点群和空间群

如图所示，为4度螺旋轴。晶体绕 A
2
轴转900后，再沿该轴平移a/4，能自身
1
重合。
26
2.滑移反映面
经过该面的镜象操作
A2
以后,再沿平行于该面的某
个方向平移T/n的距离(T是
A1
该方向上的周期矢量，n为
2或4)，晶体中的原子和相
A
同的原子重合。
M A2
A1
A
M
27
例题1：立方系的对称性简析。
(1) 三 个 相 互 垂 直 的 四 度 轴
❖ 宏观对称要素和微观对称要素在三维空间的组合，称为空 间群。
❖ 经过严格证明可以得出，晶体中可能存在230种空间群，任 何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
点群与空间群的关系
晶体外形的对称性仅有32个点群，而晶体结构的对称性却有320
种空间群。晶体外形的对称性是晶体结构对称性的反映。 属于同一点群的晶体不一定属于同一空间群。换言之，空间群
对称要素。
有的
52
53
54
7大晶系
按照晶胞6个点阵常数（a, b, c, , , ）之间的关系特点 ，将晶体划分为7种晶系。
立方晶系 abc,900
四方晶系 abc,900
四方晶系 菱方晶系
单斜晶系
菱方晶系 abc,900
六方晶系 a1a2 a3c,900 1200
正交晶系 abc,900
立方晶系 六方晶系 正交晶系 三斜晶系
单斜晶系 abc,900
三斜晶系 abc,900
注意： 准确的说划分晶系的依据是特征对称性而不是晶胞参数。
56
14种布拉菲点阵
按照结点在7大种晶系上的不同分布方式，可形成14种布拉菲点阵。
结点在单胞中的4种分布方式：
单胞中结点数目
简单点阵（P）:结点均在角顶上
绕三个立方轴转动34加中心反演36绕6条面对角线轴转动加上中心反演37例题3正六面柱的对称性分析以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作正六面柱的对称操作有24个3839不考虑晶体的平移对称性晶体的宏观对称性40晶体中不包括平移在内只能有8种独立的基本对称元素c3c4体可以有不只一个对称元素但各个对称元素组合起来时必须满足一定的关系
40
7大晶系与32点群的对应关系。
41
2）7大晶系和32晶体学点群关系
将32种对称性可划分为7种晶系
三、32种晶体学点群
三、32种晶体学点群
45
46
47
49
230种晶体学空间群
❖ 除了宏观对称要素之外，还有平移、平移与旋转结合形成 的螺旋对称轴、平移和反映结合形成的滑移面等微观对称 要素。
中 心 反 演 到 A' 点 ， 晶体完全重合。实
O(对称心)
y
际上即为中心反演
x
x, y,z
A
16
(2) 2 象转轴——实际上就是对镜象m。
z(u轴)
A
Ax, y, z
x, y, z
和O-xy对称面 的操作相当。
O(对称心)
y
x
x, y,z
A 17
18
(3) 3 象转轴——实际上就是3度转轴＋对称心(i)
9
4.对称轴度数 度数 n 2
3
4
6
符号表示
符号
10
5. 长方形、 正三角形、 正方形和正 六方形可以 在平面内周 期性重复排 列。正五边 形及其它正 n 边形则不 能作周期性 重复排列。
11
晶体中不可能出现5次轴或高于6次的对称轴。这是由于它们不符合空间格子
构造规律。 只有1、2、3、4、6次五种对称轴才能按空间格子中结点分布要求构成面网 网孔，不留间隙地排满整个平面。
熊夫利符号：C1 ,C2 ,C3 ,C4 ,C6 ,i, , S4
25
五、晶体的微观对称操作
A4
1.n度螺旋轴
晶体绕u轴每转2/n角度后，再沿
4
A3
该轴的方向平移T/n的 l 倍，则晶体中的
3
原子和相同的原子重合(其中l为小于n的
整数；T为沿u轴方向上的周期矢量)。
A2
晶体只能有1，2，3，4，6度螺旋轴。 A1
—— 正六面柱的对称操作有24个
37
38
39
32种点群
晶体中不包括平移在内，只能有8种独立的基 本对称元素, 即C1 , C2 , C3, C4 , C6 , m, i 和4。一个晶体可以有不只一个对称元素, 但各个对称元素组合起来时, 必须满足一定的 关系. 不考虑晶体的平移对称性, 晶体的宏观 对称性只可能有32 种不同的组合方式——即 32种对称类型。
1.象转轴
(1)定义
先绕u轴转动2/n，再经过中心反演，晶体自动重
合，则称u轴为n度旋转—反演轴，又称为n度象转轴。
只有1，2，3，4，6。
(2)符号表示
1，2，3， 4， 6
2.象转轴解析
15
(1) 1 象转轴——实际上就是对称心i。
A点绕旋转轴(z轴)
z(u轴)
Ax, y, z
旋 转 3600 ， 在 经 过
5
3
3
5
1
1
4
6
2
4
6 2
19
20
(3) 6 象转轴——实际上就是3度转轴＋对称面(m)
5 5
3
3
1
1
2
6
2
4
6
4
21
22
(3) 4 象转轴
3
1 2
2
3
1 4
4
23
24
结论： 晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称
操作：1，2，3，4，6，1, m, 4 。 这些基本的操
