6计算VaR的方法
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▪ σ为汇率的日波动性，t为风险持有期
▪ ②估计随机过程模型中相应的参数。
▪ 估计相应的参数μt和σt，在简单情况下， 可以假定为常量，也可以假定为变化的，用 GARCH模型描述其动态性。
▪ ③模拟风险因子的变化路径，建立风险因子 未来的变化情景。
▪ 采用几何布朗运动模型时，股票价格未来变 化情景的建立：依次产生〔0，1〕均匀分布
对于标准正态变量X： P（X≤-1.645）=5%， P（X≤-1.96）=2.5%， P（X≤-2.327）=1%
方差协方差方法的优缺点
▪ 优点： ➢ 计算简单方便。 ➢ 根据中心极限定理，即使风险因子回报不是
正态分布，但只要风险因子数量足够大和相 互独立，仍然可以采用方差协方差方法。 ▪ 缺点： ➢ 正态分布假设不能处理厚尾分布。 ➢ 需要估计风险因子的波动性及收益间的相关 性。 ➢ 近似性。
v1/v0
…
…
vn-1
vn-1/vn-2
vn
vn/vn-1
第n+1期的风险因子价格 vn+1= vn(vi/vi-1)(i=1,…,n)
➢（3）利用定价公式，根据模拟出的风险因子 的未来n种可能价格水平，求出组合的n种未来 盯市价值，并与当前风险因子下的组合价值比 较，得到组合价值的未来损益分布。
▪ 组合价值变化用泰勒展开近似为
P
P X 1
X1
P X 2
X 2
P X n
X n
P X 1
X1
X1 X1
P X 2
X2
X 2 X2
P X n
Xn
X n Xn
X 1
X1
1 X 1
2 X2
n
X
n
X 2 X2
X n
X n
▪ 则组合价值变化ΔP的方差为
2 piX i n 1 iX i n 1
复该步骤，可得到股票价格的n个变化情景。
▪ 采用对数正态模型时，汇率未来变化情景的 建立：依次产生〔0，1〕均匀分布的n个随机
变量xi(i=1，…，n)，设标准正态分布的分 布函数为Ф(y)，令Ф(εi)=xi，则可以得到 标准正态分布的随机变量序列εi(i=1,…,n)， 根据汇率的随机过程模型可得到持有期末汇
蒙特卡洛模拟法的基本步骤
▪ 1）识别影响组合中各头寸价值的风险因子， 并用风险因子表示出组合中各头寸的盯市价 值。
▪ 2）模拟风险因子的未来情景：选择反映风险 因子变化的随机过程和分布；估计其中相应 的参数；模拟风险因子的变化路径，建立风 险因子未来的变化情景。
▪ ①选择反映风险因子变化的随机过程和分布 ▪ 如对于股票价格，可选择几何布朗运动模型。
推广 2: 包括更新的波动率
▪ 利用某市场变量第n+1天的波动率估计和第i 天的波动率估计，对该市场变量第i天的变化 量进行调整。
▪ 某市场变量第i个情景值为
vnvi1(vi vvi i 11) n1/ i
推广 3: 统计自助法
▪ 利用自助法对n种情景进行放回抽样，如可以 产生1000组的n种情景，从而可以计算VaR 的置信区间。
▪ 组合价值变化是风险因子变化的线性组合， 由于风险因子的变化服从正态分布，所以组 合价值的变化也是正态分布，即 △P～N(0,σp2)
VaR zp
例：考虑一个由A和B两种股票构成的资产组合，
其中A股票为n1=100股，每股价格S1=91.7 美元，B股票为n2=120股，每股价格 S1=79.1美元，根据历史交易数据估计，A和 B两种股票日收益率的均值、标准差和相关 系数如下：
➢（4）根据组合价值的未来损益分布，通过分 位数计算VaR。
➢假设我们采用过去501天的历史数据来计算一 天持有期、99%置信水平下的VaR，则VaR的估 计值是组合损失分布第99个百分比分位数所对 应的损失（第5个最坏的损失）。(对每种情形 设定相同的权重)
VaR 的精确度 (page 184)
✓线性模型（delta类模型）
Pfy0 y
✓非线性模型（delta-gamma类模型）
P fy 0 yf2 y 0 y2
当有n个风险因子时组合价值变化可表示为
n
P
i 1
i yi1 2i n 1jn 1( yi2 P yj yi yj)
（2）完全估值法
✓采用历史模拟法或蒙特卡洛模拟法模拟风险因 子的未来不同情景，分别对组合中的各头寸进 行重新定价，从而得到组合价值的未来分布 （未来损益分布），并计算组合的VaR。
