_拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
Lt tesd tt1tdest
0
s0
1 te s t 1 e sd tt 1e s t 1
s 0 s0
s2 0 s2
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(4) 指数函数
指数函数表达式：
式中：a是常数。
f (t)eat
其拉普拉斯变换为：
L e a t e ae tsd tt e (s a )td t1
2.2.4 拉普拉斯变换的根本性质
(3) 微分定理
推广到n阶导数的拉普拉斯变换：
L dn dftn (t) snF(s)sn 1f(0)sn2f(0) s(fn2-()0)f(n1-()0)
假如：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即
f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( n 2 ) ( 0 ) f ( n 1 ) ( 0 ) 0
解：
G(s)＝s2+1＝( +j)2 + 1 ＝ 2 + j(2 ) - 2 + 1
＝( 2 - 2 + 1) + j(2 )
复变函数的实部 u221
复变函数的虚部 v2
拉普拉斯变换
2.2.2 拉普拉斯变换的定义 拉氏变换是控制工程中的一个根本数学方法，其
优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变
0f1(t)f2()df1(t)f2(t)
称为函数 f1(t)与f2(t) 的卷积
拉普拉斯变换
2.2.5 拉普拉斯反变换 (1) 拉普拉斯反变换的定义
将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之 为拉普拉斯反变换。其公式：
f(t) 1 ajF(s)eadt s 2πjaj
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。
左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。
如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。
z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。
作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。
拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。
FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。
拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。
但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，但关于其收敛域的分析（零极点图）依然常用。
Fourier 变换则随着FFT算法（快速傅立叶变换）的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。
拉普拉斯变换公式大全
拉普拉斯变换公式大全1.原始函数的拉普拉斯变换F(s)=L{f(t)}2.常数的拉普拉斯变换对于任意实常数A，其拉普拉斯变换为：L{A}=A/s3.单位冲激函数的拉普拉斯变换单位冲激函数δ(t)的拉普拉斯变换为：L{δ(t)}=14.时延定理时延定理指出，当原始函数向右延时T秒时，其拉普拉斯变换会乘以e^(-sT)。
具体公式如下：L{f(t-T)}=e^(-sT)F(s)5.缩放定理缩放定理指出，当原始函数的变量变为原来的α倍时，其拉普拉斯变换会变为原来的1/α倍。
具体公式如下：L{f(αt)}=1/αF(s/α)6.积分定理积分定理指出，对于原始函数的积分，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s除以s平方。
具体公式如下：L{∫f(t)dt} = 1/sF(s)7.乘积定理乘积定理指出，对于原始函数的乘积，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s替换为s减去相应函数的变换。
具体公式如下：L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)8.指数函数的拉普拉斯变换指数函数e^(at)的拉普拉斯变换为：L{e^(at)} = 1/(s-a)9.幂函数的拉普拉斯变换幂函数t^n的拉普拉斯变换为：L{t^n}=n!/(s^(n+1))10.正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数sin(ωt)的拉普拉斯变换可通过欧拉公式和拉普拉斯变换公式进行变换。
具体公式如下：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)以上是拉普拉斯变换的一些重要公式。
通过应用这些公式，我们可以将原始函数在时域上的操作转换为变换域上的操作，从而解决各种线性常微分方程、控制系统和信号处理问题。
拉普拉斯变换
解： Q lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
f 0 lim sF (s) s lim s s s a lim 1 s 1 a s 1
f (0)
❖ 6、终值定理
若
f t F s
则
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
2.3 拉氏反变换
一、定义：
将象函数 F(s) 变换到与其对应的原函数 f (t)
1 2
Rt
2
t0
0
t
上式中R为常数, 表示抛物线函数信号的幅值。
R(s)
Lr(t)
R S3
4、其他常见函数
