山东省烟台市芝罘区高考数学 知识点总结 专题8 概率

壹
专题八之概率
【知识概要】
一、古典概型 ●1．随机事件
（1）必然事件：在一定条件下必然发生的事件。

（2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生事件的事件。

（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

●2．频率与概率
（1）频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()A
n n f A n
=为事件A 出现的频率。

（2）概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，把这个常数记作()P A ，称为事件A 的概率，简称为A 的概率。

●3．概率的性质与计算
（1）随机事件A 的概率为：()A P A =
包含的基本事件的个数
基本事件的总数
（2）概率的基本性质：0()1P A ≤≤；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。

●4．基本方法：寻找一次试验等可能的结果数的基本方法——枚举法，用枚举法来寻找试验的结果数时注意合理地分类。

二、几何概型 ●1．几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积等)成比例，则这样的概率模型叫几何概型。

●2．几何概型计算：在几何概型中，事件A 的概率为：
()A P A =构成事件的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的长度（面积或体积）
●3．基本方法
（1）适当地选择角度；
（2）将基本事件转化为与之对应的区域； （3）将事件A 转化为与之对应的区域；
（4）一般如果所设及的问题是一个单变量，可能测度是长度，角度等，如果涉及两个变化量的随机试验，可设这两个变量,x y (如约会问题)，利用平面直角坐标系研究(,)x y 组成的点集。

三、互斥事件及其概率 ●1．基本概念
（1）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。

一般地，如果事件12,,,n A A A L 中的任何两个都是互斥事件，那么就说12,,,n A A A L 彼此互斥。

（2）对立事件：如果两个互斥事件中必有一个发生，那么这两个事件叫对立事件。

●2．有关计算：若事件A 与事件B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+; 特别地，若事件A 与
贰
事件B 互为对立事件，则()1()P A P B =-；如果事件12,,,n A A A L 中的任何两个都是互斥事件，则1212()()()()n n P A A A P A P A P A +++=+++L L 。

四、随机变量
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x x
ξ取每一个值),2,1(1Λ=i x 的概率i i p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.
121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这
个事件恰好发生k 次的概率是：k
n k k n q
p C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0Λ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B
（n ·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;q
p C k n k k n ⋅=-. ⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-==Λ.根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-==Λ),3,2,1(1Λ==-k p q k 于是得到随机变量ξ的概率分布列.
我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中Λ3,2,1.1=-=k p q
叁
5. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为
)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξn
N
k n M
N k M -≤-≤≤≤⋅⋅=
=--.
〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C r
m
=，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n ≤a+b ），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,k C C C k)P(ξn b
a k
n b
k a Λ=⋅=
=+-.
⑶超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把b a +个产品编号，则抽取n 次共有
n
b a )(+个可能结果，等可能：k)(η=含k
n k k n b a C -个结果，故n ,0,1,2,k ,)b
a a (1)
b a a (
C b)(a b
a C k)P(ηk
n k k n n
k n k k n Λ=+-+=+=
=--，即η～)(b a a n B +⋅
.[我们先为k 个次品选定位置，共k n C 种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.
五、数学期望与方差.
n n 2211.数
学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( ①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当1=a 时，b E b E +=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当0=b 时，ξξaE a E =)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.
⑵单点分布：c c E =⨯=1ξ其分布列为：c P ==)1(ξ.
⑶两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p +
q = 1）
⑷二项分布：∑=⋅-⋅=
-np q p
k n k n k E k n k
)!(!!
ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）
⑸几何分布：p
E 1
=
ξ 其分布列为ξ～),(p k q .（P 为发生ξ的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()(Λ===k p x P k k ξ时，则称
Λ
Λ+-++-+-
=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差. 显然0≥ξD ，故σξξσξ.D =为ξ的
肆
根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.
⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） ⑵单点分布：0=ξD 其分布列为p P ==)1(ξ ⑶两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1）
⑷二项分布：npq D =ξ ⑸几何分布：2
p q D =
ξ
5. 期望与方差的关系.
⑴如果ξE 和ηE 都存在，则ηξηξE E E ±=±)(
⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量，则ηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)(
⑶期望与方差的转化：22)(ξξξE E D -= ⑷)()()(ξξξξE E E E E -=-（因为ξE 为一常数）0=-=ξξE E .
六、正态分布.
1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ” 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.
2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度
.
（σμ,,R x ∈为常数，且0φσ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.
①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.
③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.
④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.
⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(2
2
+∞-∞=
-
ππx e
x x π
ϕ，则称ξ
服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）
伍
的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤π.
注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时，有5.0)(φx Φ.比如5.00793.0)5.0(
π=-Φσ
μ
则
σ
μ
-5.0必然小于
0，如图.
⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通
常用)(x F 表示，且有)σ
μ
x (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.
4.⑴“3σ”原则.
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.
S 阴=0.5S a =0.5+S。