2014年全国高考理科数学试题及答案-安徽卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：
如果事件A 与B 互斥，那么
()()()P A B P A P B +=+
如果事件A 与B 相互独立，那么
()()()P AB P A P B =
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

（1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若1z i =+，则
z
i z i
+⋅= （A ）-2 （B ）-2i （C ）2 （D ）2i
（2）“x ＜0”是ln(1)0x +<的 （A ）充分不必要条件
（B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是
（A ）34 （B ）55 （C ）78
（D ）89
(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3
,
1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则
直线l 被圆C 截得的弦长为
（A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）22
（5）x , y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．
，则实数a 的值为 （A ）
21 或-1 （B ）2或2
1 （C ）2或1 （D ）2或-1
（6）设函数f(x)（x ∈R ）满足()()sin f x f x x π+=+，当0≤x ≤π时，()0f x =，则)6
23(
π
f = （A ）
21 （B ）2
3 （C ）0 （D ）2
1
-
（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为
（A ）321+ （B ）318+ （C ）21
（D ）18
（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有
（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对
（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为
（A ）5或8 （B ）-1或
5
（C ）-1或 -4 （D ）-4或8
（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足=2( a + b )、曲线C={ P |OP =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤| PQ | ≤ R , r < R },
若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则
（A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R （C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R
2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数 学（理科） 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
考生注意事项：
请用0、5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在答题卡的相应位置。

（11）若将函数)4
2sin()(π
+
=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所的图像关于y 轴对称，则ϕ的最
小正值是 、
（12）数列{}n a 是等差数列，若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列，则q= 、
（13）设ａ≠０，ｎ是大于１的自然数，n
a x ⎪⎭
⎫
⎝⎛+1的展开式为
.2210n n x a x a x a a +++若点A i (i ，a i )(i=0,1,2)的位置如
图所示，则a= ．
（14）若F 1，F 2分别是椭圆E ：122
2=+b
y x （0<b<1）的左、右
焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点、若
B F AF 113=，x AF ⊥2轴，则椭圆E 的方程为 、
（15）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2
个a 和3个b 排列而成、记S=x 1`y 1+x 2`y 2+x 3`y 3+x 4`y 4+x 5`y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值、则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）、 ①S 有5个不同的值 ②若a ⊥b ，则S min 与a 无关 ③若a ∥b ，则S min 与b 无关 ④若a b 4>，则Smin>0
⑤若a b 2=，Smin=2
8a ，则a 与b 的夹角为
4
π
三、解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、解答写在答题卡上的指定区域内、 （16）（本小题满分12分）
设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B 、 （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
4sin πA 的值、 （17）（本小题满分 12 分）
甲乙恋人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未初相连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛。

假设每局甲获胜的概率为 32，乙获胜的概率为3
1
，各局比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）。

（18）（本小题满分 12 分）
设函数⎰）（x =1+（1+ a ）X-
x 2-
x
3
，其中 a > 0 、
（Ⅰ）讨论 ⎰
）（x 在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x ∈[0,1] 时，求⎰
）（x 取得最大值和最小值时的x 的值。

（19）（本小题满分 13 分）
如图，已知两条抛物线2111:2(0)E y p x p =>和
2222:2(0)E y p x p =>，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与
12,E E 分别交于12,A A 两点，2l 与12,E E 分别交于12,B B 两点。

（Ⅰ）证明：1122//A B A B
（Ⅱ）过O 作直线l （异于1l ，2l ）与12,E E 分别交于12,C C 两点。

记111A B C ∆与222A B C ∆的面积分别为12,S S 求1
2
S S 的值。

（20）（本小题满分 13 分）
如果，四棱柱1111ABCD A BC D -中，1A A ⊥底面ABCD 。

四边形ABCD 为梯形，AD // BC ，且AD = 2BC 、 过1,,A C D 三点的平面记α，1BB 与α的交点为Q 、
（Ⅰ）证明：Q 为1BB 的中点；
（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之
比；
（Ⅲ）若14,2AA CD ==，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的
大小。

