2017_2018学年高中数学第1章坐标系1.1平面直角坐标系学案北师大版选修4_420171023 (2)

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1.1平面直角坐标系
1.理解平面直角坐标系的作用.(重点)
2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(重点)
3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示.(易混点)
教材整理1平面直角坐标系与点的坐标
在平面直角坐标系中,对于任意一点,都有唯一的有序实数对(x,y)与之对应;反之,对于任意的一个有序实数对(x,y),都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标系中,点和有序实数对是一一对应的.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在平面直角坐标系中,x轴上点的纵坐标都是0.()
(2)在平面直角坐标系中,点和有序实数对是一一对应的.()
(3)坐标(3,0)和(0,3)表示同一个点.()
【解析】(1)√(2)√
(3)×因为(3,0)在x轴上,而(0,3)在y轴上.
【答案】(1)√(2)√(3)×
教材整理2平面直角坐标系中曲线与方程的关系
曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解;
(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.
那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲线.
填空:
(1)x轴的直线方程为________.
1
(2)以原点为圆心,以1为半径的圆的方程为____________.
【导学号:12990000】
(3)方程2x2+y2=1表示的曲线是____________.
【答案】(1)y=0(2)x2+y2=1(3) 椭圆
教材整理3平面直角坐标轴中的伸缩变换
在平面直角坐标系中进行伸缩变换,即改变x轴或y轴的单位长度,将会对图形产生影响.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
1
(1)如果x轴的单位长度保持不变,y轴的单位长度缩小为原来的,圆x2+y2=4的图形
2
变为椭圆.()
(2)平移变换既不改变形状,也不改变位置.()
(3)在伸缩变换下,直线依然是直线.()
x2 【解析】(1)√因为x2+y2=4的圆的形状变为方程+y2=1表示的椭圆.
4
(2)×平移变换只改变位置,不改变形状.
(3)√直线在平移和伸缩下依然为直线,但方程发生了变化.
【答案】(1)√(2)×(3)√
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
解惑:
疑问2:
解惑:
疑问3:
解惑:
利用平面直角坐标系确定位置
由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行
护航任务,对商船进行护航.某日,甲舰在乙舰正东6千米处,丙舰在乙舰北偏西30°,相距
4千米.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距商船远,因此4 s后乙、
丙两舰才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援,行进的方位角应是多少?
【精彩点拨】本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置,因此不妨用点A,B,C表示甲舰、乙舰、丙舰,建立适当坐标系,求出商船与甲舰的坐标,问题可解.
【自主解答】设A,B,C,P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示,
以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,
则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2 3).
∵|PB|=|PC|,
∴点P在线段BC的垂直平分线上.
k BC=-3,线段BC的中点D(-4,3),
1
∴直线PD的方程为y-3=(x+4). ①
3
又|PB|-|PA|=4,
∴点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,
x2 y2
双曲线方程为-=1(x≥2).②
4 5
联立①②,解得P点坐标为(8,5 3).
5 3
∴k PA==3.
8-3
因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.
1.由于A,B,C的相对位置一定,解决问题的关键是如何建系,将几何位置量化,根据直线与双曲线方程求解.
2.运用坐标法解决实际问题的步骤:建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回
答实际问题.
1.已知某荒漠上有两个定点A,B,它们相距2 km,现准备在荒漠上开垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8 km.
(1)问农艺园的最大面积能达到多少?
(2)该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A,且与AB成30°的角,现要对整条水沟进行加固
改造,但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造,所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固,问:暂不加固的部分有多长?
【解】(1)设平行四边形的另两个顶点为C,D,由围墙总长为8 km,得|CA|+|CB|=4>|AB|=2,
由椭圆的定义知,点 C 的轨迹是以 A ,B 为焦点,长轴长 2a =4,焦距 2c =2的椭圆(去除 落在直线 AB 上的两点).
以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴,建立直角坐标系,则点 C 的轨迹方程为
x 2 y 2
+ =1(y ≠0). 4 3
易知点 D 也在此椭圆上,要使平行四边形 ABCD 的面积最大,则 C ,D 为此椭圆短轴的端点,
此时,面积 S =2 3(km 2).
x 2 y 2
(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆 + =1(y ≠0)内,故暂不 4 3 3
需要加固水沟的长就是直线 l :y = (x +1)被椭圆截得的弦长,如图.
3
因此,由Error!⇒13x 2+8x -32=0, 那么弦长= 1+k 2|x 1-x 2|
3
8 32 48
48 = 1+
(3 )2
· (-13 )2
-4 × (-13 )=
,故暂不加固的部分长
km.
13
13
平面直角坐标系中曲线方程
的确定
3
(1)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 ,且 G 上一点到 G
2
的两个焦点的距离之和为 12,求椭圆 G 的方程;
(2)在边长为 2的正△ABC 中,若 P 为△ABC 内一点,且|PA |2=|PB |2+|PC |2,求点 P 的轨 迹方程,并画出方程所表示的曲线.
【精彩点拨】 本题是曲线方程的确定与应用问题,考查建立平面直角坐标系、数形结合 思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等.解答此题中(1)需要根据已知条件 用待定系数法求解;(2)需要先建立平面直角坐标系,写出各点的坐标,用直接法求解,再根 据方程判定曲线类型画出其表示的曲线.
