高考导数压轴题型归类总结
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
导数压轴题型归类总结
目 录
一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31)
(一)作差证明不等式
(二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式
四、不等式恒成立求字母范围 (51)
(一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数
(三)恒成立之讨论字母范围
五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84)
七、导数结合三角函数 (85)
书中常用结论
⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x
x
<,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+
⑷ln ,0x x x e x <<>.
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1. (切线)设函数a x x f -=2)(.
(1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值; (2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21.
解:(1)1=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得3
3
±=x .
)(x g '
(2)证明:曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--.
令0=y ,得1
2
1
22x a
x x +=,∴1
2
1
1121
1222x x a x x a x x x -=-+=-
∵a x >1,∴021
21
<-x x a ,即12x x <. 又∵
1
122x a x ≠,∴a x a
x x a x x a x x =⋅>+=+=
1
1111212222222
所以a x x >>21.
2. (2009天津理20,极值比较讨论)
已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R
⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率; ⑵当23
a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值.
解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。
⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===,故,时,当 ⑵[].42)2()('22x e a a x a x x f +-++= 以下分两种情况讨论:
①a 若>32,则a 2-<2-a .当x 变化时,)()('x f x f ,的变化情况如下表:
②a 若<3
2,则a 2->2-a ,当x 变化时,)()('x f x f ,的变化情况如下表:
3. 已知函数2
2()2,()3ln .2
f x x ax
g x a x b =
+=+ ⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点,且在公共点处的切线相同,若0a >,试建立b 关于a 的函数关系式,并求b 的最大值;
⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数,求a 的取值范围。
4. (最值,按区间端点讨论)
已知函数f (x )=ln x -a x
.
(1)当a>0时,判断f (x )在定义域上的单调性;
(2)若f (x )在[1,e ]上的最小值为3
2
,求a 的值.
解:(1)由题得f (x )的定义域为(0,+∞),且 f ′(x )=1x +
2a x =2x a x
+. ∵a >0,∴f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上是单调递增函数.
(2)由(1)可知:f ′(x )=
2
x a
x +, ①若a ≥-1,则x +a ≥0,即f ′(x )≥0在[1,e ]上恒成立,此时f (x )在[1,e ]上为增函数, ∴f (x )min =f (1)=-a =32
,∴a =-32
(舍去).
②若a ≤-e ,则x +a ≤0,即f ′(x )≤0在[1,e ]上恒成立,此时f (x )在[1,e ]上为减函数, ∴f (x )min =f (e )=1-a e
=32,∴a =-2
e (舍去).
③若-e <a <-1,令f ′(x )=0,得x =-a .
当1<x <-a 时,f ′(x )<0,∴f (x )在(1,-a )上为减函数; 当-a <x <e 时,f ′(x )>0,∴f (x )在(-a ,e )上为增函数,
∴f (x )min =f (-a )=ln(-a )+1=32
⇒a
综上可知:a .
5. (最值直接应用)已知函数)1ln(2
1
)(2x ax x x f +--=,其中a ∈R . (Ⅰ)若2x =是)(x f 的极值点,求a 的值; (Ⅱ)求)(x f 的单调区间;
(Ⅲ)若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0,求a 的取值范围. 解:(Ⅰ)(1)
(),(1,)1
x a ax f x x x --'=
∈-+∞+.
依题意,令(2)0f '=,解得 13a =. 经检验,1
3a =时,符合题意.
(Ⅱ)解:① 当0=a 时,()1
x
f x x '=+.
故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞;单调减区间是)0,1(-.
② 当0a >时,令()0f x '=,得10x =,或21
1x a
=-.
当10<<a 时,()f x 与()f x '的情况如下:
所以,()f x 的单调增区间是(0,1)a -;单调减区间是)0,1(-和1(1,)a
-+∞. 当1=a 时,)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. 当1a >时,210x -<<,()f x 与()f x '的情况如下:
所以,()f x 的单调增区间是1(1,0)a -;单调减区间是1(1,1)a
--和(0,)+∞. ③ 当0<a 时,)(x f 的单调增区间是(0,)+∞;单调减区间是)0,1(-. 综上,当0a ≤时,)(x f 的增区间是(0,)+∞,减区间是)0,1(-;
当10<<a 时,()f x 的增区间是1(0,1)a -,减区间是)0,1(-和1(1,)a
-+∞;
当1=a 时,)(x f 的减区间是),1(+∞-;
当1a >时,()f x 的增区间是1(1,0)a -;减区间是1
(1,1)a
--和(0,)+∞.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 0a ≤时,)(x f 在(0,)+∞上单调递增,由0)0(=f ,知不合题意.
当10<<a 时,)(x f 在(0,)+∞的最大值是1
(1)f a
-,
由1
(1)(0)0f f a
->=,知不合题意.
当1≥a 时,)(x f 在(0,)+∞单调递减,
可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ,符合题意. 所以,)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时,a 的取值范围是[1,)+∞.
6. (2010北京理数18)
已知函数()f x =ln(1+x )-x +2
2
x x (k ≥0).
(Ⅰ)当k =2时,求曲线y =()f x 在点(1,f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求()f x 的单调区间.
解:(I )当2k =时,2()ln(1)f x x x x =+-+,1
'()121f x x x
=
-++ 由于(1)ln 2f =,3
'(1)2
f =,
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3
ln 2(1)2
y x -=-
即322ln 230x y -+-=
(II )(1)
'()1x kx k f x x
+-=+,(1,)x ∈-+∞.
当0k =时,'()1x
f x x
=-+.
所以,在区间(1,0)-上,'()0f x >;在区间(0,)+∞上,'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-,单调递减区间是(0,)+∞.