L[sin t]
s2
2
L[cos t ]
s2
s
2
L[eat ] 1 sa
L[ (t)] 1
2.2 拉氏变换的运算定理
❖ 1、线形定理(叠加+比例)
若
f1 t F1 s f2 t F2 s
0 1
t 0 t 0
F (s) L[ (t)] 1
s
1 1 s
阶跃信号
0 t 0
r(t)
r(t) R t 0
R 0
t
上式中R为常数, 表示阶跃函数信号的幅值。
阶跃函数的拉氏变换为
R(s) L[r(t)] L[R] R s
2、单位斜坡函数
0 t 0 f (t) t t 0
F (s)
s2 3s 5 A1 (s 2)(s 3) 1.5
s 1
1.5 3 2.5 s 1 s 2 s 3
A2
s2 3s 5 (s 1)(s 3)
3
s 2
故原函数为
拉普拉斯变换
d f (t ) s n F (s) s n1 f (0 ) f ( n1) (0 ) L[ ] n dt
n
返 回
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若初始条件为零
3.积分定理 若
f (t ) F ( s)
则
若初始条件为零，则
1 为积分算子 s
4.延迟性质 若： L[ f (t )] F (s)
返 回
pn t
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待定常数的确定： 方法1
K i F ( s)( s pi ) s pi i 1 2、 、 n 、 3
K2 Kn ( s p1 ) F (s) K1 ( s p1 ) s p s pn 2
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
部分分式 展开法
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N ( s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D( s) b0 s b1s Fra bibliotek bn 3
d K 21 [( s 1) 2 F ( s)] s 1 d [ s 4 ] s 1 4 ds ds s
f (t ) 4 4e 3te
t
t
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下 页
小结 由F(s)求f(t) 的步骤： n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 N 0 (s) F (s) A D(s)
0
t
6.衰减定理 若 f (t ) F ( s) 则
返 回 上 页 下 页
F1 ( s) F2 ( s)
7.初值定理
若
(完整版)拉普拉斯变换
t
Re(s) 0
4)卷积特性（convolution）
若 则有
f1 (t) L F1 (s) f 2 (t) L F2 (s)
Re( s) s 1 Re( s) s 2
f1 (t) f 2 (t) L F1 (s)F2 (s) Re( s) max( s 1,s 2 )
L[ f1(t) f2 (t)] 0
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
0 T 2T 3T
t
定义：f1
(t)
f 0
(t
)
0t T 其它
单边周期信号
f (t)
k 0
f1(t - kT)u(t - kT)
L[ f (t)]
k 0
e-skT F1(s)
F1(s) 1- e-sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1
01
2345 周期方波信号
L[u(t) - u(t -1)] 1- e-s s
F(s) 1- e-s s
1 1- e-2s
1 s(1 e-s )
若
f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (at) L 1 F ( s ) aa
a 0, Re( s) as 0
L[ f (t)]
0-
f (at)e-st dt
1 a 0-
f
-st
(t)e a dt
1
F(
拉普拉斯变换(推荐完整)
f
-st
(t)e a dt
1
F(
s
)
aa
收敛域：
Re(s/a) s0 Re(s) as0
3)时移特性（Time Shifting）
若 f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (t - t0 )u(t - t0 ) L e-st0 F (s) t0 0, Re(s) s 0
例：求信号f
(t)
sin 0
t
0 t 其它
的Laplace变换。
f (t) sin(t)u(t) sin(t - )u(t - )
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
拉普拉斯变换 (the Laplace Transform)
1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
傅里叶分析具有清晰的物理意义，但某些信号的傅里 叶变换不存在 (t<0,无意义的函数)。引入拉普拉斯变换， 从而也可以对这些信号进行分析。拉普拉斯变换实质 是将信号f(t)乘以衰减因子e-s t的傅里叶分析。
L[cos(w0t)u(t)]
s
s2
w
2 0
Re(s) 0
L[sin(w0t)u(t)]
w0
s2
w
2 0
Re(s) 0
单边拉普拉斯的基本性质 (properties of Laplace Transform)
1 ) 线性特性(linearity)
拉普拉斯变换的定义
F(S)
a0S m
a1S m1 (S S1 )n
am
F(S)
k11 S S1
k12 (S S1 )2
k1n1 (S S1 )n1
k1n (S S1 )n
k1n [(S S1 )n F(S)] SS1
k1n1
d [(S ds
S1 )n F (S)]
S S1
k1n 2
1 2!
