2017年高考数学江苏试题及解析

2017年
1.(2017年)集合A={1，2}，B={a，a2+3}，假设A∩B={1}，那么实数a的值为.
1.1 【解析】由题意1∈B，显然a2+3≥3，所以a=1，此时a2+3=4，满足题意，故答案为1.
2. (2017年)复数z=(1+i)(1+2i)，其中i是虚数单位，那么z的模是.
2.10 【解析】|z|=|(1+i)(1+2i)|=|1+i||1+2i|=2×5=10.故答案为10．
3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检
验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进展检验，那么应从丙种型号的产品中抽取▲ 件．
【答案】18
【解析】应从丙种型号的产品中抽取
300
6018
1000
⨯=件，故答案为18．
【考点】分层抽样
【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是一样的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．
4. (2017年)右图是一个算法流程图，假设输入x的值为1
16，那么输出y的值是.
4. -2 【解析】由题意得y=2+log21
16
=-2.故答案为-2．
5. (2017年)假设tan(α+π4)=1
6那么tan α=.
5. 75 【解析】tan α= tan[(α-π4)+π4]=tan(α-π4)+tan π41- tan(α-π4) tan π4=1
6+11-16=75.故答案为7
5.
6. (2017年)如图，在圆柱O 1O 2有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面与母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，那么V 1
V 2的值是.
6. 32 【解析】设球半径为r ，那么V1V2=πr2×2r 43πr3=32．故答案为32．
7. (2017年)记函数f 〔x 〕=6+x-x 2
的定义域为D ．在区间[-4，5]上随机取一个数x ，那么x∈D 的概率是.
7. 5
9 【解析】由6+x-x 2≥0，即x 2-x-6≤0，得-2≤x≤3，根据几何概型的概率计算公式得x∈D 的概率是3-〔-2〕5-〔-4〕=5
9.
8. (2017年)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x
2
3-y 2
=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，那么四边形F 1PF 2Q 的面积是.
8. 2 3 【解析】右准线方程为x=3
10=31010，渐近线方程为y=±33x ，设P 〔31010，3010〕，那么Q 〔31010，-3010〕，F 1〔-10，0〕，F 2〔10，0〕，那么S=210×30
10=2 3.
9.(2017·高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .S 3＝74，S 6＝63
4
，那么
a 8＝________.
[解析]设等比数列{a n }的公比为q ，那么由S 6≠2S 3，得q ≠1，那么
⎩⎪⎨⎪⎧
S 3＝a 11－q 31－q ＝74
，
S 6
＝
a 1
1－q 6
1－q
＝634
，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
q ＝2，a 1＝1
4，
那么a 8＝a 1q 7＝14×27
＝32.
[答案]32
10.(2017·高考)某公司一年购置某种货物600吨，每次购置x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x 的值是________．
解析：由题意，一年购置
600
x
次，那么总运费与总存储费用之和为
600
x
×6＋4x ＝
4⎝ ⎛⎭
⎪⎫900x
＋x ≥8900
x
·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最
小时x 的值是30.
答案：30
11. (2017年)函数f(x)=x 3
-2x+e x
-1
e x ，其中e 是自然对数的底数．假设f(a-1)+f(2a 2
)≤0，
那么实数a 的取值围是___________.
11. [-1，12] 【解析】因为f 〔-x 〕=-x 3+2x+1
e x - e x
=-f 〔x 〕，所以函数f 〔x 〕是奇函数，因为f′〔x 〕=3x 2-2+e x +e -x ≥3x 2-2+2e x ·e -x ≥0，所以函数f 〔x 〕在R 上单调递增，又f 〔a-1〕+ f(2a 2
)≤0，即f(2a 2
)≤f〔1-a 〕，所以2a 2
≤1-a ，即2a 2
+a-1≤0，解得-1≤a≤1
2，
故实数a 的取值围为[-1，12].
12. (2017年)如图，在同一个平面，向量→OA ，→OB ，→OC 的模分别为1，1，2，→OA 与→OC 的夹角为α，且tan α=7，→OB 与→OC 的夹角为45°．假设→OC =m →OA +n →OB
(m ，n∈R)，那么m n +=___________.