当01k <<时,由(1)'()01x kx k f x x +-=
=+,得10x =,210k
x k -=> 所以,在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上,'()0f x >;在区间1(0,)k
k
-上,'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞,单调递减区间是
1(0,)k
k
-. 当1k =时,2
'()1x f x x
=+ 故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞.
当1k >时,(1)'()01x kx k f x x +-==+,得1
1(1,0)k
x k -=∈-,20x =. 所以没在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上,'()0f x >;在区间1(,0)k
k
-上,'()0f x <
故()f x 得单调递增区间是1(1,
)k k --和(0,)+∞,单调递减区间是1(,0)k
k
- 7. (2010山东文21,单调性)
已知函数1()ln 1()a
f x x ax a R x
-=-+
-∈ ⑴当1a =-时,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程;
⑵当1
2
a ≤时,讨论()f x 的单调性.
解:⑴ln 20x y -+=
⑵因为 11ln )(--+-=x
a
ax x x f , 所以 211)('x a a x x f -+-=2
21x
a
x ax -+--=,),0(+∞∈x , 令 ,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x
8. (是一道设计巧妙的好题,同时用到e 底指、对数,需要构造函数,证存在且唯一时结
合零点存在性定理不好想,⑴⑵联系紧密) 已知函数()ln ,().x f x x g x e == ⑴若函数φ (x ) = f (x )-
1
1
x x +-,求函数φ (x )的单调区间; ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0,f (x 0))处的切线,证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0,使得直线l 与曲线y =g (x )相切.
解:(Ⅰ) ()1()1x x f x x ϕ+=--11ln -+-=x x x ,()()()2
2
211
121-⋅+=
-+='x x x x x x ϕ.
∵0x >且1x ≠,∴()0x ϕ'>∴函数()x ϕ的单调递增区间为()()∞+,
和11,0. (Ⅱ)∵
1
()f x x
'=
,∴001
()f x x '=,
∴ 切线l 的方程为0001ln ()y x x x x -=
-, 即00
1
ln 1y x x x =+-, ① 设直线l 与曲线()y g x =相切于点1
1(,)x x e ,
∵()x g x e '=,∴1
01x e x =
,∴10ln x x =-,∴0ln 10
1()x g x e x -==. ∴直线l 也为()00011ln y x x x x -=+, 即0000
ln 1
1x y x x x x =+
+, ② 由①②得 00
ln 1ln 1x x x x -=
+,∴0001
ln 1x x x +=-. 由(Ⅰ)可知,()x ϕ1
ln --
=x x 在区间1,+∞()上递增. 又12()ln 011
e e e e e ϕ+-=-=<--,2222
2
213(
)ln 011e e e e e e ϕ+-=-=>--, 结合零点存在性定理,说明方程()0x ϕ=这个根就是所求的
唯一0x ,故结论成立. 9. (最值应用,转换变量)
设函数221
()(2)ln (0)ax f x a x a x
+=-+
<.
(1)讨论函数()f x 在定义域内的单调性;
(2)当(3,2)a ∈--时,任意12,[1,3]x x ∈,12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立,求实数m 的取值范围.
解:⑴221()2a f x a x x -'=+-222(2)1ax a x x +--=2(1)(21)
ax x x +-=. 当2a <-时,112a -<,增区间为11(,)2a -,减区间为1(0,)a -,1
(,)2+∞.
当2a =-时,11
2a -=,减区间为(0,)+∞.
当20a -<<时,112a ->,增区间为11(,)2a -,减区间为1(0,)2,1
(,)a
-+∞.
⑵由⑴知,当(3,2)a ∈--时,()f x 在[1,3]上单调递减,
∴12,[1,3]x x ∈,12|()()|f x f x -≤(1)(3)f f -1
(12)[(2)ln 36]3
a a a =+--++,
即12
|()()|f x f x -≤2
4(2)ln 33
a a -+-. ∵12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立,
∴(ln 3)2ln 3m a +->24(2)ln 33a a -+-,即2
43ma a >-,
又0a <,∴
243m a
<-. ∵(3,2)a ∈--,∴132384339a -<-<-,∴m ≤13
3
-.
10. (最值应用)
已知二次函数()g x 对x R ∀∈都满足2(1)(1)21g x g x x x -+-=--且(1)1g =-,设函数
19
()()ln 28
f x
g x m x =+++(m R ∈,0x >).
(Ⅰ)求()g x 的表达式;
(Ⅱ)若x R +∃∈,使()0f x ≤成立,求实数m 的取值范围;
(Ⅲ)设1m e <≤,()()(1)H x f x m x =-+,求证:对于12[1,]x x m ∀∈,,恒有12
|()()|1H x H x -<. 解:(Ⅰ)设()2g x ax bx c =++,于是
()()()()2
2
11212212g x g x a x c x -+-=-+=--,所以121.
a c ⎧=⎪
⎨⎪=-⎩,
又()11g =-,则12b =-.所以()211122
g x x x =--. …………3分 (Ⅱ)()
2
191()ln ln (0).
282f x g x m x x m x m x =+++=+∈>R ,
当m >0时,由对数函数性质,f (x )的值域为R ;…………4分
当m =0时,2
()02
x f x =>对0x ∀>,()0f x >恒成立; …………5分
当m <0
时,由()0m
f x x x x '=+=⇒=,列表:
所以若0x ∀>,
故0x ∃>使()0f x ≤成立,实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞U ,.…………9分
(Ⅲ)因为对[1]x m ∀∈,,(1)()
()0x x m H x x
--'=
≤,所以()H x 在[1,]m 内单调递减. 于是21211
|()()|(1)()ln .