s si
D( S )
D(Si )
例:
F(S)
4S 5 S2 5S
6
K1 K2 S2 S3
k1
4S 2S
5 5
S 2
3
k2
4S 2S
5 5
S 3
7
例13-6
求F ( s)
s3
2s 7s2
1
10s
的
原
函
数f
(t
)。
解：令D(s)=0，则 s1 = 0，s2=－2，s3=－5
D(s) 3s2 14s 10
0
f (t )(t )estdt
L[tf (t)]
推广：L[t n
f
(t )]
(1)n
d
nF(S) dS n
L[tf (t)] dF(S) dS
例1：L[t (t)] d ( 1 )
dS S
1 S2
例2：L[t n (t )] (1)n
d (n) dS ( n)
(1) S
n! S n1
小结：
积分
(t) (t)
微分
t (t) t n (t)
1
sint (t)
1 S
1 S2
n! S n1
拉普拉斯变换
1
s s 1
1 s
s
1 1
所以 f t 1 et
例2
已知
F
s
1 es s2 1
求 f (t)
解
ℒ1
1 s2
1
sin
t
ℒ 1est0 F(s) f (t t0)u(t t0), t0 1
所以 f t sint 1ut 1
1 3
s
3
22
32
所以 f t 2e2 t cos 3t 1 e2 t sin 3t
3
2 利用留数定理求拉氏逆变换
定理：设F(s) 除在半平面 Re s c 内有限
个孤立奇点 s1, s2 , sn 外是解析的，且
当s 时，F(s) 0 ，则有
1
2) f (t ) k(1 eat )
上述函数的定义域为[0， ∞]，求其象函数。
解 ： 1)L[sin(t )] L[ 1 (e jt e jt )]
2j 1[ 1 1 ]
2 j S j S j
S2 2
2)L[k(1 eat )] L[k] L[keat ] k k ka s s a s(s a)
s
解
F s s3 s2 s 5 s2 s 1 5
s
s
所以 f t t t t 5
例3 已知
F
s
s
2s 5
22
9
求 f (t)
解
F
s
s
拉普拉斯变换
定义
定义
一个定义在区间的函数,它的拉普拉斯变换式定义为称为的象函数，称为的原函数。 通常用表示对方括号里的时域函数作拉氏变换，记作
定义式
ห้องสมุดไป่ตู้
定义式
式中，是复变量的函数，是把一个时间域的函数变换到复频域内的复变函数。 为收敛因子。 为一个复数形式的频率，简称复频率，其中实部恒为正，虚部可为正、负、零。
拉普拉斯变换
工程数学中常用的一种积分变换
01 定义
03 存在条件 05 实例
目录
02 定义式 04 公式概念 06 基本性质
07 发展历史
09 应用定理
目录
08 联系
基本信息
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。 拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参 数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着 广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着 重要作用。
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上， 拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化 上都有广泛的应用。
谢谢观看
存在条件
存在条件
表达式中，右边的积分为有限值。
公式概念
公式概念
拉普拉斯变换应用过程中，需要从实际出发，首先以研究对象为基础，将其规划为一个时域数学模型，然后 再借助于拉普拉斯变换数学工具转变为复域数学模型，最后如果想要结果表现的更直观，可以使用图形来表示， 而图形的表示方法是以传递函数(复域数学模型)为基础，所以拉氏变换是古典控制理论中的数学基础。利用拉氏 变换变换求解数学模型时，可以当作求解一个线性方程，换而言之拉氏变换不仅可用来将简单的时域信号转换为 复数域信号，还可以用来求解控制系统微分方程。拉氏变换是将时域信号变为复数域信号，反之，拉氏反变换是 将复数域信号变为时域信号。
第6章 拉普拉斯变换
第6章
拉普拉斯变换
【例2】若输入量 r t 为一单位阶跃函数，求下列二阶微分方程的输出量 c t 。
C ( s) 1 1 A B s Ts 1 s Ts 1
由上式有：
1 A(Ts 1) Bs ( AT B) s A s(Ts 1) s(Ts 1) s (Ts 1)
