【2020】最新高考数学深化复习+命题热点提分专题21分类与整合思想化归与转化思想文

1.等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q 的值是( )
A.1
B.－12
C.1或－
D.－1或12 【答案】 C
【解析】 当公比q ＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求.当q ≠1时，a1q2＝7，＝21，解之得，q ＝－或q ＝1(舍去).综上可知，q ＝1或－.
2.函数f(x)＝2x ＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】 B
3.已知函数f(x)＝ln x －x ＋－1，g(x)＝－x2＋2bx －4，若对任意的x1∈(0，
2)，任意的x2∈[1，2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数b 的取值范围是
( )
A.
B.(1，＋∞)
C.
D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1，142 【答案】 A
【解析】 依题意，问题等价于f(x1)min ≥g(x2)max ， f(x)＝ln x －x ＋－1，
所以f′(x)＝－－＝.
由f′(x)＞0，解得1＜x ＜3，故函数f(x)单调递增区间是(1，3)，同理得f(x)的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f(x)的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f(x1)min ＝f(1)＝－.
函数g(x2)＝－x ＋2bx2－4，x2∈[1，2].
当b ＜1时，g(x)max ＝g(1)＝2b －5；
当1≤b≤2时，g(x2)max ＝g(b)＝b2－4；
当b ＞2时，g(x2)max ＝g(2)＝4b －8.
故问题等价于
⎩⎪⎨⎪⎧b ＜1，－12≥2b －5，或或⎩⎪⎨⎪⎧b ＞2，－12
≥4b －8. 解第一个不等式组得b ＜1，
解第二个不等式组得1≤b≤，
第三个不等式组无解.
综上所述，b 的取值范围是.故选A.
4．定义函数y ＝f(x)，x∈D，若存在常数c ，对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得＝c ，则称函数f(x)在D 上的均值为c.已知f(x)＝lg x ，x∈[10，100]，则函数f(x)＝lg x 在[10，100]上的均值为( )
A. B. C. D ．10
【答案】A
5．已知g(x)＝ax ＋a ，f(x)＝对∀x1∈[－2，2]，∃x2∈[－2，2]，使g(x1)＝f(x2)成立，则a 的取值范围是( )
A ．[－1，＋∞) B．[－1，1]
C．(0，1] D．(－∞，1]
【答案】B
【解析】对∀x1∈[－2，2]，∃x2∈[－2，2]，使g(x1)＝f(x2)成立等价于当x∈[－2，2]时，函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．易知当x∈[－2，2]时，函数f(x)的值域为[－3，3]．
当a>0时，函数g(x)在[－2，2]上的值域为[－a，3a]，由[－a，
3a]⊆[－3，3]，得－a≥－3且3a≤3，得a≤1，此时0<a≤1；当a＝0时，函数g(x)在[－2，2]上的值域为{0}，显然满足要求；当a<0时，函数g(x)在[－2，2]上的值域为[3a，－a]，由[3a，－a]⊆[－3，3]，得3a≥－3且－a≤3，解得a≥－1，此时－1≤a<0.综上可知，－1≤a≤1.
6．给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值时的点}，则T中的点最多能确定的三角形的个数为( )
A．15 B．25 C．28 D．32
【答案】B
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋
sin(B－A)＝2sin 2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是( )
A. B.7 3
6
C. D.或7 3
6
【答案】B
【解析】在△ABC中，C＝，∴B＝－A， B－A＝－2A，
∵sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin 2A，∴sin C＋sin(－2A)＝2sin 2A，∴sin(2A－)＝sin C＝，∴sin(2A－)＝，
又A∈(0，)，∴A＝或A＝.
当A＝时，B＝，tan C＝＝＝，解得a＝，
∴S△ABC＝ac＝××＝.
当A＝时，B＝，同理可得S△ABC＝.故选B.
8．已知a∈R，则函数f(x)＝acos ax的图像不可能是( )
【答案】D
9．已知α为钝角，且cos(＋α)＝－，则sin 2α＝________．【答案】－
【解析】cos(＋α)＝－，即sin α＝，又α为钝角，∴cos α＝－，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－.
