【精选3份合集】洛阳市名校2019-2020学年高一数学下学期期末教学质量检测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，若输入3
k=，则输出S=（）
A．13 B．15 C．40 D．46
2．在ABC
∆中，已知
1
tan
2
A=，310
cos B=.若ABC
∆10）
A2B3C5D．22
3．已知{}n a为等差数列，135105
a a a
++=，
246
99
a a a
++=，则
20
a等于（）.
A．1-B．1C．3D．7
4．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对几何问题有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指出的是：已知动点M与两定点A，B 的距离之比为()
0,1
λλλ
>≠，那么点M的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆.请解答下面问题：已知()
3,0
A，()
0,0
O，若直线340
x y c
-+=上存在点M满足2
=
MA MO，则实数c的取值范围是（）A．()
7,13
-B．[]
7,13
-C．()
11,9
-D．[]
11,9
-
5．若x，y满足不等式组
10
10
330
x y
x y
x y
+-≥
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪--≤
⎩
，则23
z x y
=-的最小值为（）
A．-5 B．-4 C．-3 D．-2
6．向量(1,1)
a=-，(1,0)
b=，若()(2)
a b a b
λ
-⊥+，则λ=（）
7．用[]
x 表示不超过的x 最大整数（如[]2.12=，[]
3.54-=-）.数列{}n a 满足*
114,1(1),()3
n n n a a a a n N +=-=-∈，若12111
n
n
S a a a =+++
，则[]n S 的所有可能值的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2
B ．2sin 2
C ．sin1
D ．2sin1
9．在ABC ∆中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =( ) A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 10．若sin 2cos21θθ=+，则cos2θ=( ) A ．0
B ．-1
C ．1或0
D ．0或-1
11．函数()()2
lg 1f x x x =+-定义域是（ ） A ．()1,+∞
B ．[)1,+∞
C ．[)0,+∞
D ．()0,∞+
12．计算sin15sin30sin75的值等于（
） A
．
4
B ．
8
C ．
18
D ．
14
二、填空题：本题共4小题
13．已知数列{}n a 的前n 项和为2
1n S n =-，则其通项公式n a =__________．
14．不等式
21
0x x
+>的解集为_________. 15．若点P 关于直线的对称点在函数()f x 的图像上，则称点P 、直线l 及函数()f x 组成系统(,,)T P l f ，已知函数1
()mx g x x
-=
的反函数图像过点(3,1)，且第一象限内的点00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g ，则代数式0000
11(
)()22x y x y ++的最小值为________. 16．求374与238的最大公约数结果用5．进制．．表示为_________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()2sin()2cos ,[,]62
f x x x x π
π
π=+-∈.
（1）若4
sin 5
x =
，求函数()f x 的值； （2）求函数()f x 的值域.
（２）丁没被选中的概率.
19．（6分）已知直角梯形ABCD 中， AB CD ∥， AB BC ⊥， 1AB =， 2BC =， 13CD =+，过A 作AE CD ⊥，垂足为E ， G F 、分别为AD CE 、的中点，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥． （1）求证： BC CDE ⊥平面
（2）在线段AE 上找一点R ，使得BDR DCB ⊥平面平面，并说明理由．
20．（6分）已知三角形的三个顶点(5,0),A -(3,3),B -(0,2)C . （1）求BC 边所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线方程. 21．（6分）若关于x 的不等式2
3
208
kx kx +-
<对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围. 22．（8分）已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边． (1)若ABC ∆的面积3
2602
ABC S c A ︒∆=
==，，，求,a b 的值； (2)若=cos a c B ，且sin b c A =，试判断ABC ∆的形状．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
程序运行循环时，变量值为1,2S i ==，不满足3i >；4,3S i ==，不满足3i >；13,4S i ==，满足3i >，结束循环，输出13S =． 故选A ． 【点睛】
本题考查程序框图，考查循环结构．解题时可模拟程序运行，观察变量值的变化，判断是否符合循环条件即可． 2．A 【解析】 试题分析：由
，
，解得
，同理，由
310
cos B =
，，解得，在三角形中，
，由此可得，为最长
边，为最短边，由正弦定理：，解得.
考点：正弦定理. 3．B 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a ． 【详解】 解：
{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，
13533105a a a a ∴++==，2464399a a a a ++==， 335a ∴=，433a =，4333352d a a =-=-=-， 13235439a a d =-=+=， 20139391921a a d ∴=+=-⨯=．
故选：B
4．B 【解析】 【分析】
根据题意设点M 的坐标为3,4x c x +⎛⎫
⎪⎝
⎭，
利用两点间的距离公式可得到关于x 的一元二次方程，只需0∆≥即可求解. 【详解】
点M 在直线340x y c -+=上，不妨设点M 的坐标为3,4x c x +⎛
⎫
⎪⎝⎭
， 由直线340x y c -+=上存在点M 满足2=MA MO ，
则()2
22
2333444x c x c x x ⎡⎤++⎛⎫
⎛⎫-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
整理可得()2
2
25632480x c x c +++-=，
()()2
2632100480c c ∆=+--≥
()()269101370713c c c c c ⇒--≤⇒-+≤⇒-≤≤，
所以实数c 的取值范围为[]7,13-. 故选：B 【点睛】