12.3 【解析】由tan α=7可得sin α=7210，cos α=2
10，根据向量的分解， 易得⎩⎨
⎧ncos 45°+mcos α=2，nsin 45°-msin α=0，即⎩⎪⎨⎪⎧22n+210m=2，22n-7210m=0，即⎩⎨⎧5n+m=10，5n-7m=0，即得m=54，n=7
4，
所以m+n=3．
13. (2017年)在平面直角坐标系xOy 中,A (－12,0),B (0,6),点P 在圆O ：x 2
＋y 2
＝50上,假设→PA ·→
PB ≤20,那么点P 的横坐标的取值围是_________. 【答案】 [52,1]
【解析】设P (x ,y ,)由→PA ·→PB ≤20易得2x －y ＋5≤0,由⎩⎨⎧2x －y ＋5＝0，x 2
＋y 2＝50可得A ：⎩⎨⎧x ＝－5，
y ＝－5或B ：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝7.由2x －y ＋5≤0得
P 点在圆左边弧⌒
AB 上,结合限制条件－52≤x ≤52,可得
点P 横坐标的取值围为 [52,1].
14. (2017·高考)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＝n －1n ，n ∈N *
，那么方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．
解析：由于f (x )∈[0,1)，因此只需考虑1≤x <10的情况，
在此围，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝q p
，q ，p ∈N *
，p ≥2且p ，q 互质．
假设lg x ∈Q ，那么由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝n m
，m ，n ∈N *
，m ≥2且m ，n 互质， 因此10n m ＝q p
，那么10n
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，
故lg x 不可能与每个周期x ∈D 对应的局部相等， 只需考虑lg x 与每个周期x ∉D 局部的交点．
画出函数草图(如图)，图点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D 的局部，
且x＝1处(lg x)′＝1
x ln 10＝
1
ln 10
<1，那么在x＝1附近仅有一个交点，因此方程f(x)
－lg x＝0的解的个数为8.
答案：8
15.(2017年)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D 不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证：〔1〕EF∥平面ABC；
〔2〕AD⊥AC.
【分析】〔1〕先由平面几何知识证明EF∥AB,再由线面平行判定定理得结论；〔2〕先由面面垂直性质定理得BC⊥平面ABD,那么BC⊥AD,再由AB⊥AD与线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC,即可得AD⊥AC.
【证明】〔1〕在平面ABC,∵AB⊥AD,EF⊥AD,∴EF∥AB.
又∵EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,∴EF∥平面ABC.
〔2〕∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD＝BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,
∴BC⊥平面ABD.
∵AD⊂平面ABD,∴BC⊥AD.
又AB⊥AD,BC∩AB＝B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,
∴AD⊥平面ABC.
又∵AC ⊂平面ABC ,∴AD ⊥AC .
16.(2017年)向量a ＝(cos x ,sin x ),b ＝(3,－3),x ∈[0,π]. 〔1〕假设a ∥b ,求x 的值；
〔2〕记f (x )＝a ·b ,求f (x )的最大值和最小值以与对应的x 的值. 【解析】〔1〕∵a ＝(cos x ,sin x ),b ＝(3,－3),a ∥b , ∴－3cos x ＝3sin x .
假设cos x ＝0,那么sin x ＝0,与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾,∴cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0,π],∴x ＝5π
6.
〔2〕f (x )＝a ·b ＝(cos x ,sin x )·(3,－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6.
∵x ∈[0,π],∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6,∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6≤32. 当x ＋π6＝π
6,即x ＝0时,f (x )取得最大值3； 当x ＋π6＝π,即x ＝5π
6时,f (x )取得最小值－2 3.
17.(2017年)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2+y 2
b 2=1〔a ＞b ＞0〕的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为1
2，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2． 〔1〕求椭圆E 的标准方程；
〔2〕假设直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．
17.解：〔1〕设椭圆的半焦距为c ．
因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a =12，2a 2
c =8，
解得a=2，c=1，于是b=a 2-c 2
=3，因此椭圆E 的标准方程是x 24+y
2
3=1． 〔2〕由〔1〕知，F 1〔-1，0〕，F 2〔1，0〕.
设P 〔x 0，y 0〕，因为P 为第一象限的点，故x 0＞0，y 0＞0. 当x 0=1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符.