【自主解答】 (1)由已知设椭圆方程为
x
2 y 2
+ =1(a >b >0), a 2 b 2
c 3
则 2a =12,知 a =6.又离心率 e = = ,故 c =3 3. a 2
∴b 2=a 2-c 2=36-27=9.
x 2 y 2
∴椭圆的标准方程为 + =1. 36 9
(2)以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的中点为原点,BC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系, 设 P (x ,y )是轨迹上任意一点,又|BC |=2,∴B (-1,0),C (1,0),则 A (0, 3).
222
∴x2+(y-3)2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2,
化简得x2+(x+3)2=4.
又∵P在△ABC内,∴y>0.
∴P点的轨迹方程为x2+(y+3)2=4(y>0).
其曲线如图所示为以(0,-3)为圆心,半径为2的圆在x轴上半部分圆弧.
求动点轨迹方程常用的方法有:
(1)直接法:如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系,即可直接
求曲线的方程,步骤如下:
①建立适当的平面直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
②写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)};
③用坐标表示条件P(M),写出方程f(x,y)=0;
④化简方程f(x,y)=0;
⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上,若方程的变形过程是等价的,则⑤
可以省略.
(2)定义法:如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可依定义写出轨迹方程.
(3)代入法(相关点法):如果动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1),而Q(x1,y1)又在某
已知曲线上,则可先列出关于x,y,x1,y1的方程组,利用x,y表示x1,y1,把x1,y1代入
已知曲线方程即为所求.
→→→→
2.如图1­1­1,四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形,向量CM与PN的夹角为120°,QC·QM=2.
5
图1­1­1
(1)求圆C的方程;
(2)求以M,N为焦点,过点P,Q的椭圆方程.
【解】(1)建立如图所示的平面直角坐标系,
由题意得,△CQM为正三角形.
→→
∴QC·QM=r2·cos60°=2,
∴圆C的半径为2.
又圆心为(0,0),
∴圆C的方程为:x2+y2=4.
(2)由(1)知M(2,0),N(-2,0),Q(1,3),
∴2a=|QN|+|QM|=2 3+2,
∴a=3+1,c=2,
∴b2=a2-c2=2 3,
x2 y2
∴椭圆方程为:+=1.
4+2 3 2 3
平面直角坐标系中的伸缩变换
探究1在平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,直线变为什么图形?圆、椭圆、双曲线
和抛物线呢?
【提示】在平面经过伸缩变换,直线伸缩后仍为直线;圆伸缩后可能是圆或椭圆;椭圆
伸缩后可能是椭圆或圆;双曲线伸缩后仍为双曲线;抛物线伸缩后仍为抛物线.
探究2平移变换与伸缩变换的区别是什么?
【提示】平移变换区别于伸缩变换的地方就是:图形经过平移后只改变了位置,不会改
变它的形状.
探究3在伸缩变换中,若x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍后,变换后的坐标(x′,y′)与原坐标(x,y)有什么关系?
【提示】一般地,在平面直角坐标系xOy中:
使x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍(k>0),则当k=1时,x轴与y轴具有相同的单位长度;即为Error!的伸缩变换,当k>1时,相当于x轴上的单位长度保持不变,y轴上
1
的单位长度缩小为原来的,即为Error!的伸缩变换,当0<k<1时,相当于y轴上的单位长度
k
保持不变,x轴上的单位长度缩小为原来的k倍,即为Error!的伸缩变换.
x2 y2
在下列平面直角坐标系中,分别作出+=1的图形:
25 9
(1)x轴与y轴具有相同的单位长度;
(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍;
1
(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍.
2
【精彩点拨】先按要求改变x轴或y轴的单位长度,建立平面直角坐标系,再在新坐标系中作出图形.
x2 y2 【自主解答】(1)建立平面直角坐标系,使x轴与y轴具有相同的单位长度,则+=1
25 9
的图形如图①.
1 x
2 y2
(2)如果x轴上的单位长度保持不变,y轴上的单位长度缩小为原来的,则+=1的
2 25 9
图形如图②.
1 x
2 y2
(3)如果y轴上的单位长度保持不变,x轴上的单位长度缩小为原来的,则+=1的
2 25 9
图形如图③.
在平面直角坐标系中,改变x轴或y轴的单位长度会对图形产生影响,本题中即为Error!的伸缩变换,本题中即为Error!的伸缩变换.
x2 y2
3.本例中,+=1不变,试在下列平面直角坐标系中,分别作出其图形:
25 9
5
(1)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍;
3
3
(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍.
5
3 x2
【解】(1)如果x轴上的单位长度保持不变,y轴上的单位长度缩小为原来的,则+
5 25
y2
=1的图形如图①.
9
3 x2 y2
(2)如果y轴上的单位长度保持不变,x轴上的单位长度缩小为原来的,则+=1的
5 25 9
图形如图②.
1.曲线C的方程为y=x(1≤x≤5),则下列四点中在曲线C上的是()
1 1
A.(0,0)
B.( 5 )

5
C.(1,5)
D.(4,4)
【解析】将答案代入验证知D正确.
【答案】 D
2.直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()
A.|x|-|y|=1
B.|x-y|=1
C.||x|-|y||=1
D.|x±y|=1
【解析】由题知C正确.
【答案】 C
x2 y2 1
3.已知一椭圆的方程为+=1,如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的,则该椭
16 4 2
圆的形状为()
1
【解析】如果y轴上单位长度不变,x轴的单位长度变为原来的倍,则方程变为x2+y2=
2
4,故选B.
【答案】 B
4.将圆x2+y2=1经过伸缩变换Error!后的曲线方程为________.
【导学号:12990001】【解析】由Error!得Error!
x′2 y′2
代入到x2+y2=1,得+=1.
16 9
x2 y2
∴变换后的曲线方程为+=1.
16 9
x2 y2
【答案】+=1
16 9
5.已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.求动点M的轨迹C的方程.
【解】如图,设点M到直线l的距离为d,根据题意,d=2|MN|,
由此得|4-x|
=2 x-12+y2,
x2 y2
化简得+=1,
4 3
x2 y2
∴动点M的轨迹C的方程为+=1.
4 3
我还有这些不足:
(1)
(2)
我的课下提升方案:
(1)
(2)
10。

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