本题考查了两点间的距离公式、一元二次不等式的解法，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】
画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z 的最小值． 【详解】
画出x ，y 满足不等式组10 10330x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
表示的平面区域，如图所示
平移目标函数23z x y =-知，当目标函数过点A 时，z 取得最小值，
由10330x y x y -+=⎧⎨
--=⎩得2
3
x y =⎧⎨=⎩，即A 点坐标为()2,3
∴z 的最小值为22335⨯-⨯=-，故选A. 【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 6．C 【解析】 试题分析：
，()(2)a b a b λ-⊥+，
()(2)0a b a b λ∴-⋅+=得
得
，故选C.
考点：向量的垂直运算，向量的坐标运算. 7．C 【解析】 【分析】
数列{}n a 取倒数，利用累加法得到n S 通项公式，再判断[]
n S 的所有可能值. 【详解】
()111n n n a a a +-=-两边取倒数：
()111111111
1
1111n n n n n n n n
a a a a a a a a ++=
=-⇒-=-----
111111
311
1
n n n S a a a ++=
-=---- ()2
1110n n n n n a a a a a ++-=-≥⇒≥⇒{}n a 为递增数列. 123441313313477,,,39816561
a a a a ====
计算：13
4S = ，整数部分为0
275
52
S =，整数部分为1
36561
36916
S =- ，整数部分为2
11331
n n S a +=-
<-
[]n S 的所有可能值的个数为0,1,2
答案选C 【点睛】
本题考查了累加法求数列和，综合性强，意在考查学生对于新知识的阅读理解能力，解决问题的能力，和计算能力. 8．D 【解析】 【分析】
由弧长公式求出圆半径，再在直角三角形中求解． 【详解】
2
12
l
r α
=
=
=，如图2AOB ∠=，设C 是AB 中点，则OC BA ⊥，1COB ∠=，sin sin1BC OB BOC =∠=，∴2sin1BC =．
故选D ．
【点睛】
本题考查扇形弧长公式，在求弦长时，常在直角三角形中求解． 9．B
利用正弦定理边化角，结合和差公式以及诱导公式，即可得到本题答案. 【详解】
因为cos cos 2cos ,sin 0a B b A c C C +=≠，所以sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，
sin()2sin cos A B C C +=，sin 2sin cos C C C =，1cos 2
C =
， 0C π<<，3
C π
∴=
.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查利用正弦定理边角转化求角，考查计算能力，属于基础题. 10．D 【解析】 【分析】
由二倍角公式可得22sin cos 2cos θθθ=，即()2cos sin cos 0θθθ-=，从而分情况求解. 【详解】
易得22sin cos 2cos cos 0θθθθ=⇒=，或tan 1θ=. 由cos 0θ=得2cos 22cos 11θθ=-=-.
由tan 1θ=，得222222
cos sin 1tan cos 20sin cos tan 1
θθθ
θθθθ--===++. 故选：D 【点睛】
本题考查二倍角公式的应用以及sin ,cos θθ有关的二次齐次式子求值，属于中档题. 11．A 【解析】 【分析】
若函数有意义,则需满足10x ->,进而求解即可 【详解】
由题,则10x ->,解得1x >, 故选:A 【点睛】
本题考查具体函数的定义域,属于基础题
【分析】
由三角正弦的倍角公式计算即可． 【详解】 原式111
sin15cos15sin30248
=
==．故选C 【点睛】
本题属于基础题，考查三角特殊值的正弦公式的计算． 二、填空题：本题共4小题
13．0,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩
【解析】
分析：先根据和项与通项关系得当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，再检验，1n =时，1a 不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.
详解： ∵已知数列{}n a 的前n 项和2
1n S n =-，
∴当1n =时，110a S ==，
当2n ≥时，2222
11[(1)1](1)21n n n a S S n n n n n -=-=----=--=-，
经检验，1n =时，1a 不满足上述式子， 故数列{}n a 的通项公式0,1
21,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩
．
点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式
11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合
在一起. 14．1,(0,)2⎛⎫
-∞-⋃+∞ ⎪⎝
⎭
【解析】 【分析】
利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式，求出解集．
解得2
1
x <-
或0x > 故答案为：1
(,)
(0,)2
-∞-+∞
【点睛】
本题考查解分式不等式，利用等价变形转化为整式不等式是解题的关键． 15．
94
【解析】 【分析】 根据函数1
()mx g x x
-=
的反函数图像过点(3,1)可求出m ,由00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g 可知00(,)M y x '在()g x 的图象上，4m =且0014x y +
=， 代入0000
11()()22x y x y ++化简为20020049144x x x x -+--，换元2
00
4,t x x =-则914t y t
=+-，利用单调性求解. 【详解】 因为函数1
()mx g x x
-=
的反函数图像过点(3,1)， 所以(1)13g m =-=，即4m =，
由00(,)M x y 、直线:n y x =及函数()g x 组成系统(,,)T M n g 知00(,)M y x '在()g x 上， 所以00
1
40,0x x y y +
=>>，， 代入0000
11(
)()22x y x y ++化简得000
0000011114()()()()22242x x x y x y x x -++
=++- 2002
00
49
144x x x x -=+--， 令2
004,t x x =-由00
1
40,0x x y y +
=>>，知004x << ，故04t <≤ 则9136
1()144t y t t t
=+-=+-在(0,4]t ∈上单调递减， 所以当4t =即02x =时，min 9
4
y =，故填94.
【点睛】
本题主要考查了对称问题，反函数概念，根据条件求最值，函数的单调性，换元法，综合性大，难度大，