22H x H x H H m m m m -≤-=-- 记13()ln (1e)22h m m m m m =--<≤,则()
2
21133111()022332h'm m m m
=-+=-+>, 所以函数13
()ln 22h m m m m =--在(1e],是单调增函数,
所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2e
h m h -+≤=--=<,故命题成立. …………12分 11. 设3x =是函数()()()23,x
f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点.
(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求()f x 的单调区间;
(2)设()2250,4x
a g x a e ⎛⎫>=+
⎪⎝
⎭
,若存在[]12,0,4ξξ∈,使得()()121f g ξξ-< 成立,求a 的取值范围.
解:(1)∵()()23x
f x x ax b e -=++
∴()()()()'
'
32321x x f x x a e x ax b e --=++++-()232x
x a x b a e -⎡⎤=-+-+-⎣⎦
由题意得:()'30f =,即()2
3320a b a +-+-=,23b a =--
∴()()2323x
f x x ax a e -=+--且()()()'331x f x x x a e -=--++ 令()'
0f x =得13x =,21x a =--
∵3x =是函数()()()23,x
f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点
∴12x x ≠,即4a ≠-
故a 与b 的关系式为()23,4b a a =--≠-.
当4a <-时,213x a =-->,由()'
0f x >得单增区间为:()3,1a --; 由()'
0f x <得单减区间为:(),3-∞和()1,a --+∞;
当4a >-时,213x a =--<,由()'
0f x >得单增区间为:()1,3a --; 由()'
0f x <得单减区间为:(),1a -∞--和()3,+∞;
(2)由(1)知:当0a >时,210x a =--<,()f x 在[]0,3上单调递增,在[]3,4上单调递减,
{},)32()4(),0(min )(3min e a f f x f +-==()()max 36f x f a ==+,
∴()f x 在[]0,4上的值域为]6,)32([3++-a e a .
易知()2254x
g x a e ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭在[]0,4上是增函数,
∴()g x 在[]0,4上的值域为2242525,44a a e ⎡⎤
⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.
由于()2
22516042a a a ⎛⎫⎛
⎫+-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,
又∵要存在[]12,0,4ξξ∈,使得()()121f g ξξ-<成立,
∴必须且只须()202561
4a a a >⎧
⎪
⎨⎛⎫+-+< ⎪⎪⎝
⎭⎩解得:302a <<.
所以,a 的取值范围为30,2⎛⎫
⎪⎝⎭
.
12. 2()()()x f x x ax b e x R =++∈.
(1)若2,2a b ==-,求函数()f x 的极值;
(2)若1x =是函数()f x 的一个极值点,试求出a 关于b 的关系式(用a 表示b ),并确定
()f x 的单调区间;
(3)在(2)的条件下,设0a >,函数24()(14)x g x a e +=+.若存在]4,0[,21∈λλ使得
1|)()(|21<-λλf f 成立,求a 的取值范围.
解:(1)∵22()(2)()[(2)()]x x x f x x a e x ax b e x a x a b e '=++++=++++
当2,2a b ==-时,2()(22)x f x x x e =+-,则'()f x 2(4)x x x e =+. 令'()0f x =得2(4)0x x x e +=,∵0x e ≠,∴240x x +=,解得124,0x x =-= ∵当(,4)x ∈-∞-时,'()0f x >,
当(4,0)x ∈-时'()0f x <,当(0,)x ∈+∞时'()0f x > ∴当4x =-时,函数()f x 有极大值,4
6
()f x e 极大=
, 当0x =时,函数()f x 有极小值,()2f x =-极小. (2)由(1)知2()[(2)()]x f x x a x a b e '=++++ ∵1x =是函数()f x 的一个极值点 ∴(1)0f '= 即[1(2)()]0e a a b ++++=,解得32b a =--
则2()[(2)(3)]x f x e x a x a '=+++--=(1)[(3)]x e x x a -++ 令()0f x '=,得11x =或23x a =--
∵1x =是极值点,∴31a --≠,即4a ≠- .
当31a -->即4a <-时,由()0f x '>得(3,)x a ∈--+∞或(,1)x ∈-∞ 由()0f x '<得(1,3)x a ∈--
当31a --<即4a >-时,由()0f x '>得(1,)x ∈+∞或(,3)x a ∈-∞-- 由()0f x '<得(3,1)x a ∈--. 综上可知:
当4a <-时,单调递增区间为(,1)-∞和(3,)a --+∞,递减区间为(1,3)a -- 当4a >-时,单调递增区间为(,3)a -∞--和(1,)+∞,递减区间为(3,1)a --。
(3)由2)知:当a >0时,()f x 在区间(0,1)上的单调递减, 在区间(1,4)上单调递增,
∴函数()f x 在区间[0,4]上的最小值为(1)(2)f a e =-+ 又∵(0)f =(23)x be a =-+0<,4(4)(213)0f a e =+>,
∴函数()f x 在区间[0,4]上的值域是[(1),(4)]f f ,即4[(2),(213)]a e a e -++] 又24()(14)x g x a e +=+在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是2428[(14),(14)]a e a e ++. ∵24(14)a e +-4(213)a e +=24(21)a a e -+=24(1)0a e -≥,
∴存在]4,0[,21∈λλ使得1|)()(|21<-λλf f 成立只须
24(14)a e +-4(213)a e +<124241(1)1(1)a e a e ⇒-<⇒-<
.22
1111a e e ⇒-<<+. 13. (2010山东,两边分求,最小值与最大值) 已知函数1()ln 1a
f x x ax x
-=-+
-()a ∈R .