当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0+1，直线PF 2的斜率为y 0
x 0-1.
因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为-x 0+1y 0，直线l 2的斜率为-x 0-1
y 0， 从而直线l 1的方程：y=-x 0+1
y 0〔x+1〕， ① 直线l 2的方程：y=-x 0-1
y 0〔x-1〕． ②
由①②，解得x=-x 0，y=x 02-1y 0，所以Q 〔-x 0，x 02-1
y 0〕．
因为点Q 在椭圆上，由对称性，得x 02-1
y 0=±y 0，即x 02-y 02=1或x 02+y 02=1． 又P 在椭圆E 上，故x 024+y 02
3=1．
由⎩⎪⎨⎪⎧x 02-y 02=1，x 024+y 023=1，解得x 0=477，y 0=377；⎩⎪⎨⎪⎧x 02-y 02
=1，x 024+y 023
=1，无解．
因此点P 的坐标为〔477，37
7〕．
18.(2017年)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107 cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14 cm 和62 cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40 cm ．〔容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计〕
〔1〕将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中局部的长度；
〔2〕将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中局部的长度．
18.解：〔1〕由正棱柱的定义，CC 1⊥平面ABCD ，所以平面A 1ACC 1⊥平面ABCD ，CC 1⊥AC. 记玻璃棒的另一端落在CC 1上点M 处.
因为AC=107，AM=40，所以MC=402-〔107〕2
=30，从而sin∠MAC=34，
记AM 与水面的交点为P 1，过P 1作P 1Q 1⊥AC，Q 1为垂足， 那么P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=P 1Q 1
sin∠MAC =16.
答：玻璃棒l 没入水中局部的长度为16 cm.
(如果将“没入水中局部〞理解为“水面以上局部〞，那么结果为24 cm)
〔2〕如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．
由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O⊥EG． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处． 过G 作GK⊥E 1G 1，K 为垂足，那么GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，
所以KG 1=62-142
=24，从而GG 1=KG 12+GK 2=242+322
=40．
设∠EGG 1=α，∠ENG=β，那么sin α=sin〔π2+∠KGG 1〕=cos∠KGG 1=4
5
.
记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，那么P2Q2⊥平面EFGH，
答：玻璃棒l没入水中局部的长度为20 cm．
(如果将“没入水中局部〞理解为“水面以上局部〞，那么结果为20 cm)
19. (2017年)对于给定的正整数k，假设数列{a n}满足：
a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n〔n＞k〕总成立，那么称数列{a n}是“p〔k〕数列〞．
〔1〕证明：等差数列{a n}是“p〔3〕数列〞；
〔2〕假设数列{a n}既是“p〔2〕数列〞，又是“p〔3〕数列〞，证明：{a n}是等差数列．19.解：〔1〕因为{a n}是等差数列，设其公差为d，那么a n=a1+(n-1)d，
从而，当n≥4时，a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d
=2a1+2(n-1)d=2a n，k=1，2，3，
所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，
因此等差数列{a n}是“p〔3〕数列〞．
〔2〕数列{a n}既是“p〔2〕数列〞，又是“p〔3〕数列〞，因此，
当n≥3时，a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n，①
当n≥4时，a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n．②
由①知，a n-3+a n-2=4a n-(a n+a n+1)，③
a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n)，④
将③④代入②，得a n-1+a n+1=2a n，其中n≥4，
所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′．
在①中，取n=4，那么a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=a3- d′，
在①中，取n=3，那么a 1+a 2+a 4+a 5=4a 3，所以a 1=a 3-2d′， 所以数列{a n }是等差数列．
20. (2017年)函数f(x)=x 3+ax 2+bx+1(a ＞0，b∈R)有极值，且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点．〔极值点是指函数取极值时对应的自变量的值〕 〔1〕求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； 〔2〕证明：b 2＞3a ；
〔3〕假设f(x)，f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于-7
2，求a 的取值围．
因为f′(x)的极值点是f(x)的零点．
当a=3时，f′(x)＞0〔x≠-1〕，故f(x)在R 上是增函数，f(x)没有极值；
列表如下：
故f(x)的极值点是x 1，x 2．从而a ＞3．
因此b 2＞3a.