10．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥外接球的表面积等于________cm2.
【答案】14π
【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥A ­ BCD.把该三棱锥补成长方体，可得外接球的直径2r＝，故外接球的表面积为14π.
11．若不等式x2＋2xy≤a(x2＋y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a 的最小值为________．
【答案】
12．如图所示，已知△ABC是等腰直角三角形，CA＝1，点P是△ABC内一点，过点P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分)．当点P在△ABC内运动时，以P为顶点的三个三角形面积和取最小值时，以CP为半径的球的表面积为________．
【答案】
【解析】如图所示，以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(1，0)，B(0，1)．
设过点P且平行于直线AB的直线GE的方程为x＋y＝a(0<a<1)，
则P(m，a－m)，0<m<a，所以PF＝GF＝m，PD＝ED＝a－m.易知直线AB的方程为y＝1－x，将x＝m代入可得y＝1－m＝DH，故HP＝DH－DP＝1－a，故S△DEP＋S△GFP＋S△HIP＝(a－m)2＋m2＋(1－a)2＝m2－am＋a2－a＋＝(m－)2＋a2－a＋≥a2－a＋＝(a－)2＋，所以当a＝，m＝时，三个三角形面积之和最小，此时P(，)，CP＝，所以以CP为半径的球的表面积为π.
13．若实数x，y满足4x2＋2x＋y2＋y＝0，则2x＋y的取值范围是
________．
【答案】[－2，0]
14．如图所示，在四棱锥P ­ ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC ＝90°，PA ＝PD ＝AD ＝2BC ＝2，CD ＝，PB ＝，Q 是AD 的中点，M 是棱PC 上的点，且PM ＝3MC.
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD ；
(2)求二面角M ­ BQ ­ C 的大小．
【解析】(1)证明：连接PQ.因为四边形ABCD 是直角梯形，AD∥B C ，AD ＝2BC ，Q 为AD 的中点，所以四边形BCDQ 为平行四边形，所以QB ＝CD ＝.
因为△PAD 是边长为2的正三角形，Q 是AD 的中点，所以PQ⊥AD，PQ ＝. 在△PQB 中，QB ＝PQ ＝，PB ＝，
所以PQ2＋BQ2＝PB2，所以PQ⊥BQ.
因为AD∩BQ＝Q ，AD ，BQ ⊂平面ABCD ；
所以PQ⊥平面ABCD.
因为PQ ⊂平面PAD ，所以平面PAD⊥平面ABCD.
则＝(0，，0)，＝(－，，)．
设平面MBQ 的一个法向量为m ＝(x1，y1，z1)，则即
⎩⎨⎧3y1＝0，
－34x1＋3 34y1＋34z1＝0，
令x1＝1，得z1＝，所以m ＝(1，0，)，
所以|cos 〈m ，n 〉|＝||＝，
所以二面角M ­ BQ ­ C的大小为30°.
15．如图所示，抛物线C1：y2＝2px与椭圆C2：＋＝1在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为.
(1)求抛物线C1的方程．
(2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶77？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
要使＝，只需＝，
即121＋48m2＝49×121，解得m＝±11，
所以存在直线l：x±11y－4＝0符合条件．
16．已知函数f(x)＝x－1－aln x(a>0)．
(1)若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≥0恒成立，求实数a的取值集合；
(2)证明：(1＋)n<e<(1＋)n＋1(其中n∈N*，e为自然对数的底数)
17.数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0.
(1)求数列的通项公式；
(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
【解析】(1)an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以{an＋1－an}为常数列，
所以{an}是以a1为首项的等差数列，
设an＝a1＋(n－1)d，a4＝a1＋3d，
所以d＝＝－2，所以an＝10－2n.
18.已知函数g(x)＝(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x).
(1)若函数g(x)过点(1，1)，求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；
(2)判断函数f(x)的单调性.。