极值理论 (page 188)
▪ 极值理论可以用于描述变量X经验分布的的右 尾特性。
▪ 我们先在右尾找一个数值u ▪ Gnedenko的研究结果表明，对用多种概率分
布F(x)，随着u的增加，当X>u时，X的条件分 布Fu(y)（y=x-u)趋向于广义Pareto分布。
广义 Pareto 分布
▪ 广义Pareto分布有两个参数：形状参数x和规 模参数b，其累积分布函数为
（1）局部估值法（解析方法） ✓建立风险因子变化与组合价值变化间的函数
关系，由风险因子回报的正态性假设以及风 险因子的波动性和相关性预测推出组合的VaR。 ✓设P= f(y)，y为风险因子，当风险因子y从初 始值y0变成新的值y1= y0+△y，计算组合价值 P1= f(y1)
P 1 P 0 fy 0 y f2 y 0 y 2
历史模拟法计算VaR的缺点
▪ 完全依赖于特定的历史数据。 ▪ 如果历史数据涉及的期间不够长，则可能使
VaR计算不准确。 ▪ 如果资产组合含有比较复杂的证券，则计算
起来比较麻烦。
6.4 蒙特卡洛模拟法
▪ 原理：建立风险因子的随机过程模型，反复 模拟风险因子变量的随机过程，每次模拟都 可以得到风险因子的一个未来变化情景，得 到组合在持有期末的一个可能价值，如果进 行大量的模拟，那么组合价值的模拟分布将 收敛于组合的真实分布。
6计算VaR的方法
6.1ห้องสมุดไป่ตู้VaR的计算思路
▪ 计算VaR的关键在于确定资产组合未来损益的 统计分布，计算过程由两部分构成：
➢1.映射过程：建立组合价值与风险因子之间 的函数关系。
➢2.估值过程：根据风险因子的波动性或未来 情景估计组合的未来价值分布（或未来损益 分布）。 估值模型包括局部估值法和完全估值法
假设损失分布第q个分位数的估计值为x， 则估计值x的标准差为
1 q(1q) f(x) n
f(x) 为损失为x时，损失分布的密度函数值， f(x) 可以通过用标准分布来匹配经验分布 进行估计。
例12-1（ page 184 ）
推广1: 对观测值（模拟情景）设定权重
▪ 设定相同权重：基本历史模拟法对过去n个观 测值（n中模拟情景）设定相同的权重。
计算风险值的主要方法
局部估值法
完全估值法
参数方法 方差协方差法 蒙特卡洛模拟法
非参数方法
历史模拟法
6.2 德尔塔—正态方法
▪ 德尔塔-正态方法是一种常用的方差协方差法。 delta-正态方法假定：①组合价值变化与风险 因子变化间呈线性关系；②风险因子回报为 联合正态分布。
▪ 设风险因子X1、X2、…、Xn，风险因子的回报 服从均值为0的联合正态分布，风险因子回报 的协方差矩阵为∑。
6.3 历史模拟法
▪ 历史模拟法计算VaR的基本原理：用给定历史 时期上所观测到的风险因子的变化来表示风险 因子未来的变化，从而得到风险因子的未来n 个数据，进而得到组合价值未来损益的n个可 能结果，可以根据得到的未来损益分布，通过 分位数计算VaR。
▪ 历史模拟法计算VaR的基本方法：
➢（1）识别影响组合中各头寸价值的风险因子， 收集风险因子的历史观测数据，并用风险因子 表示出组合中各头寸的盯市价值。
μ1=0.155% σ1=2.42%
μ2=0.0338% σ2=1.68% ρ=0.14
▪ 请用delta-正态方法完成以下计算：
（1）在99%的置信水平下，组合中A股票的1 天持有期绝对VaR和相对VaR。
（2）在99%的置信水平下，组合中B股票的1 天持有期绝对VaR和相对VaR。
（3）在99%的置信水平下，资产组合的1天持 有期绝对VaR和相对VaR。
▪ 设定不同权重：权重随回望期增加而呈指数速 度递减。.
▪ n个变化情形的权重由近到远分别为
1 1 n ， 1 1 n ， 2 1 1 n ， ， n 1 1 1 n
▪ 将损失值由大到小进行排序,由最大损失开始 计算累计权重，当累计权重等于指定分位数时， 对应的损失值即为VaR。
▪ 令 u=β/ξ, 上式等价于幂率分布 。
利用极值理论估计VaR
▪ 置信水平为q时，VaR 估计值为
uxb n nu(1q)x1
历史模拟法计算VaR的优点
▪ 不需要对风险因子的分布进行假定。 ▪ 只要数据充分，可以处理厚尾分布和其他极
端情况。 ▪ 不需要估计风险因子的波动性和收益相关性。 ▪ 能够计算 VaR的置信区间.