【分析】
根据最大公约数的公式可求得两个数的最大公约数，再由除k 取余法即可将进制进行转换. 【详解】
374与238的最大公约数求法如下：
3742381136÷=⋅⋅⋅， 2381361102÷=⋅⋅⋅， 136102134÷=⋅⋅⋅， 102343÷=，
所以两个数的最大公约数为34. 由除k 取余法可得：
534 564 511 01
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
所以将34化为5进制后为(5)114， 故答案为：(5)114. 【点睛】
本题考查了最大公约数的求法，除k 取余法进行进制转化的应用，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1
；（2）[]1,2. 【解析】 【详解】 （1
）
43sin ,[,],
cos 525
x
x x ππ
=∈∴==-,
1()cos )2cos cos 2f x x x x x x ⇒=+-=-=
. （2）由（1）()2sin()6
f x x π
=-
,
51,sin()12
3
6
626
x x x π
π
π
ππ
π≤≤∴
≤-
≤
⇒≤-≤, ∴函数()f x 的值域为[1，2]. 18．（1）12；（2）1
2
. 【解析】
（1）先确定从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表总事件数，再确定甲被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率（2）先确定从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表总事件数，再确定丁没被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率. 【详解】
（1）从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表共有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁、丙丁共6种基本事件，其中甲被选中包括甲乙，甲丙，甲丁三种基本事件，所以甲被选中的概率为3162
= . （2）丁没被选中包括甲乙，甲丙，乙丙三种基本事件， 所以丁没被选中的概率为
3162
=. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 19．（1）见解析 （2）15
3
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知得：DE AE DE EC DE ⊥⊥⇒⊥，面ABCE DE BC ⇒⊥，BC CE BC ⊥⇒⊥面DCE ；（II ）分析可知，R 点满足3AR RE =时，面BDR ⊥面BDC ． 理由如下先计算1321222,,,2,CD BD CR DR CQ ===
==， 再求得5
RQ =， ⇒ 222CQ RQ CR CQ RQ +=⇒⊥ ，再证CQ BD CQ ⊥⇒⊥面BDR ⇒面BDC ⊥ 面BDR ． 试题解析：
（Ⅰ）由已知得：DE AE DE EC DE ⊥⊥∴⊥，面ABCE DE BC ∴⊥．，BC CE BC ⊥∴⊥，面DCE
（II ）分析可知，R 点满足3AR RE =时，面BDR ⊥面BDC ．
理由如下：取BD 中点Q ，连接DR BR CR CQ RQ 、、、、
容易计算 1321222,,,2,22
CD BD CR DR CQ ===
==， 在BDR 中∵521,2222
BR DR BD =
== 可知5
RQ =， ∴在CQR 中，222CQ RQ CR CQ RQ +=∴⊥，．
又在BDC 中，CD CB Q =，为BD 中点CQ BD CQ ∴⊥∴⊥，
面BDR ， ∴面BDC ⊥ 面BDR ．
20．（1）5360x y +-=（2）35150x y -+= 【解析】 【分析】
（1）由已知条件结合直线的两点式方程的求法求解即可；
（2）先求出直线BC 的斜率，再求出BC 边上的高所在直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程的求法求解即可. 【详解】 解：（1）
(3,3)B -，(0,2)C ，∴直线BC 的方程为
332303
y x +-=+-，即5360x y +-=. （2）
5
3
BC k =-，
∴直线BC 边上的高所在的直线的斜率为3
5
，
又(5,0)A -，
∴直线BC 边上的高的方程为: 3
0(5)5
y x -=+，
即BC 边上的高所在直线方程为35150x y -+=. 【点睛】
本题考查了直线的两点式方程的求法，重点考查了直线的位置关系及直线的点斜式方程的求法，属基础题.
21．30k -<≤ 【解析】 【分析】
对二次项系数分成等于0和不等于0两种情况进行讨论，对0k ≠时，利用二次函数的图象进行分析求解. 【详解】
当0k =时，不等式2
33
20088
kx kx +-<⇔-<对一切实数x 都成立， 所以0k =成立；
当0k ≠时，由题意得2
0,
34(2)()0,8k k k <⎧⎪
⎨∆=-⋅⋅-<⎪⎩
解得：30k -<<； 综上所述：30k -<≤. 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，注意运用分类讨论思想进行求解，同时也要结合二次函数的图象进行问题分析与求解. 22．（1
）1a b ==；
（2）等腰直角三角形． 【解析】
试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解出b
边，
1sin 2ABC S bc A ∆=
=12sin 602b ∴⋅︒=
得1b =，再由由余弦定理得：222222cos 12212cos603a b c bc A =+-=+-⨯⨯⋅︒=
，所以a =（2）判断三角形形状，利用边的关系比较直观. 因为cos a c B =，所以由余弦定理得：222
2222a c b a c a b c ac
+-=⋅⇒+=，所以
90C ∠=︒，在Rt ABC ∆中，sin a A c =
，所以a
b c a c
=⋅=，所以ABC ∆是等腰直角三角形. 解：（1
）
1sin 2ABC S bc A ∆=
=
， 2分
12sin 602b ∴⋅︒=
，得1b =3分 由余弦定理得：222222cos 12212cos603a b c bc A =+-=+-⨯⨯⋅︒=， 5分
所以a =
分
（2）由余弦定理得：2222222a c b a c a b c ac
+-=⋅⇒+=，所以90C ∠=︒9分
在Rt ABC ∆中，sin a A c =
，所以a
b c a c
=⋅=11分 所以ABC ∆是等腰直角三角形； 12分 考点：正余弦定理
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若389a a =，则31310log log a a +=（ ） A ．1 B ．4 C ．2
D ．3log 5
2．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC ∆为 A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
3．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制。

