2020高考数学(理)模拟试卷含答案

2020年高考虽然推迟，但是一定要坚持多练习，加油！
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、
已知i z i -=+⋅)1(那么复数z 对应的点位于复平面
内的（ ） A 、第一象限 B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
2、
过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)1C x y -+-=的两切线，设
两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C 的圆方程是 （ ）
A 、
22(1)2x y +-= B 、22(1)1x y +-= C 、22(1)4x y -+= D 、
22(1)1x y -+=
3、
已知椭圆2214x y n +=与双曲线22
18x y m
-=有相同的准
线，则动点(,)P n m 的轨迹为（ ）
A 、椭圆的一部分
B 、双
曲线的一部分 C 、抛物线的一部分 D 、直线的一部分 4、
若圆
x 2+y 2=r 2(r>0)至少能盖住函数
r
x
x f 2sin
30)(π=的一个最大值点和一个最小值点，则r
的取值范围是（ ）
A 、),30[+∞
B 、),6[+∞
C 、),2[+∞π
D 、以上都不对 5、
已知(3x+2)n (n ∈N *)的展开式中各项的二次项系
数和为S n ，各项系数和为T n , 则lim
n n
n n n
S T S T →+∞-+的值为 （ ）
A 、 １
B 、 ０
C 、 1
2
D 、－１ 6、
若
其中),2
(),1(),2(
,log )(2
23
1b a f T ab
f S b a f R x x f +==+==a 、b 为
正实数，则R 、S 、T 的大小关系为 （ ） A 、T ≥R ≥S B 、R ≥T ≥S C 、S ≥T ≥R D 、T ≥
S ≥R 7、
已知函数)(x f y =的定义域为R ，它的反函数为
)(1
x f
y -=，如果)(1
a x f
y +=-与)(a x f y +=互为反函数且
a f =)( （a 为非零常数）则)0(f 的值为 （ ）
A 、 a -
B 、 0
C 、 a
D 、 a 2 8、
一条长椅上有9个座位，若3个人坐，要求相邻2
人之间至少有2个空椅子，则共有（ ）种不同的坐法。

A 、84
B 、72
C 、60
D 、48
9、
已知A 、B 、C 三点共线，O 是这条直线外一点，
设,a OA =,b OB =,c OC =且存在实数m ，使03=+-c b a m 成立，则点A 分BC 的比为（ ）
A 、31-
B 、 21-
C 、 31
D 、 2
1
10、 已知)()(x 、g x f 都是定义在R 上的函数, g(x)≠0,)()()()(''x g x f x g x f <,)()(x g a x f x =，2
5
)1()1()1()1(=--+g f g f ，在有穷数列{
)
()
(n g n f }( n=1,2,…,10）中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于
16
15
的概率是（ ） A 、51 B 、52 C 、53
D 、5
4
二、填空题（每题4分，共20分）
11、 540(1)1
lim
(1)1
x x x →+-=+- 。

12、 已知球的内接正方体的棱长为2，则该球的体积为 ．
13、 已知数列{}n a 满足：112a =，121
1
n n a a n -=+-()2n ≥，则10a 等于______ 14、 函
数
2sin cos cos sin ++=ϕωϕωx A x A y
)20,0,0(πϕω<<>>A 的图象如右，则
ω=______,ϕ=______.