Gx,by11bxy1/x
极大似然估计法 (式12-4, page 189)
▪ 假设大于u的观测值个数为 nu ▪ 选择 x 和 b 使下式最大化
inu1lnb11x(xbi u)1/x1
尾部概率
▪ 变量X>x的概率估计值为
1 /x
1 F u 1 G x,bx u n n u 1 xx b u
率变动的n个情景。
▪ 3）对持有期末风险因子的每个情景，利用精 确的定价公式或其它方法计算组合的价值及 其损益。
▪ 4）根据组合价值损益分布的模拟结果，计算 出特定置信水平下的VaR。
蒙特卡洛模拟法计算VaR的优缺点
▪ 优点： ➢能够用于风险因子的各种分布。 ➢能有用于任何复杂的资产组合。 ➢允许计算 VaR的置信区间。 ▪ 缺点： ➢有些意外情况会未被考虑。 ➢计算过程复杂，极端依赖于计算机。
➢（2）计算风险因子的历史价格变化，并模拟 风险因子的未来价格水平。
• 模拟情景1：假设所有市场变量的变化率等于 历史上第1天市场变量的变化率
• 模拟情景2：假设所有市场变量的变化率等于 历史上第2天市场变量的变化率
• 以此类推，总共得到n中模拟情景
风险因子的历史观测值 风险因子的价格变化
v0
v1
的m个随机变量xi(i=1，…，m)，随机数是由 随机数产生程序生成的。设标准正态分布的
分布函数为Ф(y)，令Ф(εi)=xi，则可以得 到标准正态分布的随机变量序列εi (i=1,…,m)，根据股票价格的随机过程模型 可依次得到St+iΔt(i=1,…,m)。St+mΔt（ST） 为股票价格在持有期末的一个变化情景，重
dtS tSt tSt dt
▪ ε～N（0，1），参数μt和σt代表t时刻的 瞬间漂移和波动，它们随时间变化。
▪ 设当前时间为t，到期时间为T，持有期τ=T-
t，将τ分为m个增量Δt，即 t ，则在
△t时间间隔上的估计为
m
St tSttSt t
▪ 对于汇率，可采用对数正态模型
Pt P0e t
▪ ②估计随机过程模型中相应的参数。
▪ 估计相应的参数μt和σt，在简单情况下， 可以假定为常量，也可以假定为变化的，用 GARCH模型描述其动态性。
▪ ③模拟风险因子的变化路径，建立风险因子 未来的变化情景。
▪ 采用几何布朗运动模型时，股票价格未来变 化情景的建立：依次产生〔0，1〕均匀分布
对于标准正态变量X： P（X≤-1.645）=5%， P（X≤-1.96）=2.5%， P（X≤-2.327）=1%
方差协方差方法的优缺点
▪ 优点： ➢ 计算简单方便。 ➢ 根据中心极限定理，即使风险因子回报不是
正态分布，但只要风险因子数量足够大和相 互独立，仍然可以采用方差协方差方法。 ▪ 缺点： ➢ 正态分布假设不能处理厚尾分布。 ➢ 需要估计风险因子的波动性及收益间的相关 性。 ➢ 近似性。
v1/v0
…
…
vn-1
vn-1/vn-2
vn
vn/vn-1
第n+1期的风险因子价格 vn+1= vn(vi/vi-1)(i=1,…,n)
➢（3）利用定价公式，根据模拟出的风险因子 的未来n种可能价格水平，求出组合的n种未来 盯市价值，并与当前风险因子下的组合价值比 较，得到组合价值的未来损益分布。
▪ 组合价值变化用泰勒展开近似为
P
P X 1
X1
P X 2
X 2
P X n
X n
P X 1
X1
X1 X1
P X 2
X2
X 2 X2
P X n
Xn
X n Xn
X 1
X1
1 X 1
2 X2
n
X
n
X 2 X2
X n
X n
▪ 则组合价值变化ΔP的方差为
2 piX i n 1 iX i n 1
复该步骤，可得到股票价格的n个变化情景。
▪ 采用对数正态模型时，汇率未来变化情景的 建立：依次产生〔0，1〕均匀分布的n个随机
变量xi(i=1，…，n)，设标准正态分布的分 布函数为Ф(y)，令Ф(εi)=xi，则可以得到 标准正态分布的随机变量序列εi(i=1,…,n)， 根据汇率的随机过程模型可得到持有期末汇
蒙特卡洛模拟法的基本步骤
▪ 1）识别影响组合中各头寸价值的风险因子， 并用风险因子表示出组合中各头寸的盯市价 值。