AT B 0 及 A 1
第6章
拉普拉斯变换
3) 用待定系数法可求得A=1，B=-T，代入上式有：
L ［f n(t)］=snF(s)
(6- 3)
在初始条件为零的前提下，原函数的n阶导数 的拉氏式等于其象函数乘以sn。
第6章
拉普拉斯变换
证
d (t )] L f (t ) L[ f dt st d e f (t )dt 0 dt e st df (t )
2 2
n 2 1 1 1 C ( s) 2 2 2 T s 2 Ts 1 s s 2n s n 2 s
1 n T
（6-11）
第6章
拉普拉斯变换
2 2
s1,2 n n 2 1
1、当ξ=0(无阻尼)(零阻尼)时： 特征方程的根s1,2=±jωn，即为一对纯虚根。 当ξ=0时，式(6-11)为
(重根)。
当ξ=1时，由式(6-11)有
2 1 C ( s) 2 s 2n s n 2 s n 2 s ( s n ) 2
当ξ=1时，临界 阻尼时的阶跃响 应为单调上升曲 线。
第十一章拉普拉斯变换
F (s) K1 K2 Kn
s p1 s p2
s pn
f (t) K1e p1t K2e p2t Kne pnt
洛比达法则
lim lim 或 : K1 (s s1)F (s) s p1
s p1
(s p1)N (s) D(s)
s p1
(s p1)N(s) N (s) D(s)
sa
0
1 sa
(2)单位阶跃函数
L[ (t)] 1
s
(3)冲激函数
L[ (t)]
0 (t )estdt
0
(t
)e
s
0
dt
0
=1
§11-2 拉普拉斯变换的基本性质
一. 线性
若: L[ f1(t)] F1(s) , L[ f2(t)] F2(s), 则: L[af1(t) bf2 (t)] aF1(s) bF2 (s)
拉普拉斯变换定义：
函数 f(t), t∈[0，) ，其拉普拉斯变换为
F(s) f (t)estdt 0
t ━实变量(时域),s=+j ━复变量(复频域)
f(t) ━原函数, F(s) ━ 象函数
拉普拉斯反变换的定义： f (t) 1
j
F
(
s)e
st
ds
2j j
拉氏变换存在条件: f (t) Mect M, c为有限常数
二、KCL、KVL 1. KCL 时 域
方程 2. KVL
方程
复频域
L
L
频域
三、运算阻抗与导纳 1. 元件阻抗
运算阻抗
交流阻抗
2. 等效阻抗 可用等效变换方法求解 I(s)
U(s)
Zeq
拉普拉斯变换
了拉普拉斯变换 。
2、拉普拉氏变换 式中 S= δ+jω
G
(t
)
(t
)e
t
e
jt
dt
f (t)e( j)t dt 0
f (t)est dt 0
——称为复频率——算子；
f(t)= ψ(t)·ε(t) ——实际上还是ψ(t)。
§14-1拉普拉斯变换的定义
§14-2拉普拉斯变换的性质
§14-3拉普拉斯反变换的部分分式展开法
§14-4运算电路
§14-5应用拉普拉斯变换法分析线性电路
§14-1拉普拉斯变换的定义 一、 拉普拉斯变换的由来
（一） 傅立叶级数
1、付氏三角级数
如右图fT(t)是一个周期函数， 非正弦，若加在激励端分析其 响应是很困难的，可以用第十 三章将非正弦信号分解为傅立 叶三角级数。将其分解为f1(t) + f2(t) 。f1(t) 和f2(t) 均为正弦信号 可以分别求其响应，而后叠加 得到 fT(t) 的响应。
s2
s
2
三、微分性质： 若某函数的象函数为： L[f(t)] = F(s)，则：
L[ df (t)] dt
s F(s)
f (0 )
例4、求 (t) d (t) 的象函数。
dt
解： L[ (t)] 1
s
例5、已知 ：L[sint]
L[
s2 2
(t
)
]
s
1 s
(0
)
，求 L[cosωt]
第十四章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一个数学工具，它可以将时域里的高阶微分 方程变换为复频域里的代数方程，从而大大简化求解过程。由于 这个变换是唯一的，因而复频域里的解也唯一地对应着原时域里 微分方程的解，通过反变换即可得到微分方程的解。这样就为分 析解决高阶电路提供了一个简便和实用的方法——运算法。因此， 拉普拉斯变换涉及到正变换和反变换两方面。
拉普拉斯变换
1)
3 s
(1
e2
s
)
s
e 2 s2 1
(Re(
s)
0);
2)(1)2 (
s
1
)
(s
2
)3
(Re(
s)
Re( ));
11s 3) 2s 2 s2 4 (Re(s) 0);
4) 1 5 5s 9 (Re(s) 2).