⑴当12
a ≤时,讨论()f x 的单调性; ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当1
4
a =
时,若对任意1(0,2)x ∈,存在[]21,2x ∈,使12()()f x g x ≥,求实数b 取值范围.
解:本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题,考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. (1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性;(2)利用导数求出()f x 的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出()g x 在闭区间[1,2]上的最大值,然后解不等式求参数.
⑴1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->,222
l 11
()(0)a ax x a f x a x x x x --++-'=-+=> 令2()1(0)h x ax x a x =-+->
①当0a =时,()1(0)h x x x =-+>,当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减;当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>,函数()f x 单调递增.
②当0a ≠时,由()0f x '=,即210ax x a -+-=,解得121
1,1x x a
==-.
当12a =时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤,函数()f x 单调递减; 当102a <<时,1
110a ->>,(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><,函数()f x 单调递减;
1
(1,1)x a ∈-时,()0,()0h x f x '<>,函数()f x 单调递增;
1
(1,)x a
∈-+∞时,()0,()0h x f x '><,函数()f x 单调递减.
当0a <时1
10a
-<,当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减;
当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>,函数()f x 单调递增.
综上所述:当0a ≤时,函数()f x 在(0,1)单调递减,(1,)+∞单调递增;
当1
2a =时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤,函数()f x 在(0,)+∞单调递减;
当102a <<时,函数()f x 在(0,1)递减,1(1,1)a -递增,1
(1,)a -+∞递减.
⑵当14
a =时,()f x 在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意1(0,2)x ∈, 有11
()(1)2
f x f =-≥,
又已知存在[]21,2x ∈,使12()()f x g x ≥,所以21
()2
g x -≥,[]21,2x ∈,(※)
又22()()4,[1,2]g x x b b x =-+-∈
当1b <时,min ()(1)520g x g b ==->与(※)矛盾;
当[]1,2b ∈时,2
min ()(1)40g x g b ==-≥也与(※)矛盾;
当2b >时,min
117
()(2)84,28
g x g b b ==-≤-≥. 综上,实数b 的取值范围是17
[,)8
+∞.
14. 设函数11ln )(--+
-=x
a
ax x x f . (Ⅰ)当1=a 时,过原点的直线与函数)(x f 的图象相切于点P ,求点P 的坐标; (Ⅱ)当2
10<<a 时,求函数)(x f 的单调区间;
(Ⅲ)当3
1
=a 时,设函数12
5
2)(2-
-=bx x x g ,若对于e x ,01(∈
∀],∈∃2x [0,1] 使)(1x f ≥)(2x g 成立,求实数b 的取值范围.(e 是自然对数的底,13+<e )
解:函数)(x f 的定义域为)0(∞+,,211)(x
a
a x x f ---='
(Ⅰ)设点)0)(,(000>x y x P ,当1=a 时,1ln )(--=x x x f ,则1ln 000--=x x y ,11
)(-='x
x f ,∴0
00001ln 11)(x x x x x f --=-=
' 解得20e x =,故点P 的坐标为)1(22e e -,
(Ⅱ)22
1)(x a ax ax x f -++-=
'2
2)1)(1()1)(1(x a a
x x a x a ax x --
--
=+---=
∵210<<a ∴011>--a
a
∴当10<<x ,或a
a x ->1时0)(<'x f ,当a a
x -<<11时,0)(>'x f
故当210<<a 时,函数)(x f 的单调递增区间为)1,1(a
a
-;
单调递减区间为)1,0(,),1(+∞-a
a
(Ⅲ)当31=a 时,132
3ln )(-+-=x
x x x f 由(Ⅱ)可知函数)(x f 在
)10,(上是减函数,在)21,(上为增函数,在]2(e ,上为减函数,且32)1(-=f ,e
e e
f 32
3)(+-=
∵e
e e e e
f e f 3)1(3322)1()(2
2--=+-=-,又13+<e ,∴3)1(2<-e , ∴)1()(f e f >,故函数)(x f 在],0(e 上的最小值为3
2
-
若对于],01e x (∈
∀,]1,0[2∈∃x 使)(1x f ≥)(2x g 成立⇔)(x g 在]1,0[上的最小值不大于 )(x f 在],0(e 上的最小值3
2
-(*)
又12
5
)(1252)(222---=--=b b x bx x x g ,]1,0[∈x
①当0<b 时,)(x g 在]1,0[上为增函数,3
2
125)0()]([min ->-==g x g 与(*)矛盾
②当10≤≤b 时,12
5
)()]([2min --==b b g x g ,
由321252-≤--b 及10≤≤b 得,12
1
≤≤b
③当1>b 时,)(x g 在]1,0[上为减函数,
3
2
12172127)1()]([min -<-<-=
=b g x g ,此时1>b 综上,b
的取值范围是)
,∞+2
1[ 15. (2010山东,两边分求,最小值与最大值)
已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-. ⑴求()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值;
⑵若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
(e 是常数,e =2.71828⋅⋅⋅)使不等式2()()f x g x ≥成立,求实数a 的取值范围;
⑶证明对一切(0,),x ∈+∞都有12
ln x
x e ex
>-成立.
解:⑴,
⑵由题意知
11()23h e e e =-++,3()2h e e e =++ 而1()()h h e e >,故1
32a e e
≤+-
(Ⅲ) 等价证明()()2
0,x x xInx x e e
>-∈+∞
由⑴知
()12
0,x Inx x e ex
>
-∈+∞即对一切成立. 16. (最值应用)
设函数()2ln q f x px x x
=--,且()2p
f e qe e
=-
-,其中e 是自然对数的底数. ⑴求p 与q 的关系;
⑵若()f x 在其定义域内为单调函数,求p 的取值范围; ⑶设2()e g x x
=
,若在[]1,e 上至少存在一点0x ,使得0()f x >0()g x 成立,求实数p 的取值范围. 解:(1)由题意得()2ln 2q p f e pe e qe e e =--=--1
()()0p q e e
⇒-+=
而1
0e e
+≠,所以p 、q 的关系为p q =.