▪ 2）模拟风险因子的未来情景：选择反映风险 因子变化的随机过程和分布；估计其中相应 的参数；模拟风险因子的变化路径，建立风 险因子未来的变化情景。
▪ ①选择反映风险因子变化的随机过程和分布 ▪ 如对于股票价格，可选择几何布朗运动模型。
推广 2: 包括更新的波动率
▪ 利用某市场变量第n+1天的波动率估计和第i 天的波动率估计，对该市场变量第i天的变化 量进行调整。
▪ 某市场变量第i个情景值为
vnvi1(vi vvi i 11) n1/ i
推广 3: 统计自助法
▪ 利用自助法对n种情景进行放回抽样，如可以 产生1000组的n种情景，从而可以计算VaR 的置信区间。
▪ 组合价值变化是风险因子变化的线性组合， 由于风险因子的变化服从正态分布，所以组 合价值的变化也是正态分布，即 △P～N(0,σp2)
VaR zp
例：考虑一个由A和B两种股票构成的资产组合，
其中A股票为n1=100股，每股价格S1=91.7 美元，B股票为n2=120股，每股价格 S1=79.1美元，根据历史交易数据估计，A和 B两种股票日收益率的均值、标准差和相关 系数如下：
➢（4）根据组合价值的未来损益分布，通过分 位数计算VaR。
➢假设我们采用过去501天的历史数据来计算一 天持有期、99%置信水平下的VaR，则VaR的估 计值是组合损失分布第99个百分比分位数所对 应的损失（第5个最坏的损失）。(对每种情形 设定相同的权重)
VaR 的精确度 (page 184)
✓线性模型（delta类模型）
Pfy0 y
✓非线性模型（delta-gamma类模型）
P fy 0 yf2 y 0 y2
当有n个风险因子时组合价值变化可表示为
n
P
i 1
i yi1 2i n 1jn 1( yi2 P yj yi yj)
（2）完全估值法
✓采用历史模拟法或蒙特卡洛模拟法模拟风险因 子的未来不同情景，分别对组合中的各头寸进 行重新定价，从而得到组合价值的未来分布 （未来损益分布），并计算组合的VaR。
极值理论 (page 188)
▪ 极值理论可以用于描述变量X经验分布的的右 尾特性。
▪ 我们先在右尾找一个数值u ▪ Gnedenko的研究结果表明，对用多种概率分
布F(x)，随着u的增加，当X>u时，X的条件分 布Fu(y)（y=x-u)趋向于广义Pareto分布。
广义 Pareto 分布
▪ 广义Pareto分布有两个参数：形状参数x和规 模参数b，其累积分布函数为
（1）局部估值法（解析方法） ✓建立风险因子变化与组合价值变化间的函数
关系，由风险因子回报的正态性假设以及风 险因子的波动性和相关性预测推出组合的VaR。 ✓设P= f(y)，y为风险因子，当风险因子y从初 始值y0变成新的值y1= y0+△y，计算组合价值 P1= f(y1)
P 1 P 0 fy 0 y f2 y 0 y 2
历史模拟法计算VaR的缺点
▪ 完全依赖于特定的历史数据。 ▪ 如果历史数据涉及的期间不够长，则可能使
VaR计算不准确。 ▪ 如果资产组合含有比较复杂的证券，则计算
起来比较麻烦。
6.4 蒙特卡洛模拟法
▪ 原理：建立风险因子的随机过程模型，反复 模拟风险因子变量的随机过程，每次模拟都 可以得到风险因子的一个未来变化情景，得 到组合在持有期末的一个可能价值，如果进 行大量的模拟，那么组合价值的模拟分布将 收敛于组合的真实分布。
6计算VaR的方法
6.1ห้องสมุดไป่ตู้VaR的计算思路
▪ 计算VaR的关键在于确定资产组合未来损益的 统计分布，计算过程由两部分构成：
➢1.映射过程：建立组合价值与风险因子之间 的函数关系。
➢2.估值过程：根据风险因子的波动性或未来 情景估计组合的未来价值分布（或未来损益 分布）。 估值模型包括局部估值法和完全估值法
假设损失分布第q个分位数的估计值为x， 则估计值x的标准差为
1 q(1q) f(x) n
f(x) 为损失为x时，损失分布的密度函数值， f(x) 可以通过用标准分布来匹配经验分布 进行估计。
例12-1（ page 184 ）
推广1: 对观测值（模拟情景）设定权重
▪ 设定相同权重：基本历史模拟法对过去n个观 测值（n中模拟情景）设定相同的权重。
