山西省怀仁市重点中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

理科数学试题
一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设命题p ：∃n ∈N ，n 2
＞2n
，则¬p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2
＞2n B.∃n ∈N ，n 2≤2
n
C ．∀n ∈N ，n 2≤2
n
D.∃n ∈N ，n 2＝2n
2.命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( ) A ．1 B.2 C.3 D.4
3.下列说法正确的是( )
A ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
B ．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C ．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D ．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
4.某三棱锥的三视图如图①所示，则该三棱锥的表面积是( )
图①
A ．2＋ 5 B.4＋ 5 C.2＋2 5 D.5 5.下列说法正确的是( )
A ．命题“若x 2
＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2
＝1，则x ≠1” B ．若a ，b ∈R ，则“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件 C ．命题“∃x 0∈R ，x 2
0＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2
＋x ＋1>0” D ．若“p 且q ”为假命题，则p ，q 全是假命题
6.直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k 的取值范围是( ) A.－1<k <1
5
B.－1<k <12
C.k >1
5
或k <－1
D.k >1
2
或k <－1
7.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行
C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面
8.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≤1，x ＋y ≥2，
y ≤2，
则目标函数z ＝x 2＋y 2
的取值范围为( )
A.[2,8] B ．[4,13] C.[2,13] D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤52，13
9.已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )
A ．2x ＋y ＋1＝0 B.2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0 D.2x －y ＋5＝0 10.已知A ，
B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )
A. 5
B.2
C. 3
D. 2
11.在一直角坐标系中，已知A (－1,6)，B (3，－8)，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为( )． A.412 B.41 C.17 D.217
12.若圆C ：x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 .
14.已知双曲线)0(12
22>=-a y a
x 的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.
15.如图②，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________．
图②
16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b
c
x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆
的离心率是_____．
三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17题10分，其余5道题每题12分）
17.在△ABC 中，已知A (5，－2)、B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：
(1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程.
18.已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2
－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．
(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；
(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围． 19.已知圆C ：x 2
＋y 2
－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；
(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .
20.如图③，四棱锥S ­ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝1，DC ＝SD ＝2，
E 为棱SB 上的一点，且SE ＝2EB .
图③
(1)证明：DE ⊥平面SBC ； (2)求二面角A ­DE ­C 的大小．
21.如图④，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q
两点，且PQ ⊥PF 1.
④
(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e.
22.已知抛物线C ：y ＝mx 2
(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P
是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)求抛物线C的焦点坐标；
(2)若抛物线C上有一点R(x R,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；
(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
理科数学参考答案
1-5CBBCB 6-10DDCDD 11-12DC
13.x2＋y2＝2 14.
3
3
15. 2 16.
2
2
17.
即5x－2y－5＝0
18.解(1)∵对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m2－3m.即m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.
因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．
19. (1)由圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，
得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆心C(2,3)．当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y －5＝k(x－3)，
即kx－y＋5－3k＝0.由d＝|2k－3＋5－3k|
k2＋1
＝1，得k＝
3
4
.
又斜率不存在时直线x＝3也与圆相切，
故所求切线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.
(2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，又点C 到OA 的距离d ＝|5×2－3×3|5232
＝1
34.又|OA |＝32＋52
＝34.所以S ＝12|OA |d ＝12
.
20.由题意，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)，
则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，S (0,0,2)，DB →＝(1,1,0)，DS →
＝(0,0,2).2分 (1)证明：∵SE ＝2EB ，∴DE →＝23DB →＋13DS →＝23(1,1,0)＋13(0,0,2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23.
又BC →＝(－1,1,0)，BS →
＝(－1，－1,2)， ∴DE →·BC →＝0，DE →·BS →＝0，∴DE →⊥BC →，DE →⊥BS →. 又BC ∩BS ＝B ，∴DE ⊥平面SBC .
5分
(2)由(1)知，DE ⊥平面SBC ，
∵EC ⊂平面SBC ，∴DE ⊥EC .取DE 的中点F ，
则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13，FA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2
3，－13，－13，故FA →·DE →＝0，由此得FA ⊥DE .
10分
∴向量FA →与EC →
的夹角等于二面角A ­DE ­C 的平面角，
又cos 〈FA →，EC →
〉＝FA →·EC →|FA →||EC →|＝－12， ∴二面角A ­DE ­C 的大小为120°.
12分 21.
(2)方法一：连接QF 1，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 2
0＋
y 2
＝c 2
，求得x 0＝±a c a 2－2b 2
，y 0＝±b 2c。

由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而|PF 1|2＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4
c
2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝()a ＋a 2－2b 22。

由椭圆的定义，|PF 1|＋
|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a 。

从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|。

又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，
从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a ， 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝|F 1F 2|2
＝(2c )2
，
因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|
2
2a
＝
2－2
2
2－1
2
＝9－62＝6－3。

22.
(3)存在，联立方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝mx 2
，
2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2
－2x －2＝0，
依题意，有Δ＝(－2)2
－4×m ×(－2)>0⇒m >－12
.
设A (x 1
，mx 2
1
)，B (x 2
，mx 22
)，则⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1＋x 2＝2
m
，
x 1
·x 2
＝－2
m
.(*)
∵P 是线段AB 的中点，∴P (
x 1＋x 22
，
mx 21＋mx 2
2
2
)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1
m
)．
得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m )，QB →＝(x 2－1m ，mx 2
2－1m
)，
若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →
＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 2
2－1m )＝0，结合(*)化简得－4m 2－6m
＋4＝0，
即2m 2
－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(0，＋∞)，－12∉(0，＋∞)．
∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．。