数学_2011-2012学年安徽某校高三第一次摸底数学试卷(文科)(含答案)

2011-2012学年安徽某校高三第一次摸底数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合A ={x|x 2=1}，B ={x|ax =1}．若B ⊆A ，则实数a 的值为（ ）
A 1
B −1
C ±1
D 0或±1
2. 若a >0，b >0，且a +2b −2=0，则ab 的最大值为（ ）
A 12
B 1
C 2
D 4
3. 已知点M 是直线l:2x −y −4=0与x 轴的交点，过M 点作直线l 的垂线，得到的垂线的直线方程是（ ）
A x −2y −2=0
B x −2y +2=0
C x +2y −2=0
D x +2y +2=0
4. 命题“∃x ∈R ，使x 2+ax −4a <0为假命题”是“−16≤a ≤0”的（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分又不必要条件
5. 将函数y =sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A y =2cos 2x
B y =2sin 2x
C y =1+sin(2x +π4)
D y =cos2x
6. 已知两个单位向量e 1→，e 2→的夹角为θ，则下列结论不正确的是( )
A e 1→在e 2→方向上的投影为cosθ
B e →12=e →22
C (e 1→+e 2→)⊥(e 1→−e 2→)
D e 1→⋅e 2→=1 7. 一个空间几何体的正视图，侧视图如图，图中的单位为cm ，六边形是正六边形，则这个空间几何体的俯视图的面积是（ ）
A 6√3cm 2
B 8√3cm 2
C 10√3cm 2
D 20cm 2
8. 函数y =lg|x|x 的图象大致是( )
A B
C D 9. 点P 是双曲线C 1：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与圆C 2:x 2+y 2=a 2+b 2的一个交点，且
2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，其中F 1、F 2分别为C 1的左右焦点，则C 1的离心率为( )
A √3+12
B √3+1
C √5+12
D √5−1 10. 从x 2m −
y 2n =1（其中m ，n ∈{−1, 2, 3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为（ ） A 12 B 47 C 23 D 34
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上．
11. 直线3x −4y +3=0与圆x 2+y 2=1相交所截的弦长为________．
12. 若向量a →与b →满足：|a →|=2，|b →|=2，|a →+b →|=2，则a →与b →的夹角为________．
13. 若实数x ，y 满足约束条件{5x +3y ≤15
y ≤x +1x −5y ≤3
，则z =3x +5y 的最大值为________．
14. 已知函数f(x)={(12)x x ≥4f(x +1)x <4
，则f(2+log 23)的值为________． 15. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，过对角线BD 1的一个平面交AA 1于E ，交CC 1于F ，得四边形BFD 1E ，给出下列结论：
①四边形BFD 1E 有可能为梯形
②四边形BFD 1E 有可能为菱形
③四边形BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形
④四边形BFD 1E 有可能垂直于平面BB 1D 1D
⑤四边形BFD 1E 面积的最小值为√62
其中正确的是________（请写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共4小题，共75分．（12×3+13×3）
16. 在△ABC 中，BC =√5，sin(2A −π6)−2sin 2A =0．
（1）求角A ；
（2）设△ABC 的面积为S ，且S =BA →⋅BC →，求边AC 的长． 17. 在每年的春节后，某市政府都会发动公务员参与到植树绿化活动中去．林业管理部门在植树前，为了保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检
测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗，量出它们的高度如下（单位：厘米）：甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33；
乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46．
（1）画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论；
（2）设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x¯，将这10株树苗的高度依次输入，按程序框（如图）进行运算，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义．
18. 已知{a n}是公比大于1的等比数列，a1，a3是函数f(x)=x+9
x
−10的两个零点．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足b n=log3a n+n+2，且b1+b2+b3+...+b n≥80，求n的最小值．
19. 已知函数y=f(x)=lnx
x
．
（1）求函数y=f(x)的图象在x=1
e
处的切线方程；
（2）求y=f(x)的最大值；
（3）设实数a>0，求函数F(x)=af(x)在[a, 2a]上的最小值．
2011-2012学年安徽某校高三第一次摸底数学试卷（文科）答案
1. D
2. A
3. C
4. C
5. A
6. D
7. D
8. D
9. B
10. B
11. 8
5
12. 120∘
13. 17
14. 1
24
15. ②③④⑤
16. 解：（1）由sin(2A−π
6)−2sin2A=0可得√3
2
sin2A+1
2
cos2A=1，
所以sin(2A+π
6
)−1=0，∵A为△ABC的内角，
∴ A =π6．…
（2）由题意可得：S =BC →⋅BA →=|BC|⋅|BA|⋅cosB ，
又因为BC →⋅BA →=12|BC|⋅|BA|⋅sinB ， 所以cosB =12sinB ， 又因为sin 2B +cos 2B =1
所以解得sinB =2√55．
在△ABC 中，由正弦定理得BC sinA =AC sinB ，即
√5sin π6=2√55，
解得AC =4．… 17. 解：（1）茎叶图；
统计结论：
①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；
②甲种树苗比乙种树苗长得整齐；
③甲种树苗的中位数为27，乙种树苗的
中位数为28.5；
④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集
中在均值附近，乙种树苗的高度分布比较分散．
（2）x ¯=19+21+20+29+23+25+37+31+32+33
10=27，
S =(19−27)2+(21−27)2+(20−27)2+⋯+(33−27)2
10
=35 S 表示10株甲种树苗高度的方差．是描述树苗高度离散程度的量，S 越小表越整齐，相反参差不齐．
18. 解：（1）由f(x)=x +9
x −10=0，得x 2−10x +9=0，
解得x 1=1，x 2=9，
∵ {a n }是公比q 大于1的等比数列，a 1，a 3是函数f(x)=x +9x −10的两个零点， ∴ a 1=1，a 3=9，
∴ 1×q 2=9，∴ q =3，
∴ a n =1×3n−1=3n−1．
（2）∵ a n =3n−1，
∴ b n =log 3a n +n +2=log 33n−1+n +2=2n +1，
∴ b 1+b 2+b 3+...+b n =(2×1+1)+(2×2+1)+(2×3+1)+...+(2n +1) =2(1+2+3+...+n)+n
=n(n +1)+n
=n 2+2n ，
∵ b 1+b 2+b 3+...+b n ≥80，
∴ n 2+2n ≥80，
解得n ≥8，或n ≤−10（舍），
故n 的最小值为8．
19. 解：（1）∵ f(x)定义域为(0, +∞)，∴ f′(x)=1−lnx x 2
∵ f(1e )=−e ，又∵ k =f′(1e )=2e 2，
∴ 函数y =f(x)的在x =1e 处的切线方程为：
y +e =2e 2(x −1e )，即y =2e 2x −3e ． （2）令f′(x)=0得x =e ．
∵ 当x ∈(0, e)时，f′(x)>0，f(x)在(0, e)上为增函数， 当x ∈(e, +∞)时，f′(x)<0，则在(e, +∞)上为减函数， ∴ f max (x)=f(e)=1e ．
（3）∵ a >0，由（2）知：
F(x)在(0, e)上单调递增，在(e, +∞)上单调递减． ∴ F(x)在[a, 2a]上的最小值f(x)min =min{F(a), F(2a)}， ∵ F(a)−F(2a)=12ln a 2，
∴ 当0<a ≤2时，F(a)−F(2a)≤0，f min (x)=F(a)=lna ． 当a >2时，F(a)−F(2a)>0，f(x)min =f(2a)=12ln2a ．。