6＝58（立方厘米）．
【拓展】 （人大附中分班考试题目）如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，
在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．
分析：外侧表面积为：6×10×10-4×4×4-π×22×2=536-8π 内侧表面积为：16×4×3+2×(4×4-π×22)+2×2π×2×3=192+32-8π+24π=224+16π． 总表面积=224+16π+536-8π=760+8π=785.12(平方厘米)．
计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可．挖出的几何体体积为： 4×4×4×3+4×4×4+2×π×22×3=192+64+24π=256+24π．
所求几何体体积为：1O ×1O ×1O- (256+24π)=668.64(立方厘米)．
[点评] 能把这道题拿下，所有不规则形体的表面积和体积计算都将不在话下。

一定要注意：思路要清晰，比如表面积从外面和内部去讨论，体积直接是整体减挖去部分。

细节决定成败：第一点，求表面积时，内部中心的正方形减去内切圆剩下部分容易忽略；第二点，本题大正方体的棱长是10厘米，是一个很伤脑筋的数字，直接导致出现了多处的3。

呵呵，很多人在此被弄得灰头土脸。

【例10】 （03年数学电视科普赛）如图1，ABCD 是直角梯形(单位：厘米，3π=)，
（1）以AB 为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少?
（2）如果以CD 为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到的旋转体体积是多少?
分析：（1）如图2所示，所求体积可看作BCDE 绕AB 的旋转体与△AED 绕AB 的旋转体之和，即
221
33361083
πππ⨯+⨯⨯==(立方厘米)．
（2）如图3所示，所求体积可看作ABCE 绕EC 的旋转体与△ADE 绕EC 的旋转体之差，即
221
363451353
πππ⨯⨯-⨯⨯==(立方厘米)．
【例11】（第七届祖冲之杯数学邀请赛）现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁
皮盒容积是多少立方厘米?
分析：法1：（1）如右图，在40×20的长方形铁皮的四角截去边长5厘米的正方
形铁皮，然后焊接成长方形无盖铁皮盒．这个铁皮盒的：长=40-5-5=30(厘米)，
宽=20-5-5=10(厘米)，高=5(厘米)，体积=30×10× 5=1500(立方厘米)．
（2）如右图，在40×20长方形铁皮的左侧两角上割下边长5厘米的正方形(二
块)，紧密焊接到右侧的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长=40—5=35(厘
米)，宽=20—5—5=10(厘米)，高=5(厘米)，体积=35×10× 5=1750(立方厘米)．
（3）如右图，在40×20的长方形铁皮的左右两侧各割下一条宽为5厘米的长方形
铁皮(共二块)，分别焊到上、下的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长
=40-5-5-5-5=20(厘米)，宽=20(厘米)，高=5(厘米)，体积=20×20×5=2000(立方
厘米)．因此，最后一种容积最大．
法2 ：你要想使容积最大，就要充分利用手中的铁皮，如果能将铁皮都用上那么就能得到一个最大的铁盒。

如下图（1），我们从原铁皮上切割下4块5×20的长方体，如图（2），将其焊接上能做成一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒，那么此时的容积最大：20×20×5=2000(立方厘米)．
专题展望
练习三
1、用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积
是多少平方厘米？（对照例题1）
分析：整体看待面积问题，上下两面的表面积总是3×3；再看前后左右四个面，都
是2×3+1，所以，总计9×2+7×4=18+28=46cm2。

1、（奥数网精选试题）把棱长6分米的正方体木块平均分成27个小正方体，表面积
增加了多少平方分米?（对照例题4）
分析：要把正方体木块平均分成27个小正方体，必须按图进行分割．每分割一处．表
面积就增加2个边长6分米的正方形的面积。

共需分割六处，就增加了12个正方形的面积。

62
×12=432(平方分米)
2、 有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面
半径为20厘米的圆柱形容器内，求水深。

（对照例题7） 分析： 22
1(10302)(20)53
ππ⨯⨯⨯÷⨯=（厘米）
3、 （05年华罗庚金杯）一个直角三角形三条边的长度是3，4，5，如果以边长4为轴旋转一周，得到
一个立体．求这个立体的体积．（对照例题11）
分析： 以长为4的直角边为轴旋转得到的立体也是圆锥，底面半径是3，由圆锥的体积公式得：
21
34123
V ππ=⨯⨯=
4、 （05年全国小学数学奥林匹克）有一个棱长是12厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心
分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔（穿透正方体木块）．穿孔后木块的体积是多少立方厘米？（对照例题10）
分析：3
2
3
124123421280-⨯⨯+⨯=(立方厘米)．
5、 如图，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容
器还能装多少水? （对照例题6）
分析：设圆锥容器的底面半径为r ，则水面半径为2r ，容器的容积为：2
13
r h π， 水的体积为：2
221
111
()32
22483
r h r h r h πππ∙∙
==⨯ 说明容器可以装8份3升水，故还能装水：3×(8－1)=21(升)．
z。