等差数列前n项和的性质 课件(第2课时)

寻找等差数列前 n 项和与通项之间的关系，在比值上能否相互转 化.
(1)
65 12
(2)
8 13
[(1)
法
一
：
a5 b5
＝
2a5 2b5
＝
a1＋a9 b1＋b9
＝
92a1＋a9 92b1＋b9
＝
S9 T9
＝
7×9＋9＋3 2＝6152． 法二：设 Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt， 则 a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，b5＝T5－T4＝40t－28t＝12t，
法四：设数列{an}的公差为 d，由于 Sn＝na1＋nn－2 1d， 则Snn＝a1＋d2(n－1)． ∴数列Snn是等差数列，其公差为d2． ∴1S01000－S1100＝(100－10)×d2， 且1S11100－1S01000＝(110－100)×d2． 代入已知数值，消去 d，可得 S110＝－110．
15 [由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4 成等差数列，也 就是 4，5，S6－9 成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5 解得 S6＝15．]
知识点 2 等差数列奇偶项和的性质 (1)设两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则abnn＝ S2n－1． T2n－1 (2)若等差数列{an}的项数为 2n，则 S2n＝n(an＋an＋1)， S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1．
类型 2 比值问题 【例 2】 (1)已知等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn， 且TSnn＝7nn＋＋32，则ab55＝________． (2)已知 Sn，Tn 分别是等差数列{an}，{bn}的前 n 项和，且abnn＝ 2nn＋＋21，则TS1111＝________．
[跟进训练] 3．等差数列{an}中，a1＝3，公差 d＝2，Sn 为前 n 项和，求S11＋ S12＋…＋S1n．
[解] ∵等差数列{an}的首项 a1＝3，公差 d＝2， ∴前 n 项和 Sn＝na1＋nn－ 2 1d ＝3n＋nn－2 1×2＝n2＋2n(n∈N*)， ∴S1n＝n2＋1 2n＝nn1＋2
裂项相消法求和的步骤 (1)方法解读 裂项相消法就是将数列的通项拆成两项的差，然后通过累加抵消 掉中间的许多项的求和方法．此种方法适用于通项可以分裂成两式之 差(尤其是分母为等差数列中的两项之积)等类型的数列求和问题．
(2)方法步骤 第一步：求出数列的通项公式； 第二步：根据通项公式的特征准确裂项，表示为两项之差的形式； 第三步：把握消项的规律，准确求和．
第四章 数列
4.2 等差数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式 第2课时 等差数列前n项和的性质
学习任务
核心素养
1．通过等差数列前 n 项和 Sn 的 1．掌握 an 与 Sn 的关系并会应用(难 函数特征的学习，体现了数学建
点)．
模素养．
2．掌握等差数列前 n 项和的性质
及应用(重点)．
2．借助等差数列前 n 项和 Sn 性
质的应用及裂项相消法求和，培
3．会用裂项相消法求和(易错点)．
养数学运算素养．
NO.1
情境导学·探新知
知识点一 知识点二
1．等差数列前 n 项和公式可以转化为关于 n 的一元二次函数 (d≠0)或一次函数(d＝0 时)
Sn＝d2n2＋a1－d2n． 反过来，如果一个数列的前 n 项和是关于 n 的一元二次函数，那 么该数列一定是等差数列吗？ 2．在项数为 2n 或 2n＋1 的等差数列中，奇数项的和与偶数项的 和存在什么样的关系？
S3n＝( )
A．130
B．180
C．210
D．260
B [在等差数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等差数列，即 20， 60，S3n－80 成等差数列．∴20＋(S3n－80)＝2×60．∴S3n＝180．故 选 B．]
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2．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若aa53＝59，则SS95等于(
＝121n－n＋1 2，
∴S11＋S12＋…＋S1n ＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋n－1 1－n＋1 1＋1n－n＋1 2 ＝121＋12－n＋1 1－n＋1 2 ＝34－2(n＋2n1＋)(n3＋2)．
NO.3 当堂达标·夯基础
1．已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝20，S2n＝80，则
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5．数列nn1＋1的前 100 项的和为________．
100 101
[跟进训练] 2．一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和 与奇数项的和之比为 32∶27，则该数列的公差为________． 5 [法一：根据题意知，偶数项的和比奇数项的和多 354×32＋322－7 27，其值为 6d， 则 d＝[354×(32－27)÷(32＋27)]÷6＝5．
类型 3 裂项相消法求和 【例 3】 设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列2na＋n 1的前 n 项和．
利用 Sn 与 an 的关系求 an.然后通过分析2na＋n 1的特点求和.
[解] (1)因为 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当 n≥2 时，a1＋ 3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．
法二：设偶数项的和为 x，奇数项的和为 y，
x＋y＝354， 则yx＝3227，
解得yx＝＝116922，.
∴6d＝192－162＝30，∴d＝5．
法三：由题意知
12a1＋12×2 11d＝354，
①
6a61a＋1＋d6＋×265×2·25d·2d＝3227，
②
由①知 6a1＝177－33d，将此式代入②得 (177－3d)·32＝(177＋3d)·27， 解得 d＝5．]
法五：令 Sn＝An2＋Bn． 由 S10＝100，S100＝10，
∴110000A0＋0A1＋0B1＝001B0＝0，10，
解得A＝－11010， B＝11101.