(2)由(1)知()2ln 2ln q p
f x px x px x x x
=--=--,
2'
22
22()p px x p f x p x x x
-+=+-=.令2()2h x px x p =-+, 要使()f x 在其定义域(0,)+∞内单调,只需()0()0h x h x ≥≤或恒成立.
①当0p =时,()2h x x =-,因为x >0,所以()h x <0,'
22()x f x x
=-<0,
∴()f x 在(0,)+∞内是单调递减函数,即0p =适合题意;
②当p >0时,2()2h x px x p =-+,∴min
1()h x p p
=-, 只需1
0p p
-≥,即'1()0,()0p h x f x ≥≥≥时,
∴()f x 在(0,)+∞内为单调递增函数,故1p ≥适合题意.
③当p <0时,2()2h x px x p =-+,其图像为开口向下的抛物线,对称轴为1
(0,)x p
=
∉+∞,只要(0)0h ≤,即0p ≤时,()0h x ≤在(0,)+∞恒成立,故p <0适合题意. 综上所述,p 的取值范围为10p p ≥≤或.
(3)∵2()e
g x x
=
在[]1,e 上是减函数, ∴x e =时,min ()2g x =;1x =时,max ()2g x e =,即[]()2,2g x e ∈,
①当0p ≤时,由(2)知()f x 在[]1,e 上递减max ()(1)0f x f ⇒==<2,不合题意;
②当0<p <1时,由[]11,0x e x x
∈⇒-≥,
又由(2)知当1p =时,()f x 在[]1,e 上是增函数,
∴1111
()()2ln 2ln 2ln 2f x p x x x x e e e x x e e
=--≤--≤--=--<2,不合题意;
③当1p ≥时,由(2)知()f x 在[]1,e 上是增函数,(1)0f =<2,又()g x 在[]1,e 上是减函数,
故只需max ()f x >min ()g x ,[]1,x e ∈,而max 1()()()2ln f x f e p e e e
==--,min ()2g x =, 即
1()2ln p e e e -->2,解得p >241
e e - ,
综上,p 的取值范围是24()1
e e +∞-,. 17. (2011湖南文,第2问难,单调性与极值,好题) 设函数1()ln ().
f x x a x a R x
=--∈
⑴讨论函数()f x 的单调性;
⑵若()f x 有两个极值点12,x x ,记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问:是否存在a ,使得2k a =-?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.
解:⑴()f x 的定义域为(0,).+∞222
11
'()1a x ax f x x x x -+=+-=
令2()1,g x x ax =-+其判别式2 4.a =-V
①当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥V 时故()(0,)f x +∞在上单调递增.
②当2a <-V 时,
>0,g(x)=0的两根都小于0,在(0,)+∞上,'()0f x >,故()(0,)f x +∞在上单调递增.
③当2a >V 时,>0,g(x)=0
的两根为12x x ==
当10x x <<时, '()0f x >;当12x x x <<时,'()0f x <;当2x x >时,'()0f x >,故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增,在12(,)x x 上单调递减.
⑵由⑴知,若()f x 有两个极值点12,x x ,则只能是情况③,故2a >.
因为12
1212
1212
()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--, 所以1212121212
()()ln ln 1
1f x f x x x k a x x x x x x --==+---g
12
12
ln ln 2x x k a x x -=--g
若存在a ,使得2.k a =-则12
12
ln ln 1x x x x -=-.即1212ln ln x x x x -=-.
亦即2222
1
2ln 0(1)(*)x x x x -
-=> 再由⑴知,函数1
()2ln h t t t t
=--在(0,)+∞上单调递增,而21x >,所以
22211
2ln 12ln10.1
x x x -->--=这与(*)式矛盾.故不存在a ,使得2.k a =-
18. (构造函数,好,较难)
已知函数21()ln (1)(0)2
f x x ax a x a R a =-+-∈≠,.
⑴求函数()f x 的单调增区间;
⑵记函数()F x 的图象为曲线C ,设点1122(,)(,)A x y B x y 、是曲线C 上两个不同点,如果曲线C
上存在点00(,)M x y ,使得:①12
02
x x x +=
;②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ,则称函数()F x 存在“中值相依切线”.试问:函数()f x 是否存在中值相依切线,请说明理由.
解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域是(0,)+∞.
由已知得,1
(1)()
1'()1a x x a f x ax a x x
-+=-+-=-. ⅰ 当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<;∴函数()f x 在(0,1)上单调递增
ⅱ 当0a <时,
①当11a -<时,即1a <-时, 令'()0f x >,解得10x a
<<-或1x >;
∴函数()f x 在1
(0,)a
-和(1,)+∞上单调递增
②当1
1a -=时,即1a =-时, 显然,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;
③当11a ->时,即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1
x a
>-
∴函数()f x 在(0,1)和1
(,)a
-+∞上单调递增.
综上所述:
⑴当0a >时,函数()f x 在(0,1)上单调递增
⑵当1a <-时,函数()f x 在1(0,)a
-和(1,)+∞上单调递增
⑶当1a =-时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;
⑷当10a -<<时,函数()f x 在(0,1)和1
(,)a
-+∞上单调递增.
(Ⅱ)假设函数()f x 存在“中值相依切线”.