二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。

它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”。

当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，用0来表示“关”。

如图所示，把十进制数化为二进制数
,十进制数
化为二进制数
，把二进制数
化为十进制数为
，随机取出1个不小于，且不超过
的二进制数，其数码中恰有4个1的概率是
A ．
B ．
C ．
D ．
4．函数5()3cos 46f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
图像的一个对称中心是（ ） A ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．5,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
5．设0,
2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，且tan 42θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 12πθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
（ ） A 2515+
B 2155
-C 2515
-
D ．2155
+
6．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是（ ）
A
．
1
2019
B ．
12
C ．
1
2020
D ．
2019
2020
7．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为3，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF ＝1，则当E ，F 移动时，下列结论中错误的是（ ）
A ．AE ∥平面C 1BD
B ．四面体ACEF 的体积不为定值
C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值
D ．四面体ACDF 的体积为定值
8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
9．把函数y=sin （2x ﹣）的图象向右平移
个单位得到的函数解析式为（ ） A ．y=sin （2x ﹣
） B ．y=sin （2x+
）
C ．y=cos2x
D ．y=﹣sin2x
10．已知曲线C 的方程为x 2+y 2＝2（x+|y|），直线x ＝my+4与曲线C 有两个交点，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞1或m ＜﹣1 B ．m ＞7或m ＜﹣7 C ．m ＞7或m ＜﹣1
D ．m ＞1或m ＜﹣7
11．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭,若使得()f x 在区间,3πϕ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上为增函数的整数ω有且仅有一个,则实数ϕ的取值范围是( ) A ．,63ππ⎛⎤
⎥⎝
⎦ B ．,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C ．0,3
π⎛⎤ ⎥⎝
⎦
D ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
12．设x 、y 满足约束条件20x y y x x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本题共4小题
13．方程sin2sin x x =在区间[)0,2π内解的个数是________
14．如图，在水平放置的边长为1的正方形中随机撤1000粒豆子，有400粒落到心形阴影部分上，据此
估计心形阴影部分的面积为_________.
15．若正实数,x y 满足1x y +=，则
41
1x y
++的最小值为______． 16．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+（*n N ∈），则5a =________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在平面四边形ABCD 中，已知2
A π
∠=，2π
3
B ∠=
，6,AB =在AB 上取点E ，使得1BE =，连接,EC ED ，若23
CED π
∠=
，7CE = 。

