2023年江苏省南京市鼓楼区金陵中学特长生招生数学试卷+答案解析

一、填空题：本题共8小题，每小题3分，共242023年江苏省南京市鼓楼区金陵中学特长生招生数学试卷
分。

1.分解因式：______.
2.的所有的根的乘积是______.
3.化简：______.
4.已知在中，，
，求
最大值=______.5.分解为
，求
______.
6.已知
为直角三角形，
，
，将绕
点C 逆时针旋转得
，连接AD ，则
______.
7.四边形ABCD 为矩形，点E 、F 为CD 、BC 上两点，
，
当，，的最小值为______；
当，
时，
的最小值为______；
当
时，
的最小值为______
用含n 代数式表示
8.如图，C 是反比例函数
图象上一点，A 为x 轴负半轴上一点，AC 交y 轴于点B ，若BC ：
：3，
面积为9，则
______
.
二、解答题：本题共3小题，共24分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

9.本小题8分
四边形ABCD是菱形，点E为BC中点，，以点E为圆心BE长为半径作与CD交于点
用无刻度直尺过点F作的切线FM，保留作图痕迹，不写作法，并证明FM为的切线.
当时，______.
10.本小题8分
解答下面各题.
画出的图象，并写出函数的3个性质不用列表
已知的图象与的图象仅有一个交点，则k的取值范围为______.
11.本小题8分
函数
求函数图象过哪个定点.
图象与x轴至少有1个交点的横坐标为整数，求a能取的所有整数值.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
先提取公因式4，再对剩余项利用平方差公式继续进行因式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．
2.【答案】2
【解析】解：，
，
，
，
，
或，
或，
解得：，，，，
的所有的根的乘积是
故答案为：
变形后得出，再把方程的左边分解因式，即可得出两个一元二次方程，再求出方程的解，再求出答案即可．
本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成一元二次方程是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
原式
故答案为：
先根据二次根式成立的条件得到，再利用二次根式的除法得到原式，然后根
据二次根式的性质化简后约分即可．
本题考查了二次根式的性质：也考查了二次根式的除法法则．
4.【答案】
【解析】解：由题意，C在以A为圆心，1为半径的上，当BC与相切时，，此时最大，
，
，，
，
最大值为
故答案为：
由题意，C在以A为圆心，1为半径的上，当BC与相切时，，此时最大，根据直角三角形的性质即可求解．
本题考查圆的有关性质，直角三角形的性质等，得出点C的位置是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
代入得①，
代入得②，
①+②得：，
故答案为：
将，分别代入代数式进行运算，得到关于a，b，c，d，e的代数式的值，将两式相加运算，
即可得出结论．
本题主要考查了求代数式的值，利用特殊值法解答是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：过E作，
设，则，，
，，
，
，
故答案为：
由旋转的性质和等腰直角三角形的性质可得，，求出DH的长，即可求解．本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：延长DC到G，使，连接FG，AG，
四边形ABCD为矩形，，，
四边形ABCD为正方形，
，
，，
，，
≌，
，
，
的最小值为AG的长，
在中，
，，
由勾股定理，得，
的最小值为，
故答案为：；
延长DC到G，使，连接FG，AG，
四边形ABCD为矩形，，，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
的最小值为AG的长，
在中，
，，
由勾股定理，得，
的最小值为，
故答案为：；
延长DC到G，使，连接FG，AG，
四边形ABCD为矩形，，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
的最小值为AG的长，
在中，
，，
由勾股定理，得，
的最小值为，
故答案为：；
延长DC到G，使，连接FG，AG，利用SAS证明≌，得到，从而得到的最小值为AG的长，再求出AG的长即可；
延长DC到G，使，连接FG，AG，证明∽，得到，从而得到
的最小值为AG的长，再求出AG的长即可；
延长DC到G，使，连接FG，AG，证明∽，得到，从而得到
的最小值为AG的长，再求出AG的长即可．
本题考查最短路线问题，解答中涉及全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，通过作图用一条线段的长表示出两线段和的最小值是解题的关键．
8.【答案】9
【解析】解：过C作轴，垂足为D，
设点C坐标为，
，，
：：3，
：：1，
，
：：：1，
，
面积为9，
，
，
故答案为：
设点A坐标为，用含m代数式表示OA长度，再由三角形OAC面积得mn的值．
本题考查反比例函数图象上的点的坐标与系数k的关系，解题关键是通过设参数表示出点A坐标，然后通过已知条件求出点C横纵坐标的积的关系．
9.【答案】
【解析】解：如图所示：直线FM即为所求；
理由：连接
四边形ABCD是菱形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，，
，
是圆心，
为的切线，
设EF交AC于点
，，
是等边三角形，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交AD于点M，作直线FM，直线FM即为所求；
设EF交AC于点想办法求出FK，AK，再利用勾股定理求解．
本题考查作图-复杂作图，切线的判定，菱形的性质，等边三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】或
【解析】解：描点，并画出函数的图象如下：
由图可知，图象关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
，
的图象始终过点，
画出函数的图象如图2，
①如图3，当时，，与时的图象有无数个交点，
②如图4，当时，的图象与的图象仅有一个交点，
③时，的图象与的图象无交点；
④时，，与时的图象平行，无交点；
⑤如图5，当时，的图象与的图象仅有一个交点，
故答案为：或
利用描点法画出图象，写出3条合理的性质即可，答案不唯一；
的图象始终过点，分三种情况：①时，②时，③
时，④时，⑤时，观察图象，可得答案．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】解：
，
当时，，
函数必过定点
把代入，得，
，
，
，x均为整数，
或或或
，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
可取整数值0或1或
【解析】将原函数关系式变形为，从而可得到二次函数图象经过定点的坐标；
把代入，得，变形得到
，由a，x均为整数，即可得到或
或或，分这4种情况求得a的值即可．
本题主要考查抛物线与x轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，把解析式进行变形是解决此题的关键．。