作组合起来，就可以得到32种不包括平移的宏观 操作类型。
标原点上，则有(x,y,z)点与(-x,-y,-z)点等同。
13
三、镜象(镜面反映、对称面)
1.镜象 如图所示，A和A’等同，如同镜子一样。
2.表示方式
(1)熊夫利符号表示—— ;
(2)国际符号表示——m。
z A x, y, z
A
A
O
y
x
A x, y,z O-xy 相当于镜面。
14
四、n度旋转—反演轴(象转轴)
点群和空间群
1
晶体对称性
2
3
4
5
§1 晶体的特殊对称性——对称操
作
四种基本的操作——转动（旋转）、反演、镜象（反映
）、象转轴（旋转反映）。
一、转动
1.转动对称操作
设晶体外形为一立方体，沿图中
所示转轴转动900，外形与原来重合。
这样的转动称为转动对称操作。该轴
称为转动轴。如果转动1800等晶体都 保持外形重合。
2
n : 3 2 1 0 -1;
cos : 1
:0
2
1
0.5 0 - 0.5 -1
2
323
2 2 2 2
643
2
2
n
n 1，2，3，4，6。 分别称 为1，2，3，4，6次( 度 )转轴。 8
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis) (1)定义
晶体绕某一固定轴u旋转角度2/n以后，能自身重
合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。n只能取1，2，3 ，4，6。
晶体不能有5度或6度以上的转轴。 (2)对称轴表示方式 ①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示
C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示
1、 2、 3、 4、 6。
：
底心点阵(C):除角顶外每一对面上各有一个结点 简单(原始)点阵: 1
体心点阵(I):除角顶外中央有一个结点
面心点阵： 4
面心点阵(F):除角顶外每个面上均还有一个结点 底心点阵： 2
体心点阵： 2
简单点阵 : 1 ［［000］］
体心点阵: 2 [000] [1/2 1/2 1/2 ]
底心点阵:2 [000] [1/2 1/2 0 ]
二、中心反演(中心反映)
1.中心反演
如图所示，有对称心i，晶体中
iA
任一点A过中心 i 连线Ai并延长到A'
，使Ai = A' i, A与A'是等同点， i点
A
称为对称心。
2.表示方式
x, y, z
(1)熊夫利符号表示——i;
x, y,z
(2)国际符号表示—— 1
例：立方体的中心就是对称中心。如果将对称心放在坐
22
加中心反演
35
4. 绕6条面对角线轴转动 加上中心反演
36
例题3 正六面柱的对称性分析
1. 绕中心轴线转动 , 2 , , 4 , 5
33 3 3
—— 5个
2. 绕对棱中点连线转动π —— 3个 3. 绕相对面中心连线转动π —— 3个
4.正交变换—— 1个
5. 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作
转动轴
6
2.转动对称操作的种类 由于受晶格周期性的限制，转动对称操作所转动的
角度并不是任意的。而是遵循一定的规律。
B
A
B1
A
B
A1
AB是晶列上最近邻两格点的距离。
BA nAB AB AB cos BAcos AB(1 2cos )
cos n 1
n是整数。
2
7
cos n 1，且1 cos 1， n只能取值：3，2，1，0， 1。
不同的几种晶体，可属于同一点群，这是由于晶体微观结构对
称性反映到晶体外形上时，晶体结构上所包含的平移群，都被
其均匀性所掩盖的缘故。
❖ 对称型（点群）与空间群的差别
晶体对称型与空间群之差异，即是否有平移操作。
点群无平移的原因: A、晶体几何外形是有限的，平移操作是不能成立 B、对称型中所有对称要素都必须是共点。 C、晶体外部对称上不存在的滑移面和螺旋轴等微观上特
59
60
61
62
63
64
重要对称元素的书写与图形记号
面心点阵: 4 [000] [1/2 1/2 0] [1/2 0 1/2] [ 0 1/2 1/2]
根据点阵参数的特点和结点的分布，所有晶体空间点阵的种类有14种。
单胞中阵点的排列方式
14
5
2
四方晶系
6
菱方晶系
3 7
单斜晶系
立方晶系 六方晶系 正交晶系 三斜晶系
14种布拉菲点阵
1 简单立方 8 简单正交 2 面心立方 9 底心正交 3 体心立方 10 面心正交 4 简单四方 11 体心正交 5 体心四方 12 简单单斜 6 菱形（三角）13 底心单斜 7 简单六方 14 简单三斜
28
(2)四个三度轴(空间对角线)
29
(3)六个2度轴
30
(4)三个和四度轴垂直的对称面 (5)六个和2度轴垂直的对称面
31
例题2：金刚石的对称性简析—正四面体的对称操作
四个原子 位于正四 面体的四 个顶角上
32
1.绕三个立方轴转动
33
2. 绕4个立方体对角线轴转动 2 , 4
33
34
3. 绕三个立方轴转动 , 3