（1）求sin BCE ∠ 的值； （2）求CD 的长。

18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()
*1
1N 2
n n S a n +=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）设()()
*113
log 1N n n b S n +=-∈，令12231
111
n
n n T b b b b b b +=+++
，求n T 19．（6分）已知)
22
()2sin cos 3cos sin f x x x x x =-． （1）求函数()y f x =的最小正周期和对称轴方程； （2）若50,
12x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求()y f x =的值域． 20．（6分）已知数列{}n a 满足：11a =，10.52,n n n a n a a n n ++⎧=⎨-⎩为正奇数
为正偶数
，22n n b a =-.
（1）求2a 、3a 、4a ；
（2）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项公式； （3）求和242n n T a a a =++⋯+.
21．（6分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3b =，8c =，角A 为锐角，ABC
∆
的面积为63. （1）求角A 的大小； （2）求a 的值.
22．（8分）如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，点123,,P P P 四等分线段BC ．
（Ⅰ）求112AB AP AP AP ⋅+⋅的值； （Ⅱ）若点Q 是线段3AP 上一点，且1
12
AQ AB mAC =
+，求实数m 的值． 参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】
试题分析：由题意得，根据等比数列的性质可知381109a a a a ==，又因为
31310log log a a +=110933log log 2a a ==，故选C ．
考点：等比数列的性质． 2．B 【解析】 【分析】
由向量的减法法则，将题中等式化简得CB AB AC =+，进而得到||||AB AC AB AC -=+，由此可得以,AB AC 为邻边的平行四边形为矩形，得ABC ∆的形状是直角三角形。

【详解】
因为CB OB OC =-，AB OB OA =-，
因为|||2|OB OC OB OC OA -=+-，所以||||CB AB AC =+， 因为CB AB AC =-，所以||||AB AC AB AC -=+， 由此可得以,AB AC 为邻边的平行四边形为矩形，所以2
BAC π
∠=，得ABC ∆的形状是直角三角形。