（21）（本小题满分 13 分）
设实数0c >，整数*1,p n N >∈
（Ⅰ）证明：当1x >-且0x ≠时，11p
x px +>+；
（Ⅱ）数列{}n a 满足1
1p
a c >，111p n n n p c
a a a p p
-+-=+，证明：p n n c a 1
1a >>+
参考答案
一、选择题：
1、C
2、B
3、B
4、D
5、D
6、A
7、A
8、C
9、D
10、A
二、填空题：
11、
38
π 12、 1 13、 3
14、 2
2
312
x y +
= 15、 ②④
三、解答题：
16、（本小题满分12分） 解：
（Ⅰ）因为2A B =，所以sin sin 22sin cos A B B B ==
由正、余弦定理得222
22a c b a b ac
+-=⋅
因为3,1b c ==，所以212,a a ==（Ⅱ）由余弦定理得22291121
cos 263
b c a A bc +-+-=
==-
由于0A π<<，所以sin A ===
故1sin()sin cos
cos sin
()4
4
4
3A A A π
π
π
+
=+=
-=
17、（本小题满分12分）
解：用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”， k B 表示“第k 局
乙获胜”，则
21
(),(),1,2,3,4,533
k k P A P B k ===
（Ⅰ）121231234()()()()P A P A A P B A A P A B A A =++
121231234()()()()()()()()()P A P A P B P A P A P A P B P A P A =++
22221221256()()()33333381
=+⨯+⨯⨯= （Ⅱ）χ的可能取值为2，3，4，5
121212125
(2)()()()()()()9
P P A A P B B P A P A P B P B χ==+=+=
123123(3)()()P P B A A P A B B χ==+
1231232()()()()()()9
P B P A P A P A P B P B =+=
12341234(4)()()P P A B A A P B A B B χ==+
1234123410()()()()()()()()81
P A P B P A P A P B P A P B P B =+=
8(5)1(2)(3)(4)81
P P P P χχχχ==-=-=-==
故χ的分布列为
234599818181
E χ=⨯+⨯+⨯+⨯=
18、（本小题满分12分） 解：
（Ⅰ）()f x 的定义域为2
(,),()123f x a x x '-∞+∞=+--
令()0f x '=，得1212x x x x =
=<
所以12()3()()f x x x x x '=---
当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '> 故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增。

（Ⅱ）因为0a >，所以120,0x x <>
① 当4a ≥时，21x ≥
由（Ⅰ）知，()f x 在[0，1]上单调递增。

所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值 ② 当04a <<时，21x <
由（Ⅰ）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减 所以()f x
在2x x ==
处取得最大值
又(0)1,(1)f f a ==，所以
当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；
当1a =时，()f x 在0x =处和1x =处同时取得最小值； 当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值。

19、（本小题满分13分）
（Ⅰ）证：设直线12,l l 的方程分别为1212,(,0)y k x y k x k k ==≠ ，则
由121,2,y k x y p x =⎧⎨=⎩ 得 11121122(,)p p
A k k
由122,2,y k x y p x =⎧⎨=⎩ 得 22
2211
22(,)p p A k k
同理可得1122
12222222
2222(
,),(,)p p p p B B k k k k 所以1111111222221212121
22221111
(
,)2(,)p p p p A B p k k k k k k k k =--=--， 222222222222121212122221111(
,)2(,)p p p p A B p k k k k k k k k =--=--， 故1
11222
p A B A B p =
，所以1122//A B A B （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1122//A B A B ，同理可得1122//B C B C ，1122//C A C A ，
所以111
222A B C A B C ∆∆
因此2
111222||||S A B S A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭
又由（Ⅰ）中的1
11222p A B A B p =
知1112
22||||A B p p A B = 故2
11222
S p S p = 20、（本小题满分13分）
（Ⅰ）证：因为11//,//,,BQ AA BC AD BC BQ B AD AA A ⋂=⋂=，
所以平面//QBC 平面1A AD
从而平面1ACD 与这两个平面的交线相互平行，即1//QC A D 故QBC ∆与1A AD ∆的对应边相互平行，于是1QBC A AD ∆∆
所以
111
2
BQ BQ BC BB AA AD ===，即Q 为1BB 的中点。