s2
s2
思考题：求下列函数的拉普拉斯逆变换.
s
(
s
2
1)(s
2
4)
(1) sinkt,(t 0); (2) 1 tet et , (t 0);
(3) 2cos 3t sin3t,(t 0); (4) 1 (cos t cos 2t ),(t 0).
3
例2. 计算下式.
ℒ 1
1 s
0
f
(t )e(ss0 )t dt
F(s
s0 ), (Re(s
s0 )
c).
例4. 计算下列各式.
ℒ (1) t neit
推论：
若 函 数F ( s)为 有 理 真 分 式 ， 则 定 理必 成 立.
例1. 计算下式.
ℒ 1 1
s(
s
b)
解：方一：函数有两个孤立奇点s1 0和s2 b,且都为一阶极点，
由定理得：f (t) 1 1 ebt ,(t 0). bb
方二：函数可写成1 (1 1 )， b s sb
拉普拉斯变换
0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例1：求 L[sint] ， L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)
有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数是连续的，(2)
存在常数M>0和σ≥0,使对任何t，有
f (t) Met
σ的下界称为收敛横标，用σ0表示， 则：f (t) Me0t
f (t)e t dt Me0 te t dt M e( 0 ) tdt
0
0
0
M
0
(
0)
即要求： Re p 0
L[cos t]
11
1
p
[
2 p i
]
p i
p2 2
(Re p 0)
例2：求函数f(t)=tsint、 f(t)=tn的拉氏变换
解：
L[sin t]
p2
2
(Re p 0)
由像函数的导数定理
L[t
sin
t
]
d dp
[
p
2
2
]
2p ( p2 2)2
同理可得
L[t cos t]
p2 2 ( p2 2)2
0
fd
(
)ep d
L[ fd (t)]
所以:
L[
fb
(t)]
1
1 e
pT
T 0
fb( )ep d
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种在信号与系统领域中广泛应用的数学工具。
它将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而可以方便地进行信号的分析和处理。
拉普拉斯变换不仅在电子工程、通信工程领域得到广泛应用，还在物理学、控制论、图像处理等领域有重要应用。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义如下：对于给定函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫{0,∞} f(t)e^(-st)dt其中，s是复变量，表示变换域的频率。
f(t)是定义在非负实数轴上的函数。
拉普拉斯变换有一个重要的性质是可逆的，即给定F(s)，可以通过逆变换求得原函数f(t)。
二、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换有一系列的性质，这些性质可以帮助我们简化计算或者分析信号的特性。
下面介绍几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及两个函数f(t)和g(t)，有线性性质成立：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是函数f(t)和g(t)的拉普拉斯变换。
2. 积分性质：对于函数f(t)的积分，有以下性质成立：L{∫{0,t} f(τ)dτ} = 1/(s)F(s)其中，F(s)是函数f(t)的拉普拉斯变换。
3. 正比例性质：如果一个函数f(t)等于另一个函数g(t)乘以常数a，那么它们的拉普拉斯变换也有类似的关系：L{ag(t)} = aG(s)其中，G(s)是函数g(t)的拉普拉斯变换。
三、拉普拉斯变换的应用1. 信号系统分析：拉普拉斯变换广泛应用于信号与系统的分析。
通过将差分方程或微分方程转换成拉普拉斯域，可以简化对系统的分析和建模。
根据拉普拉斯变换的性质，可以求解系统的频域响应、稳定性、传输函数等重要特性。
2. 控制系统设计：在控制论中，拉普拉斯变换是设计和分析控制系统的重要工具。
通过将系统的传递函数转换成拉普拉斯域，可以方便地调整系统的稳定性、响应速度、抗干扰能力等参数，并进行频域设计和系统优化。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统、电路分析等领域。
它可以将时间域中的函数转换为复频域中的函数，为我们分析和处理信号提供了很大的便利。
本文将介绍拉普拉斯变换的定义、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、定义拉普拉斯变换可以将一个实函数 f(t) 转换为复函数 F(s)，其中 t 表示时间，s 表示复频率。
拉普拉斯变换定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt其中，e 是自然常数，s 是复变量。
拉普拉斯变换的积分区间是从 0 到正无穷，表示了信号在整个时间轴上的变化。
二、性质拉普拉斯变换具有一些重要的性质，可以简化我们对信号的分析。
下面介绍几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意的常数 a 和 b，有 L[a·f(t) + b·g(t)] = a·F(s) + b·G(s)。
拉普拉斯变换可以线性叠加。
2. 积分性质：如果一个函数的拉普拉斯变换是 F(s)，那么这个函数的积分的拉普拉斯变换是1/s·F(s)。
该性质对于求解微分方程非常有用。
3. 导数性质：如果一个函数的拉普拉斯变换是 F(s)，那么这个函数的导数的拉普拉斯变换是 s·F(s) - f(0+)。
这个性质也对求解微分方程十分重要。
除了上述性质，拉普拉斯变换还具有平移性质、卷积性质和初值定理等，这些性质使得我们可以快速、方便地进行信号分析和处理。
三、应用举例拉普拉斯变换在实际应用中有着广泛的应用。