〔3〕由〔1〕知，f(x)的极值点是x 1，x 2，且x 1+x 2=-23a ，x 12+x 22
=4a 2
-6b
9． 从而f(x 1)+f(x 2)=x 13+ax 12+bx 1+1+x 23+ax 22+bx 2+1
=x 13(3x 12+2ax 1+b)+x 23(3x 22+2ax 2+b)+13a(x 12+ x 22
)+2
3b(x 1+x 2)+2 =4a 3-6ab 27-4ab
9+2=0.
记f(x)，f′(x)所有极值之和为h(a)，
因为f′(x)的极值为b-a 2
3=-19a 2
+3a ，所以h(a)=-19a 2+3
a ，a ＞3． 因为h′(a)=-29a-3
a 2＜0，于是h(a)在〔3，+∞〕上单调递减． 因为h 〔6〕=-7
2，于是h 〔a 〕≥h〔6〕，故a≤6． 因此a 的取值围为〔3，6]．
21. (2017年)
A ．[选修4-1：几何证明选讲]
如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：〔1〕∠PAC=∠CAB； 〔2〕AC 2=AP·AB．
解：〔1〕因为PC 切半圆O 于点C ，所以∠PCA=∠CBA， 因为AB 为半圆O 的直径，所以∠ACB=90°. 因为AP⊥PC，所以∠APC=90°，所以∠APC=∠CBA.
〔2〕由〔1〕知，△APC∽△ACB，故AP AC =AC
AB ，即AC 2=AP·AB．
B ．[选修4-2：矩阵与变换] 矩阵A=
[0 11 0]，B=[1 0 0 2].
〔1〕求AB ；
〔2〕假设曲线C 1：x 28+y
2
2=1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程． 解：〔1〕因为A=
[0 11 0]，B=[1 00 2]，
所以AB=
[0 11 0] [1 00 2] = [0 12 0].
〔2〕设Q 〔x 0，y 0〕为曲线C 1上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P(x ，y)，
因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2+y 2=8．
C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]
(2017年)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参考方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，
y ＝t 2
(t 为参数),曲线C
的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2
，
y ＝22s (s 为参数).设P 为曲线
C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小
值.
【解析】直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上,设P (2s 2
,22s),
所以点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2
－42s ＋8|12＋(－2)2
＝2(s －2)2
＋45. 当s ＝2时,d min ＝45
5
.
所以当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离的最小值为45
5.
D ．［选修4-5：不等式选讲］
a ,
b ,
c ,
d 为实数,且a 2＋b 2＝4,c 2＋d 2＝16.求证：ac ＋bd ≤8.
【证明】由柯西不等式得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2).
因为a2＋b2＝4,c2＋d2＝16,
所以(ac＋bd)2≤64,
所以ac＋bd≤8.
22. (2017年)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=3，∠BAD=120°．
〔1〕求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
〔2〕求二面角B-A1D-A的正弦值．
22.解：在平面ABCD，过点A作AE⊥AD，交BC于点E．
因为AA1 平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD．
如图，以{→
AE ，→
AD ，→
AA1 }为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz．
因为AB=AD=2，AA1=3，∠BAD=120°．
那么A〔0，0，0〕，B〔3，-1，0〕，D〔0，2，0〕，E〔3，0，0〕，A1〔0，0，3〕，C1〔3，1，3〕.
〔1〕→
A1B =〔3，-1，-3〕，→
AC1=〔3，1，3〕，
那么cos<→
A1B ，→
AC1>=
→
A1B ·
→
AC1
|→
A1B ||
→
AC1|
=
〔3，-1，-3〕·〔3，1，3〕
7=-
1
7.
设m =〔x ，y ，z 〕为平面BA 1D 的一个法向量，
23. (2017年)一个口袋中有m 个白球，n 个黑球〔m ，n∈N *，n≥2〕，这些球除颜色外全部一样．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如下图的编号为1，2，3，…，m+n 的抽屉，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉〔k=1，2，3，…，m+n 〕．
〔1〕试求编号为2的抽屉放的是黑球的概率P ；
〔2〕随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X 的数学期望，证明：E(X)＜n
〔m+n 〕〔n-1〕．
〔2〕随机变量X 的概率分布为。