∴S110＝1102A＋110B＝1102×－11010＋110×11101＝－110．
方法一属于通性通法；方法二使用 Sn 和 an 之间的关系；方法三 使用前 n 项和“片段和”的性质；方法四使用性质“Snn也是等差数 列”；方法五利用前 n 项和可用 Sn＝An2＋Bn 表示的特点.这五种解 法从不同角度应用了等差数列的性质，并灵活选用前 n 项和公式，使 问题快速得到解决.
1．(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求ab57． [解] 设 Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt． 则 a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t， b7＝T7－T6＝70t－54t＝16t． ∴ab57＝6156tt＝1665．
2．(变结论)在本例(2)条件不变的情况下，求TS1122． [解] 设 an＝(n＋2)t，bn＝(2n＋1)t． ∴TS1122＝112222ba11＋＋ba1122＝33tt＋ ＋1245tt＝1278．
两式相减得(2n－1)an＝2，所以 an＝2n2－1(n≥2)． 又由题设可得 a1＝2＝2×21－1， 从而{an}的通项公式为 an＝2n2－1．
(2)记2na＋n 1的前 n 项和为 Sn． 由(1)知2na＋n 1＝2n＋122n－1＝2n1－1－2n1＋1． 则 Sn＝11－13＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1＝2n2＋n 1．
[跟进训练]
1．已知{an}为等差数列，a1＋a2＋a3＝105，a2＋a3＋a4＝99．求
a10＋a11＋a12 的和．
[解] 在等差数列{an}中，{an＋an＋1＋an＋2}也成等差数列，设公 差为 D，
∵a1＋a2＋a3＝105，a2＋a3＋a4＝99． ∴D＝99－105＝－6． ∴a10＋a11＋a12＝105＋(10－1)×(－6)＝51．
故ab55＝6152tt＝1625．
(2)法一：TS1111＝112211ab11＋ ＋ab1111＝ab66＝2×6＋6＋2 1＝183． 法二：设 an＝(n＋2)t，bn＝(2n＋1)t，
则TS1111＝112211ab11＋＋ab1111＝11221133tt＋ ＋1233tt＝183．]
d＝－5110.
∴S110＝110a1＋110×2110－1d ＝110×1100909＋110×2 109×－5110 ＝－110．
法二：∵S10＝100，100＝10， ∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝90a112＋a100＝－90， ∴a11＋a100＝－2． 又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2， ∴S110＝110a12＋a110＝－110．
等差数列前 n 项和计算的两种思维方法 (1)整体思路：利用公式 Sn＝na1＋ 2 an，设法求出整体 a1＋an，再 代入求解． (2)待定系数法：利用 Sn 是关于 n 的二次函数，设 Sn＝An2＋ Bn(A≠0)，列出方程组求出 A，B 即可，或利用Snn是关于 n 的一次函 数，设Snn＝an＋b(a≠0)进行计算．
(3)若等差数列{an}的项数为 2n－1，则 S 偶＝(n－1)an，S 奇＝nan， S 奇－S 偶＝an，SS奇 偶＝n－n 1．
2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，则数列Snn也是等差数
列．
()
(2)在等差数列{an}中，S4，S8，S12，…成等差数列． ( )
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 “片段和”的性质 【例 1】 在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求 S110．
1可直接用等差数列的前 n 项和公式求解. 2能否用等差数列前 n 项和的性质求解呢？
[解] 法一：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 则1100a01a＋1＋101× 00×2102－1010－d＝1d10＝0，10. 解得a1＝1100909，
(3)若等差数列的项数为偶数 2n，则 S 偶－S 奇＝nd．
()
[答案] (1)√ (2)× (3)√
3．在项数为 2n＋1 的等差数列中，所有奇数项的和为 165，
所有偶数项的和为 150，则 n 等于( )
A．9
B．10
C．11
D．12
B [∵SS偶奇＝n＋n 1，∴116550＝n＋n 1．∴n＝10．故选 B 项．]
)
A．1
B．－1
C．2
D．12
A
[∵aa53＝59，∴SS95＝9252aa11＋＋aa95＝95aa53＝95×59＝1．故选 A．]
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3．已知等差数列{an}的前 9 项和为 27，a10＝8，则 a100＝( )
A．100
B．99
C．98
C [∵S9＝27，∴92(a1＋a9)＝92×2a5＝27．
D．97
∴a5＝3，又∵a10＝8，∴d＝a10－5 a5＝1．
∴a100＝a10＋90×d＝8＋90＝98，故选 C．]
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4．等差数列{an}的通项公式是 an＝2n＋1，其前 n 项和为 Sn，则
数列Snn的前 10 项和为________． 75 [因为 an＝2n＋1，所以 a1＝3． 所以 Sn＝n3＋22n＋1＝n2＋2n，所以Snn＝n＋2， 所以Snn是公差为 1，首项为 3 的等差数列， 所以前 10 项和为 3×10＋102×9×1＝75．]
法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，… 成等差数列，
∴设公差为 d，数列前 100 项和为 10×100＋102×9d＝10，解得 d＝－22．
∴前 110 项和 S110＝11×100＋10×2 11d＝11×100＋10×121×(－ 22)＝－110．
知识点 1 等差数列前 n 项和“片段和”的性质 等差数列{an}中，其前 n 项和为 Sn，则{an}中连续的 n 项和构成 的数列 Sn，_S_2_n－__S_n_，S3n－S2n，_S_4_n－__S_3_n_，…构成等差数列．
1．在等差数列{an}中，其前 n 项和为 Sn，S2＝4，S4＝9， 则 S6＝________．