设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线()y f x =上的不同两点,且120x x <<,
则211111ln (1)2y x ax a x =-+-,222221
ln (1)2
y x ax a x =-+-.
211221ln ln 1
()(1)2
x x a x x a x x -=
-++--.
曲线在点00(,)M x y 处的切线斜率0()k f x '=12
(
)2
x x f +'=12122(1)2x x a a x x +=
-⋅+-+, 依题意得:
211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122
(1)2
x x a a x x +=-⋅+-+. 化简可得 2121ln ln x x x x --122
x x =+, 即21ln x x =21212()x x x x -+212
1
2(1)1x x x x -=+.
设21x t x = (1t >),上式化为:2(1)4ln 211
t t t t -==-
++, 4ln 21t t +=+,令4
()ln 1
g t t t =++,2
14'()(1)g t t t =-+=22(1)(1)t t t -+. 因为1t >,显然'()0g t >,所以()g t 在(1,)+∞上递增,显然有()2g t >恒成立.
所以在(1,)+∞内不存在t ,使得4
ln 21
t t +=+成立.
综上所述,假设不成立.所以,函数()f x 不存在“中值相依切线” 19. (2011天津理19,综合应用)
已知0a >,函数()2
ln f x x ax =-,0x >.(()f x 的图象连续) ⑴求()f x 的单调区间;
⑵若存在属于区间[]1,3的,αβ,且1βα-≥,使()()f f αβ=,证明:
ln 3ln 2ln 2
53
a -≤≤. 解:⑴()21122ax f x ax x x -'=-=,0x >.令()0f x '=
,则x =
当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:
所以()f x 的单调增区间是⎛ ⎝,单调减区间是⎫+∞⎪⎪⎭
.
⑵由()()f f αβ=及()f x 的单调性知αβ<<.从而()f x 在区间[],αβ上的最小值为
()f α.
又由1βα-≥,[],1,3αβ∈,则123αβ≤≤≤≤.
所以()()()()()()21,23,f f f f f f αβ≥≥⎧⎪⎨≥≥⎪⎩即ln 24,ln 24ln 39.a a a a -≥-⎧⎨-≥-⎩
所以
ln 3ln 2ln 2
53
a -≤≤. 20. (恒成立,直接利用最值)
已知函数2()ln(1), 0f x ax x ax a =++->,
⑴若2
1
=
x 是函数)(x f 的一个极值点,求a ; ⑵讨论函数)(x f 的单调区间;
⑶若对于任意的[1,2]a ∈,不等式()f x m ≤在1[,1]2
上恒成立,求m 的取值范围.
解:⑴222(2)()1
ax a x
f x ax +-'=+,
因为21=x 是函数)(x f 的一个极值点,所以0)2
1
(='f ,得022=--a a .
又0>a ,所以2=a .
⑵因为)(x f 的定义域是1
(, )a
-+∞,
2222
2()
2(2)2()
11
a ax x ax a x a f x ax ax --+-'==
++. ①当a )(x f 在(, 0)a -,2(, )2a a -+∞是增函数;)(x f 在2
(0, )2a a
-是减函数.
②当
a
. ③当0)(x f 在12(, )2a a a --,(0, )+∞是增函数;)(x f 在2
(, 0)2a a
-是减函数.
⑶
21. (最值与图象特征应用)
设R a ∈,函数e a ax e x f x
)(1(2
)(2++=-为自然对数的底数). ⑴判断)(x f 的单调性;
⑵若]2,1[1
)(2
∈>x e
x f 在上恒成立,求a 的取值范围. 解:⑴∵)2(21)1(21)(2ax e a ax e x f x x ⋅+++-='--),12(2
12
--+-=-a ax ax e x
令.12)(2--+-=a ax ax x g
①当)(,0)(,01)(,0x f x f x g a ∴<'∴<-==时在R 上为减函数.
②当,04)(440)(,022<-=+-=∆=>a a a a x g a 的判别时 )(0)(,0)(x f x f x g ∴<'<∴即在R 上为减函数. ③当0<a 时,由,0122>--+-a ax ax 得,1111a
x a x -+
>--<或
由,0122
<--+-a ax ax 得,1
11
1a
x a -+
<<--
),(),,()(+∞---+-∞∴a
a
a a a a x f 在上为增函数;
),(
)(a
a
a a a a x f ---+在上为减函数. ⑵由⑴知
①当]2,1[)(,0在时x f a ≥上为减函数. ②当2221
215)2(,0e
e a
f a <+=
<时 2
1)(e x f >
∴在[1,2]上不恒成立,∴a 的取值范围是).,51
(+∞ 22. (单调性)
已知()f x =ln(x +2)-x 2+bx +c
⑴若函数()f x 在点(1,y )处的切线与直线3x +7y +2=0垂直,且f (-1)=0,求函数()f x 在区间[0,3]上的最小值;
⑵若()f x 在区间[0,m ]上单调,求b 的取值范围. 解:⑴b x x x f +-+=
'221)(,依题意令(1)f '= 7
3
,(1)f -=0,解得b =4,c =5. 因为⑵若()f x 在区间[0,m ]上单调,有两种可能
①令b x x x f +-+=
'221)(≥0得b ≥2x -21
+x ,在[0,m]上恒成立 而y=2x -21+x 在[0,m]上单调递增,最大值为2m -21+m ,∴b ≥2m -21
+m .
②令b x x x f +-+='221)(≤0 得b ≤2x -21
+x , 而 y=2x -21+x 在[0,m]单增,最小为y=-21,∴b ≤-21
.
故b ≥2m -21+m 或b ≤-2
1
时()f x 在[0,m]上单调.