（Ⅱ）解：如第（20）题图1，连接,QA QD ，设1A A h =，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V 上和V 下，BC a =，则2AD a =
1111
2323Q A AD V a h d ahd -=⋅⋅⋅⋅=
1211
()3224
Q ABCD a a V d h ahd -+=⋅⋅⋅=
所以17
12
Q A AD Q ABCD V V V ahd --=+=下 又11113
2
A B C D ABCD V ahd -=
所以1111A B C D ABCD V V V -=-下上
37
212ahd ahd =
- 11
12
ahd = 故
11
7
V V =上下
（Ⅲ）解法一：如第（20）题图1，在ADC ∆中，作AE DC ⊥，垂足为E ，连接1A E
又1DE AA ⊥，且1AA AE A ⋂= 所以DE ⊥平面1AEA ，于是1DE A E ⊥
所以1AEA ∠为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角 因为//,2BC AD AD BC =，所以2ADC BCA S S ∆∆=
又因为梯形ABCD 的面积为6，2DC =，所以4,4ADC S AE ∆== 于是111tan 1,4
AA AEA AEA AE π
∠=
=∠= 故平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角的大小为
4
π
解法二：如第（20）题图2，以D 为原点，1,DA DD 分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系，
设CDA θ∠=
因为22sin 62ABCD a a S θ+=
⋅=，所以2
sin a θ
= 从而14
(2cos ,2sin ,0),(,0,4)sin C A θθθ
设平面1A DC 的法向量(,,1)n x y =
由1440,sin 2cos 2sin 0,DA n x DC n x y θ
θθ⎧
⋅=
+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩
得sin ,cos x y θθ=-=， 所以(sin ,cos ,1)n θθ--
又因为平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =，
所以cos ,||||n m n m n m ⋅<>=
=
故平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角的大小为
4
π
21、（本小题满分13分）
（Ⅰ）证：用数学归纳法证明
（1）当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+，原不等式成立。

（2）假设*(2,)p k k k N =≥∈时，不等式(1)1k x kx +>+成立
当1p k =+时，1(1)(1)(1)(1)(1)k k x x x x kx ++=++>++
21(1)1(1)k x kx k x =+++>++
所以1p k =+时，原不等式成立。

综合（1）（2）可得当1x >-且0x ≠时，对一切整数1p >，不等式(1)1p x px +>+均成立。

（Ⅱ）证法一：先用数学归纳法证明1
p
n a c >
（1）当1n =时由假设11p a c >知1p
n a c >成立。

（2）假设*
(1,)n k k k N =≥∈时，不等式1p
k a c >成立
由111p n n n p c
a a a p p
-+-=
+易知*0,n a n N >∈ 当1n k =+时
1111(1)p k k p k k
a p c c
a a p p p a -+-=+=+- 由10p
k a c >>得111(1)0p k
c
p p a -<-
<-< 由（Ⅰ）中的结论得111(
)[1(1)]1(1)p p k p p p k k k k
a c c c
p a p a p a a +=+->+⋅-= 因此1p
k a c +>，即1
1p
k a c +>
所以，当1n k =+时，不等式1p
n a c >也成立。

综合（1）（2）可得，对一切正整数n ，不等式1
p
n a c >均成立。

再由
111(1)n p n n a c
a p a +=+-得11n n
a a +<，即1n n a a +<
综上所述，1*1,p
n n a a c n N +>>∈
证法二：设1
11(),p p p c
f x x x x c p p
--=+≥，则p x c ≥，并且
1
11()(1)(1)0,p p p p c p c
f x p x x c p p p x
---'=+-=->>
由此可见，()f x 在1[,)p
c +∞上单调递增，因而当1p
x c >时11()()p p
f x f c c == （1）当1n =时由1
10p a c >>，即1p a c >可知
1211111
11[1(1)]p p p c c
a a a a a p p p a --=
+=+-< 并且1
21()p
a f a c =>，从而112p
a a c >> 故当1n =时，不等式11p
n n a a c +>>成立。

（2）假设*
(1,)n k k k N =≥∈时，不等式11p
k k a a c +>>成立，则
当1n k =+时11()()()p
k k f a f a f c +>>，即有112p
k k a a c ++>> 所以当1n k =+时原不等式也成立。

综合（1）（2）可得，对一切正整数n 不等式1
1p
n n a a c +>>均成立。