【点睛】
本题给出向量等式，判断三角形ABC 的形状，着重考查平面向量的加法、减法法则和三角形的形状判断等知识。

3．D 【解析】 【分析】
利用古典概型的概率公式求解. 【详解】
二进制的后五位的排列总数为
，
二进制的后五位恰好有三个“1”的个数为，
由古典概型的概率公式得
.
故选：D 【点睛】
本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】 由题得54+62x k k Z ππ
π+=∈，,解出x 的值即得函数图像的一个对称中心. 【详解】 由题得54+62
x k k Z ππ
π+
=∈，,
所以()412
k x k Z ππ
=
-∈， 所以5()3cos 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像的对称中心是,0()412k k Z ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭． 当k=1时，函数的对称中心为,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选B 【点睛】
本题主要考查三角函数图像的对称中心的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】
利用两角和差正切公式可求得tan θ；根据θ范围可求得sin ,cos θθ；利用两角和差公式计算出
sin
,cos
12
12
π
π
；利用两角和差余弦公式计算出结果.
【详解】
tan tan
2144tan tan 344121tan tan
44ππθππθθππθ⎛
⎫+- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭
0,2
πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
sin 10
θ∴=，cos 10
θ=
又sin
sin sin cos cos sin 124646464π
ππππππ⎛⎫
=-=-=
⎪⎝⎭
cos
cos cos cos sin sin 12464646π
ππππππ⎛⎫
=-=+=
⎪
⎝⎭
cos cos cos sin sin 121212πππθθθ⎛
⎫∴-=+= ⎪
⎝
⎭=
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查利用三角恒等变换中的两角和差的正余弦和正切公式求解三角函数值的问题，涉及到同角三角函数关系的应用；关键是能够熟练应用两角和差公式进行配凑，求得所需的三角函数值. 6．B 【解析】 【分析】
根据概率的性质直接得到答案.
【详解】
根据概率的性质知：每次正面向上的概率为12
. 故选：B . 【点睛】
本题考查了概率的性质，属于简单题. 7．B 【解析】 【分析】
根据面面平行的性质定理，判断A 选项是否正确，根据锥体体积计算公式，判断BCD 选项是否正确. 【详解】
对于A 选项，易得平面11AB D 与平面1C BD 平行，所以//AE 平面1C BD 成立，A 选项结论正确. 对于B 选项，由于EF 长度一定，所以三角形AEF 面积为定值.C 到平面11AB D 的距离，也即C 到平面
AEF 的距离一定，所以四面体ACEF 体积为定值，故B 选项结论错误.
对于C 选项，由于EF 长度一定，所以三角形AEF 面积为定值. B 到平面11AB D 的距离，也即B 到平面
AEF 的距离一定，所以三棱锥A BEF -体积A BEF B AEF V V --=为定值，故C 选项结论正确.
对于D 选项，由于三角形ACD 面积为定值，F 到平面ACD 的距离为定值，所以四面体ACDF 的体积为定值.
综上所述，错误的结论为B 选项. 故选：B
【点睛】
本小题主要考查利用面面平行证明线面平行，考查三棱锥（四面体）体积的计算，考查空间想象能力和逻
辑推理能力，属于基础题. 8．A 【解析】
1353333,1a a a a a ++===，5153355
()25522
S a a a a =
+=⨯==，选A. 9．D 【解析】
试题分析：三角函数的平移原则为左加右减上加下减．直接求出平移后的函数解析式即可． 解：把函数y=sin （2x ﹣
）的图象向右平移
个单位， 所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x ﹣）﹣
]=sin （2x ﹣π）=﹣sin2x ．
故选D ．
考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 10．A 【解析】 【分析】
先画出曲线C 的图象，再求出直线与C 相切时的m ，最后结合图象可得m 的取值范围，得到答案． 【详解】
如图所示，曲线C 的图象是两个圆的一部分，
由图可知：当直线4x my =+与曲线C 相切时，只有一个交点，此时1m =±， 结合图象可得1m 或1m <-． 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应有直线与圆的位置关系，合理结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题． 11．A
【解析】 【分析】
根据()f x 在区间,3πϕ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上为增函数的整数ω有且仅有一个,结合正弦函数的单调性,即可求得答案. 【详解】
()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,使得()f x 在区间,3πϕ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上为增函数
可得0262263
,,22362k k k Z k Z k k π
ππωωππ
ππωϕπωϕπ⎧<≤--+≤-⎧⎪⎪⎪∈∴∈⎨⎨≤+⎪⎪+≤+⎩⎪⎩
，， 当03
π
ϕ-
<≤时，满足整数ω至少有12，,舍去
当0ϕ>时，0,(0,2]k ω=∈，
30π
ωϕ
<≤
要使整数ω有且仅有一个, 须123πϕ≤
<,解得:63
ππϕ<≤ ∴实数ϕ的取值范围是,63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
.
故选:A ． 【点睛】
本题主要考查了根据三角函数在某区间上单调求参数值,解题关键是掌握正弦型三角函数单调区间的解法和结合三角函数图象求参数范围,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 12．C 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，观察直线2z x y =+在x 轴上的截距最大时对应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出结果. 【详解】
作出不等式组20x y y x x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
所表示的可行域如下图中的阴影部分区域表示：
联立2
x y y x +=⎧⎨
=⎩
，得1x y ==，可得点A 的坐标为()1,1.
平移直线2z x y =+，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线2z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 2113z =⨯+=，故选：C. 【点睛】
本题考查简单线性规划问题，一般作出可行域，利用平移直线结合在坐标轴上的截距取最值来取得，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题 13．4. 【解析】
分析：通过二倍角公式化简得到sin 22sin cos sin x x x x ==，进而推断sin 0x =或1
cos 2
x =，进而求得结果.
详解：sin 22sin cos sin x x x x ==，所以sin 0x =或1cos 2
x =， 因为[0,2)x π∈，所以0x =或x π=或3
x π
=或53
x π=
， 故解的个数是4.
点睛：该题考查的是有关方程解的个数问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦的倍角公式，方程的求解问题，注意一定不要两边除以sin x ，最后求得结果. 14．0.4 【解析】 【分析】
根据几何概型的计算，反求阴影部分的面积即可. 【详解】
设阴影部分的面积为S ，根据几何概型的概率计算公式：
40011000
S =，解得0.4S =. 故答案为：0.4. 【点睛】
本题考查几何概型的概率计算公式，属基础题. 15．
92
【解析】 【分析】
由1x y +=得()12x y ++=，将
411x y ++转化为()14112x y x y ⎡⎤++⎛⎫⎣⎦+⨯ ⎪+⎝⎭
， 整理，利用基本不等式即可求解。