计算风险值的主要方法
局部估值法
完全估值法
参数方法 方差协方差法 蒙特卡洛模拟法
非参数方法
历史模拟法
6.2 德尔塔—正态方法
▪ 德尔塔-正态方法是一种常用的方差协方差法。 delta-正态方法假定：①组合价值变化与风险 因子变化间呈线性关系；②风险因子回报为 联合正态分布。
▪ 设风险因子X1、X2、…、Xn，风险因子的回报 服从均值为0的联合正态分布，风险因子回报 的协方差矩阵为∑。
6.3 历史模拟法
▪ 历史模拟法计算VaR的基本原理：用给定历史 时期上所观测到的风险因子的变化来表示风险 因子未来的变化，从而得到风险因子的未来n 个数据，进而得到组合价值未来损益的n个可 能结果，可以根据得到的未来损益分布，通过 分位数计算VaR。
▪ 历史模拟法计算VaR的基本方法：
➢（1）识别影响组合中各头寸价值的风险因子， 收集风险因子的历史观测数据，并用风险因子 表示出组合中各头寸的盯市价值。
μ1=0.155% σ1=2.42%
μ2=0.0338% σ2=1.68% ρ=0.14
▪ 请用delta-正态方法完成以下计算：
（1）在99%的置信水平下，组合中A股票的1 天持有期绝对VaR和相对VaR。
（2）在99%的置信水平下，组合中B股票的1 天持有期绝对VaR和相对VaR。
（3）在99%的置信水平下，资产组合的1天持 有期绝对VaR和相对VaR。
▪ 设定不同权重：权重随回望期增加而呈指数速 度递减。.
▪ n个变化情形的权重由近到远分别为
1 1 n ， 1 1 n ， 2 1 1 n ， ， n 1 1 1 n
▪ 将损失值由大到小进行排序,由最大损失开始 计算累计权重，当累计权重等于指定分位数时， 对应的损失值即为VaR。
▪ 令 u=β/ξ, 上式等价于幂率分布 。
利用极值理论估计VaR
▪ 置信水平为q时，VaR 估计值为
uxb n nu(1q)x1
历史模拟法计算VaR的优点
▪ 不需要对风险因子的分布进行假定。 ▪ 只要数据充分，可以处理厚尾分布和其他极
端情况。 ▪ 不需要估计风险因子的波动性和收益相关性。 ▪ 能够计算 VaR的置信区间.
Gx,by11bxy1/x
极大似然估计法 (式12-4, page 189)
▪ 假设大于u的观测值个数为 nu ▪ 选择 x 和 b 使下式最大化
inu1lnb11x(xbi u)1/x1
尾部概率
▪ 变量X>x的概率估计值为
1 /x
1 F u 1 G x,bx u n n u 1 xx b u
率变动的n个情景。
▪ 3）对持有期末风险因子的每个情景，利用精 确的定价公式或其它方法计算组合的价值及 其损益。
▪ 4）根据组合价值损益分布的模拟结果，计算 出特定置信水平下的VaR。
蒙特卡洛模拟法计算VaR的优缺点
▪ 优点： ➢能够用于风险因子的各种分布。 ➢能有用于任何复杂的资产组合。 ➢允许计算 VaR的置信区间。 ▪ 缺点： ➢有些意外情况会未被考虑。 ➢计算过程复杂，极端依赖于计算机。
➢（2）计算风险因子的历史价格变化，并模拟 风险因子的未来价格水平。
• 模拟情景1：假设所有市场变量的变化率等于 历史上第1天市场变量的变化率
• 模拟情景2：假设所有市场变量的变化率等于 历史上第2天市场变量的变化率
• 以此类推，总共得到n中模拟情景
风险因子的历史观测值 风险因子的价格变化
v0
v1
的m个随机变量xi(i=1，…，m)，随机数是由 随机数产生程序生成的。设标准正态分布的
分布函数为Ф(y)，令Ф(εi)=xi，则可以得 到标准正态分布的随机变量序列εi (i=1,…,m)，根据股票价格的随机过程模型 可依次得到St+iΔt(i=1,…,m)。St+mΔt（ST） 为股票价格在持有期末的一个变化情景，重
dtS tSt tSt dt
▪ ε～N（0，1），参数μt和σt代表t时刻的 瞬间漂移和波动，它们随时间变化。
▪ 设当前时间为t，到期时间为T，持有期τ=T-
t，将τ分为m个增量Δt，即 t ，则在
△t时间间隔上的估计为
m
St tSttSt t
▪ 对于汇率，可采用对数正态模型
Pt P0e t