23. (单调性,用到二阶导数的技巧) 已知函数x x f ln )(=
⑴若)()()(R a x
a
x f x F ∈+=
,求)(x F 的极大值; ⑵若kx x f x G -=2)]([)(在定义域内单调递减,求满足此条件的实数k 的取值范围.
解:⑴x
a
x x a x f x F +=+=ln )()(Θ定义域为),0(+∞∈x
令a e x x F -=='10)(得 由a e x x F -<<>'100)(得 由a e x x F -><'10)(得
即),0()(1a e x F -在上单调递增,在),(1+∞-a e 上单调递减
a
e
x -=∴1时,F (x )取得极大值1
1)1(---=+-=
a a
a
e e a a e F ⑵kx x x G -=2)(ln )(Θ的定义域为(0,+∞),k x
x
x G -=
'∴ln 2)(
由G (x )在定义域内单调递减知:0ln 2)(<-='k x
x
x G 在(0,+∞)内恒成立 令k x x x H -=
ln 2)(,则2)ln 1(2)(x
x x H -=' 由e x x H =='得0)( ∵当),0(e x ∈时)(,0)(x H x H >'为增函数 当),(+∞∈e x 时0)(<'x H ,)(x H 为减函数
∴当x = e 时,H (x )取最大值k e
e H -=2
)(
故只需02<-k e 恒成立,e k 2>∴ 又当e k 2=时,只有一点x = e 使得0)()(=='x H x G 不影响其单调性.2
e
k ≥∴
二、交点与根的分布
24. (2008四川22,交点个数与根的分布)
已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点. ⑴求a ;
⑵求函数()f x 的单调区间;
⑶若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点,求b 的取值范围. 解:⑴2()ln(1)10f x a x x x =++-,'()2101a
f x x x
=
+-+ 3x =是函数
2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点.
'(3)404
a
f =
-=,16a = ⑵由⑴2
()16ln(1)10f x x x x =++-,(1,)x ∈-+∞ 2162862(1)(3)
'()210111
x x x x f x x x x x -+--=+-==+++ 令'()0f x =,得1x =,3x =
'()f x ()f x x ()f x 的增区间是(1,1)-,⑶由②知,()f x 在(1,1)-上单调递增,在(3,)+∞上单调递增,在(1,3)上单调递减. ∴()(1)16ln 29f x f ==-极大,()(3)32ln 221f x f ==-极小. 又1x +→-时,()f x →-∞;x →+∞时,()f x →+∞; 可据此画出函数()y f x =的草图(图略),由图可知,
当直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点时,b 的取值范围为(32ln 221,16ln 29)--.
25. 已知函数()32
f x x ax bx c =-+++在(),0-∞上是减函数,在()0,1上是增函数,函数()f x 在
R 上有三个零点. (1)求b 的值;
(2)若1是其中一个零点,求()2f 的取值范围; (3)若()()'
2
13ln a g x f x x x ==++,,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x )相切?请说明理由.
⑶()g x =2x +ln x ,设过点(2,5)与曲线g (x )的切线的切点坐标为00(,)x y
∴/
0005()(2)y g x x -=-,
即0000
1
2ln 5(2)(2)x x x x +-=+
-
∴002ln 20x x +
-=,令h(x )=2
ln 2x x +-,
∴/h (x)=212x x -=0,∴2x = ∴h(x )在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增
Q 又1()2ln 202h =->,h(2)=ln2-1<0,222
()0h e e
=>
∴h(x )与x 轴有两个交点,∴过点(2,5)可作2条曲线y=g(x )的切线. 26. (交点个数与根的分布)
已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ ⑴求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t
⑵是否存在实数,m 使得()y f x =的图像与()y g x =的图像有且只有三个不同的交点?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,说明理由。
解:⑴22()8(4)16.f x x x x =-+=--+
当14,t +<即3t <时,()f x 在[],1t t +上单调递增, 当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时,()(4)16;h t f ==
当4t >时,()f x 在[],1t t +上单调递减,2()()8.h t f t t t ==-+
综上2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩
⑵函数()y f x =的图像与()y g x =的图像有且只有三个不同的交点,即函数 ()()()x g x f x φ=-的图像与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
当(0,1)x ∈时,'()0,()x x φφ>是增函数; 当(0,3)x ∈时,'()0,()x x φφ<是减函数; 当(3,)x ∈+∞时,'()0,()x x φφ>是增函数; 当1,x =或3x =时,'()0.x φ=
Q 当x 充分接近0时,()0,x φ<当x 充分大时,()0.x φ>
∴要使()x φ的图像与x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须 ()70,
()6ln 3150,x m x m φφ=->⎧⎪⎨
=+-<⎪⎩
最大值最小值 即7156ln 3.m <<- ∴存在实数m ,使得函数()y f x =与()y g x =的图像有且只有三个不同的交点,m 的取值范围为(7,156ln 3).-
27. (交点个数与根的分布) 已知函数.2
3)32ln()(2
x x x f -+=
⑴求f (x )在[0,1]上的极值;
⑵若对任意0]3)(ln[|ln |],3
1,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立,求实数a 的取值范围;
⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b 的取值范围.
解:⑴2
3)
13)(1(33323)(+-+-=-+='x x x x x x f , 令131
0)(-==='x x x f 或得(舍去)
)(,0)(,310x f x f x >'<≤∴时当单调递增;当)(,0)(,131
x f x f x <'≤<时递减.
]1,0[)(6
1
3ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值.