15、 给出如下4个命题：①若α、β是两个不重合的平面，l 、m 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m ；②对于任意一条直线a ，平面α内必有无数条直线与a 垂直；③已知命题P ：若四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线.而命题P 的逆否命题是假命题；④已知a 、b 、c 、d 是四条不重合的直线，如果a ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥c ，b ⊥d ，则“a ∥b ”与“c ∥d ”不可能都不成立.在以上4个命题中，正确命题的序号是______. (要求将所有你认为正确的命题序号
都填上)
数学答卷（理科）
学校 班次 姓名 考号
学校 班次 姓名 考号
数学（理科）答案
一、CADBD 、ADCAC
二、11、5
4 12、 π34 13、110
127
14、3，3
π 15、
①②④ 三、
2222
160,sin 2sin cos 3cos 0(sin 3cos )(sin cos )0tan 3tan 1[
,],tan 1(2
sin(2)sin 2cos
cos 2sin
3
3
3
sin cos cos sin tan 1a b a b x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π
ππ
π
π
⊥∴•=⇒+-=⇒+-=⇒=-=∈∴=+
=+=++=r r r r
Q Q Q 、(本题满分12分）解：或
舍去）
2
tan x ++=-
17、解:(1)依题意知ξ∽B(2，s)，故E ξ=2s=3
4，
∴s=3
2． …………2分
η的取值可以是0，1，2. 甲、
乙两人命中10环的次数均为0次的
概率是36
1)3
1()2
1(22=⨯， 甲、
乙两人命中10环的次数均为1次的
概率是9
2)3
2313
132)(21212
121(=⨯+⨯⨯+⨯， 甲、
乙两人命中10环的次数均为2次的
概率是91)3232)(2121(=⨯⨯，
∴p (η=0)=36
13
9192361=++． ………
…6分
甲命中10环的次数为2次且乙命中10环的次数为0次的概率是36
1)3
131)(2121(=
⨯⨯， 甲命中10环的次数为0次且乙命中10环的次数为2
次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯．
∴p (η=2)=91361+=36
5
，
∴p (η=1)=1p -(η=0)p -(η=2)=2
1
36536131=--． …
……10分 故η的分布列是
………
12分 （2）E η=9
7
365221136130=⨯+⨯+⨯． …………14分
18、 (1)解法一:联结AC 交DB 于点O. ∵ABCD 是正方形,∴AC ⊥DB.
又PD ⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD, ∴AC ⊥PD, ∴AC ⊥平面PBD.
作OF ⊥PB 于点F,联结AF,则AF ⊥PB. ∴∠OFA 就是二面角A-PB-D 的平面角. …………2分
∵PD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴PA ⊥AB. 令PD=AD=2，则在RT ∆ABC 中,PA=222222=+,AB=2. ∴PB=32,∴36
23
2222=
⋅=⋅=PB AB PA AF . ∴在RT ∆AOF
中,sin 2336220===∠AF AO AF ,∴0600=∠AF .
∴二面角A-PB-D 的大小为
060. …6分
解法二:建立如图所示的直
角坐标系.
联结AC,交BD 于点O,取PA
中点G,联结DG.
∵ABCD 是正方形,∴AC ⊥DB.
又PD ⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD, ∴AC ⊥PD, ∴AC ⊥平面PBD.
∵PD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴PA ⊥AB. ∴AB ⊥平面PAD.
∵PD=AD,G 为PA 中点, ∴GD ⊥平面PAB. 故向量DG AC 与分别是平面PBD 与平面PAB 的法向量.
令PD=AD=2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，∴AC =(-2，2，0).
∵P(0,0,2),A(2,0,0),
∴G(1,0,1),∴DG =(1,0,1). ………4分 ∴向量DG AC 与的夹角余弦为2
12222
cos -=⋅-=⋅=DG AC θ， ∴0120=θ,∴二面角A-PB-D 的大小为060. …6分
(2)解法一: 当点E 是线段PB 中点
时,
有PC ⊥平面ADE. …………7分
证明如下:
取PC 中点H,联结EH,DH,则有EH ∥BC,
又BC ∥AD,故有EH ∥AD. ∴平面ADE 即平面ADHE. …………9分
∵PD=DC,H 为PC 中点,
∴PC ⊥DH.又∵PD ⊥平面ABCD ，
AD ⊥CD ，∴AD ⊥PC.
∴PC ⊥平面ADHE,即PC ⊥平
面ADE. ………12分 解法二：建立如图所示的直角坐标系.
∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，∴AD ⊥PC. z y
x B A P D C E
设E 是线段PB 上的一点，令)10(<<=λλPB PE . 令PD=AD=2，则
P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),
∴=AP (-2,0,2),=PB (2,2,-2),=PC (0,2,-2). ∴)2,2,2(λλλ-=PE . ∴)22,2,22(λλλ-+-=+=PE AP AE .…10分 令得,0=⋅222-⋅λ(2-λ2)=0,得2
1=λ. ∴当2
1=λ,即点E 是线段PB 中点时,有AE ⊥PC.又∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，∴AD ⊥PC.∴当点E 是线段PB 中点时,有PC ⊥平面ADE. …12分
19、解：∵)),ln(,1(),1,(a x n x m +=-=， ∴)ln()(a x x n m x f +-=⋅=函数． …………2分 ∴)(21)1()(22121
)(2'a x x a x a x x a x x a x x x f +-+-=++-=+-=．…4分
当∈x (0，1]时,由于0>a ,故)(2a x x +>0．
(1)当a ≥1时
)('x f ≥0在区间(0，1]上恒成立， ∴)(x f 在区间(0，1]上是增函数．
∴)(x f 在区间(0，1]上的最大值是)1ln(1)1(a f +-=． ………8分
(2)当0<a <1时)('x f ＞0⇔01)1(2>-+-a x ),)11(())11(,0(22+∞-+--∈⇔a a x Y ． )('x f ＜0⇔01)1(2<-+-a x ))11(,)11((22a a x -+--∈⇔． 由于2)11(a --＜１，2)11(a -+＞１，
故函数)(x f 在区间(0，2)11(a --]上是增函数，在区间（2)11(a --，１］上是减函数．
∴)(x f 在区间(0，1]上的最大值是f （2)11(a --）＝)122ln(11a a -----．…………14分
1111121221(1)1812(1)2(1)(1)(2)2(2)2,242{}2n n n n n n n n n n n na S n n na n a a n n a S n n n a a n a a S a a a a a n
++-+=++⎫⇒--=+⎬-=+-≥⎭
⇒=+≥==+⇒=∴-=⇒=Q Q 、(本题满分分)(1)综上可知为等差数列1111
23112312323(2)(1)2(1)(1)
(1)(1)22(1)(2)(1)(1)(2)222331,,,,2n n n n n n n n
n n n n n n n n n na S n n n n S n n S n n S n n b n n n n n n b b b b n b b b b b b b b b b b b t t t +++++=++⇒+=+++⇒=+∴==++++--=-=∴=∴≥⇒<===∴≤∴≤⇒Q Q K K K 3因为的最大值为==　2
3又因为对于一切正整数n 都有的最小23值为2
21、解：（1）依题设抛物线C 的方程为：22(0)y px p =>
20、解：
由条件可知922124
p p +=⇒=∴曲线C 的方程为2y x = （2）由题设，过M 的l i 的方程为
x-2+t(y-1)=0,222(1)020x t y y ty t y x
-+-=⎧⇒+--=⎨=⎩ △=t 2+4t+8>0,对于一切t 成立，∴过点M 的任意一条直线l i 与C 恒有公共点。

(3)设22,A (,),(,)i i i i i i i i
A M i a a
B b b MB λ=又设，由定比分点坐标公式得：22222221111i i i i i i i i i i i i a b i a b i a b i a b i λλλλλλλλ⎧+=⎪⎧+-=⎪⎪+⇒⎨⎨++-=⎪⎪⎩=⎪+⎩
，消去b i 得 2
22222123412341234142142(1)(2)(1)0221,()(1)(1,2,3,4),,,1-,1-,1-,1-1-,1-,1-,1-3,,,3i i i i i i i i i i i
i i i a a a a a a i a a a a a a a a a a a a a d a d a d a d A M A M A M MB MB MB λλλλλλλλ+-=⇒----=+-⇒=-=-=--+++-Q 舍去成公差不为零的等差数列亦成公差不为零的等差数列不妨设分别为则有314233
22221423222223
1421423
()()(1)(1)[(1)(1)](3)(3)[()()]
16A M MB a a a a a d a d a d a d A M A M A M A M d MB MB MB MB λλλλ+=+-+=-+---+-=-++--++=⇒+>+。