下面举例几个常见的应用场景：1. 信号处理：对于一个时域的信号，通过拉普拉斯变换可以将其转换为频域信号，从而方便我们对信号的频域特性进行分析。
例如，在音频处理中，拉普拉斯变换能够帮助我们对音频信号的频谱进行分析，实现去噪、音频增强等功能。
2. 控制系统：拉普拉斯变换可以帮助我们分析和设计控制系统的稳定性和性能。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT§13拉普拉斯变换重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤难点：1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用本章与其它章节的联系：是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。
预习知识：积分变换§13－1拉普拉斯变换的定义1.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
2.拉普拉斯变换的定义一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。
由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为式中c为正的有限常数。
注意：1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即：它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。
2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)。
3）象函数F(s)存在的条件：3.典型函数的拉氏变换1)单位阶跃函数的象函数2)单位冲激函数的象函数3)指数函数的象函数§13－2拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质列于表中。
表13-1拉氏变换的若干性质和定理特性和定理表达式条件和说明线性a、b为常数位移特性时域延迟为一非负实数频域延迟微分若所有初值为零，则有积分初值定理或存在终值定理或所有奇点均在s平面左半部卷积定理为与的卷积应用拉氏变换的性质，同时借助于表中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。
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(b) 当s=-pj时，G(s)→∞，则sj=-pj称为G(s)的 极点 。
分母为零
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2.2.1 复数和复变函数
例：
当s= +j时，求复变函数G(s) =s2+1的实部u和虚部v。
解：
G(s)＝s2+1＝( +j)2 + 1 ＝ 2 + j(2 ) - 2 + 1
借助于系统频率特性分析系统的性 能，拉普拉斯变换是其数学基础。
频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方 法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。
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2.2 拉普拉斯变换
2.2.1 复数和复变函数 复数的概念
复数 s= +j
j 1 称为虚数单位
（有一个实部 和一个虚部， 和 均为实数）
L f1(t) F1(s) , L f2 (t) F2 (s)
则： Lf1(t) f2 (t) F1(s) F2 (s)
证明： Lf1(t) f2 (t)
0
f1
(t
)
f
2
(t
)
e
st
dt
0
f1
(t
)e
st
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2.2.2 拉普拉斯变换的定义
拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变 换存在的条件：
① 当t≥0时，f(t) 分段连续，只有有限个间断点； ② 当t →∞时，f(t) 的增长速度不超过某一指数函数，即
f (t) Meat
式中：M、a为实常数。 在复平面上，对于Res >a的所有复数s (Res表示s的实部)都
1-2
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1
s2+2ns+n2
s
s2+2ns+n2
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
序号 20
21 22 23
拉普拉斯变换简表 (续5)
原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s) = L[f(t)]
1-
1
1-2
e -nt sin(n
1-2 t + )
dt
0
f
2
(t
)e
st
dt
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F1(s) F2 (s)
2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质
(2) 平移定理
若： L f (t) F(s)
则：
L eat f (t) F (s a)
证明：
L eat f (t) f (t)eatestdt 0 f (t)e(sa)tdt 0 F(s a)
式中：u、v 分别为复变函数的实部和虚部。
通常，在线性控制系统中，复变函数G(s)是复数s的单值
函数。即：对应于s的一个给定值，G(s)就有一个唯一确定的
值与之相对应。
当复变函数表示成 G(s) k(s zi )
(s pj)
分子为零
(a) 当s=-zi时，G(s)=0，则si=-zi称为G(s)的 零点 ；
拉普拉斯变换简表 (续4)
原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s) = L[f(t)]
n 1-2
e -nt sinn
1-2 t
n2 s2+2ns+n2
18
1
n 1-2
e -nt sinn
1-2 t