【详解】
因为1x y +=，所以()12x y ++=.
所以()(1414114119551122122
x y y x x y x y x y ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫+⎣⎦+=+⨯=++≥+= ⎪ ⎪
+++⎝⎭⎝⎭
当且仅当411y x x y +=+，即：12
,33
x y ==时，等号成立。

所以
411x y ++的最小值为92
. 【点睛】
本题主要考查了构造法及转化思想，考查基本不等式的应用及计算能力，属于基础题。

16．31 【解析】 【分析】
根据数列的首项及递推公式依次求出2a 、3a 、……5a 即可. 【详解】 解：
11a =，121n n a a +=+
21213a a ∴=+= 32217a a ∴=+= 432115a a ∴=+= 542131a a ∴=+=
故答案为：31 【点睛】
本题考查利用递推公式求出数列的项，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）
21
14
；（2）7
CD=.
【解析】
试题分析：（1）在BEC
∆中，直接由正弦定理求出sin BCE
∠；（2）在Rt AED
∆中，
2
A
π
∠=，5
AE=，可求出27
ED=，在CED
∆中，直接由余弦定理可求得CD.
试题解析：（1）在BEC
∆中，据正弦定理，有
sin sin
BE CE
BCE B
=
∠
.
∵2
3
B
π
∠=，1
BE=，7
CE=，
∴•sin21
sin
7
BE B
BCE
CE
∠===.
（2）由平面几何知识，可知DEA BCE
∠=∠，在Rt AED
∆中，∵
2
A
π
∠=，5
AE=，
∴2357
cos1sin1
2814
DEA DEA
∠=-∠=-=.
∴
27
cos57
EA
ED
DEA
===
∠.
在CED
∆中，据余弦定理，有
222
1
2?•cos728272749
2
CD CE DE CE DE CED
⎛⎫
=+-∠=+-⨯⨯⨯-=
⎪
⎝⎭
∴7
CD=
点睛：此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在ABC
∆中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
18．（1）
1
2
3
n
n
a
⎛⎫
=⨯ ⎪
⎝⎭
（2）
24
n
n
T
n
=
+
【解析】
【详解】
试题分析：(1) 利用1
12
n n S a += 得到相邻两项的关系，把问题转化为等比数列问题；(2) 利用裂项相消法求和.
试题解析：（1）由()
*112n n S a n N +
=∈，得112n n S a =- 11112
1S 1-,23
n a a ∴===时，得
()111111
211222
n n n n n n n n a S S a a a a 时，---⎛⎫⎛⎫≥=-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得
11
3
n n a a -= ∴{}n a 是等比数列，且公比为1n 121,==2333n
a a ⎛⎫∴⨯ ⎪⎝⎭首项， （2）由（1）及112n n S a +=得1
1111123n n n S a +++⎛⎫
-== ⎪
⎝⎭
()113
log 11n n b S n +=-=+ ，
()()11111
1212
n n b b n n n n +==-++++ 11111123341224
n n T n n n =
-+-+⋯+-=+++ 19．（1）对称轴为()212k x k Z ππ
=+∈，最小正周期T π=；（2）()[1,2]f x ∈- 【解析】 【分析】
(1)利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到()2sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，由周期公
式和对称轴公式可得答案；(2)由x 的范围得到72x ,336π
ππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
，由正弦函数的性质即可得到值域. 【详解】
（1
）)
22
()2sin cos cos sin f x x x x x =+-
sin 222sin 23x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭
令2x k (k Z)3
2
π
π
π+
=+
∈，则
()f x 的对称轴为()212
k x k Z ππ
=
+∈，最小正周期T π=；
（2）当50,
12x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，72x ,336πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
， 因为sin y x =在,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦单调递增，在7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递减， 在2
x π=
取最大值，在76
x π
=
取最小值， 所以1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤
+
∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
， 所以()[1,2]f x ∈-． 【点睛】
本题考查正弦函数图像的性质，考查周期性，对称性，函数值域的求法，考查二倍角公式以及辅助角公式的应用，属于基础题.
20．（1）357,,224-；（2）证明见解析；（3）1212n
n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）直接带入递推公式即可
（2）证明1
n
n b b -等于一个常数即可。