⑵由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得
设3
32ln 323ln ln )(2
x x x x x h +=+-=,x x x x x g 323ln 323ln ln )(+=++=, 依题意知]3
1
,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立,
0)32(2
)32(33)32(3332)(2>+=+⋅-+⋅+='x x x x x x x x g Θ,
03262)62(31323)(2
2>++=+⋅+='x
x x
x x x x h , ]31
,61[)()(都在与x h x g ∴上单增,要使不等式①成立,
当且仅当.5
1
ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或
⑶由
.022
3)32ln(2)(2
=-+-+⇒+-=b x x x b x x f 令x
x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2
2+-=+-+='-+-+=ϕϕ则,
当]37
,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ϕϕ>'∈上递增;
]1,37[)(,0)(,]1,37[在于是时x x x ϕϕ<'∈上递减,
而)1()3
7
(),0()37(ϕϕϕϕ>>,
]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ϕ恰有两个不同实根等价于
28. (2009宁夏,利用根的分布) 已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++ ⑴如3a b ==-,求()f x 的单调区间;
⑵若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加,在(,2),(,)αβ+∞单调减少,证明:βα-<6.解:⑴3a b ==-时,32()(333)x f x x x x e -=+--,故
当3x <-或03'()0;x f x <<>时,当303'()0.x x f x -<<><或时,
从而()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加,在(,),(,)单调减少.
⑵3223'()(3)(36)[(6)].x x x f x x x ax b e x x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+- 由条件得3'(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故 从而3'()[(6)42].x f x e x a x a -=-+-+- 因为'()'()0,f f αβ==
所以3(6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---2(2)[()].x x x αβαβ=--++ 将右边展开,与左边比较系数得,2, 2.a αβαβ+=-=-故
又(2)(2)0,2()40.βααβαβ--<-++<即由此可得 6.a <-于是 6.βα->29. (2009天津文,利用根的分布讨论)
设函数()()()322
113
f x x x m x x =-++-∈R ,其中0m >
⑴当1m =时,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率 ⑵求函数()f x 的单调区间与极值
⑶已知函数()f x 有三个互不相同的零点120x x 、、,且12x x <,若对任意的
[]()()12,,1x x x f x f ∈>恒成立,求m 的取值范围.
解:⑴当1)1(,2)(,3
1)(1'
2/23=+=+==f x x x f x x x f m 故时,
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为1.
⑵12)(22'-++-=m x x x f ,令0)('=x f ,得到m x m x +=-=1,1
因为m m m ->+>11,0所以,
当x 变化时,)(),('x f x f 的变化情况如下表:
+ 0 - 0 +
↓ 极小值 ↑ 极大
值
↓
)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数,在)1,1(m m +-内增函数。
函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +,且)1(m f +=31322
3-+m m
函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -,且)1(m f -=3
1322
3-+-m m
⑶由题设
))((31)131()(212
2x x x x x m x x x x f ---=-++-= 所以方程13
12
2-++-m x x =0由两个相异的实根21,x x ,故321=+x x ,且
0)1(3412>-+=∆m ,解得2
1
)(21>-<m m ,舍
因为12
3
,32,2
21221>>=+><x x x x x x 故所以(难点) 若0)1)(1(3
1
)1(,12121≥---=<≤x x f x x 则,而0)(1=x f ,不合题意;
若,121x x <<则对任意的],[21x x x ∈有,0,021≤-≥-x x x x
则0))((3
1
)(21≥---==x x x x x x f ,又0)(1=x f ,所以函数)(x f 在],[21x x x ∈的最小值为0,
于是对任意的],[21x x x ∈,)1()(f x f >恒成立的充要条件是03
1)1(2
<-=m f ,解得
3333<
<-m ,综上,m 的取值范围是)3
3
,21( 30. (2007全国II 理22,转换变量后为根的分布) 已知函数3()f x x x =-.
(1)求曲线()y f x =在点(())M t f t ,处的切线方程;
(2)设0a >,如果过点()a b ,可作曲线()y f x =的三条切线,证明:()a b f a -<<. 解:(1)2()31x x f '=-.()y f x =在点(())M t f t ,处的切线方程为()()()y f t f t x t '-=-, 即23(31)2y t x t =--.
(2)如果有一条切线过点()a b ,,则存在t ,使23(31)2b t a t =--. 若过点()a b ,可作曲线()y f x =的三条切线, 则方程 32230t at a b -++=有三个相异的实数根.
记 32()23g t t at a b =-++,则2()66g t t at '=-6()t t a =-. 当t 变化时,()()g t g t ',变化情况如下表:
如果过()a b ,即()0g t =有三个相异的实数根,则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩
,
即 ()a b f a -<<.
31. 已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=.
⑴求函数()f x 的解析式;
⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤,求实数c 的最小值;
⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线,求实数m 的取值范围. 解:⑴()2323f x ax bx '=+-.…………………………………………………………2分
根据题意,得()()12,10,
f f =-⎧⎪⎨'=⎪⎩即32,
3230,a b a b +-=-⎧⎨+-=⎩解得10a b =⎧⎨=⎩……………………3分
所以()33f x x x =-.………………………………………………………………4分 ⑵令()0f x '=,即2330x -=.得1x =±.
12f -=12f =-所以当[]2,2x ∈-时,()max 2f x =,()min 2f x =-.………………………………6分 则对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x ,都有
()()()()12max min 4f x f x f x f x -≤-=,所以4c ≥.
所以c 的最小值为4.……………………………………………………………………8分 ⑶因为点()()2,2M m m ≠不在曲线()y f x =上,所以可设切点为()00,x y .
则3
00
03y x x =-. 因为()20033f x x '=-,所以切线的斜率为2
033x -.………………………………9分 则20
33x -=3
00032
x x m
x ---,………………………………………………………………11分。