1
1-2
e -nt sin(n
1-2 t- )
19
= arctan
0
20
1 2
0
e e -(s-j)t -(s j)t
dt
1 2
1
s-j
s
1
j
s2s2上海大学 机电工程与自动化学院
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换简表 (待续)
序号
原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s)=L[f(t)]
式
f
(t)
0
cost,
t0 t0
相 加
e-jt cost jsin t
由欧拉公式，余弦函数表达为： cost 1 e jt e-jt
其拉普拉斯变换为：
2
L cost cost estdt 1 ejt e-jt estdt
＝( 2 - 2 + 1) + j(2 )
复变函数的实部 u 2 2 1
复变函数的虚部 v 2
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2.2 拉普拉斯变换
2.2.2 拉普拉斯变换的定义
拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能 将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时 间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。
单位速度函数定义：
f
(t)
0 t,
t0 t0
其拉普拉斯变换为：
L t testdt 1 tdest
0
s0
1 test 1 s 0s
estdt
0
1 s2
est
0
1 s2
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2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
)est
dt
estdt 1 est
0
0
s0
lim 1 est 1 e0 1 t s s s
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2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(2) 单位脉冲函数
单位脉冲函数定义：
(t)
, 0,
设有时间函数 f(t)，当 t < 0 时，f(t)＝0；在 t≥0时定义函
数 f(t) 的拉普拉斯变换为：
F (s) L f (t) f (t)estdt 0
象函数
拉氏变换符号
原函数 复变量
拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t) 变 换到复数域内与之等价的复变函数 F(s) 。
sint
s2+2
10
cost
s
s2+2
11
e -at sint
(s+a)2+2
12
e -at cost
s+a
(s+a)2+2
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2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换简表 (续3)
序号
原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s) = L[f(t)]
(3) 微分定理
推广到n阶导数的拉普拉斯变换：
L
d
nf dt
(t
n
)
s
n
F
(
s)
s
n1
f
(0)
s
n2
f
(0)
sf (n-2) (0) f (n-1) (0)
如果：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即
f (0) f (0) f (0) f (n2) (0) f (n1) (0) 0
(4) 指数函数
指数函数表达式：
式中：a是常数。
f (t) eat
其拉普拉斯变换为：
L eat eatestdt e(sa)tdt 1
0
0
sa
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2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(5) 正弦信号函数
正弦信号函数定义：
两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。
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2.2.1 复数和复变函数
复数的表示法
对于复数 s= +j
复平面：以 为横坐标(实轴)、 为纵坐标(虚轴)所构成
的平面称为复平面或[s]平面。复数 s= +j 可在复平面[s]中用
t 0 t0
且：
(t)dt 1
(t) f (t)dt f (0)
其拉普拉斯变换为：
L (t)
(t )e st dt
est
1
0
t 0
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2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(3) 单位速度函数（单位斜坡函数）
1
1 (单位阶跃函数)
1 s
2
(t) (单位脉冲函数)
1
3
K (常数)
K s
4
t (单位斜坡函数)
1 s2
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2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换简表 (续1)
序号
原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s) = L[f(t)]
5
t n (n=1, 2, …)
则：
dn f
L
dt
(t)
n
sn
F
(s)
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2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质
(4) 积分定理
若： L f (t) F(s)
函数 f(t) 积分的初始值