（3）根据（2）的结果即可求出2n a ，从而求出n T 。

【详解】
（1）11a =， 10.5,2,n n n
a n n a a n n ++⎧=⎨-⎩为正奇数
为正偶数，
可得21113
11222a a =+
=+=； 32542a a =-=-，4317
324
a a =+=；
（2）证明：()2212211
22124421222
n n n n b a a n a n n --=-=+--=-++--
()22111
222
n n a b --=-=， 可得数列{}n b 为公比为12，首项为1
2
-等比数列，
即12n
n b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
；
（3）由（2）可得2122n
n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，
24211
1224
2n n n
T a a a n ⎛⎫=++
+=-++
+
⎪⎝⎭
1111222211212
n n
n n ⎛⎫
-
⎪⎛⎫⎝⎭=-
=-+
⎪⎝⎭
-． 【点睛】
本题主要考查了根据通项求数列中的某一项，以及证明是等比数列和求前偶数项和的问题，在这里主要用了分组求和的方法。

21．（1）
3
π
；（2）7. 【解析】
分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA 的值，进而求得A ；（
2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A 求得a ． 详解：（1）∵1sin 2ABC S bc
A ∆= 1
38sin 2
A =⨯⨯⨯=
∴sin A =
∵A 为锐角， ∴3
A
π
=
；
（2）由余弦定理得：
a =7=
=. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理
一定要熟记两种形式：（1）2
2
2
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要熟练掌握运用
两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 22．（Ⅰ）13
8
（Ⅱ）14
【解析】 【分析】
（Ⅰ）以,AB AC 作为基底，表示出12,AP AP ，然后利用数量积的运算法则计算即可求出；（Ⅱ）由平面向量数量积的运算及其运算可得：设312
AP AQ AB m AC λ
λλ==
+，又33
3BP PC =，所以
31344AP AB AC =+，解得3
14m λ=⎧⎪⎨=⎪⎩
，得解．
【详解】
（Ⅰ）由题意得131
44AP AB AC =
+，21122
AP AB AC =+ 则112313111444422AB AP AP AP AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋅+⋅⋅=⋅+++⋅+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
22913
884AB AC AB AC =++⋅ 913131111cos608848
︒=⨯+⨯+⨯⨯⨯= （Ⅱ）因为点Q 是线段3AP 上一点，所以设，312
AP AQ AB m AC λ
λλ==+
又333BP PC =，所以313
44
AP AB AC =
+， 故1
12434m λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
解得3
14m λ=⎧⎪
⎨=⎪⎩
，因此所求实数m 的值为14.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算以及平面向量基本定理的应用,属于中档题.
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x ､y 的取值如下表: x 0 1 3 4 y
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程0.95y x a =+，则当5x =时，估计y 的值为（ ） A ．7.1
B ．7.35
C ．7.95
D ．8.6
2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =
A ．31
44AB AC - B ．
13
44AB AC - C ．31
44
+AB AC
D ．1344
+AB AC
3． “6
π
θ=
”是“1
sin 2
θ=
”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．函数3sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭图像的一条对称轴方程为（）
A ．3
x π
=-
B ．3
x π
=
C ．6
x π
=
D ．6
x π
=-
5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是（ ）
A 6
B ．
64
C 6
D 66．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东020，灯塔B 在观察站C 的南偏东040，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ） A ．52km
B ．53km
C ．5km
D ．10km
7．某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，…，59.依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，…，
10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（ ） A ．41
B ．42
C ．43
D ．44
8．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是
A ．8
B ．5
C ．3
D ．2
9．已知函数()x f x e x =+，()ln g x x x =+，()h x x x =的零点分别为a ，b ，c ，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c a b >>
D ．a c b >>
10．已知1x >，则4
1
x x +-的最小值为 A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
11．下列说法正确的是（）
A ．锐角是第一象限的角，所以第一象限的角都是锐角;
B ．如果向量a 0b ⋅=，则a b ⊥；
C ．在ABC 中，记AB a =，AC b =，则向量a b +与a b -可以作为平面ABC 内的一组基底；
D ．若a ，b 都是单位向量，则a b =.
12．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（ ）
A ．“至少1名男生”与“全是女生”
B ．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”
C ．“至少1名男生”与“全是男生”
D ．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生” 二、填空题：本题共4小题
13．已知向量()cos ,sin a θθ=，()
1,3b =，则a b -的最大值为_______.
14．在ABC ∆中，角B 为直角，线段BA 上的点M 满足2BM 2 MA ==，若对于给定的,ACM ABC
∠∆。