拉普拉斯变换

一.实验目的

1.掌握连续时间系统的复频域分析的基本方法。

2.掌握MATLAB中laplace、ilaplace、ezplot等函数的调用方法。

3.掌握使用MATLAB函数绘制系统函数零极点图的方法，并判断系统的稳定性。

二．实验原理

从傅里叶变换到拉普拉斯变换

有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子（为实常数）乘信号，适当取的值，使乘积信号当t→时信号幅度趋向于0，从而使的傅里叶变换存在。

相应的傅里叶逆变换为

令

单边拉普拉斯变换

常见函数的拉普拉斯变换

（1）

（2）

（3）指数函数

（4）周期信号

令

特例为

拉普拉斯变换性质

1.线性性质

若，则

。

2.尺度变换

。

证明

令

3.时移特性

。

4.复频移特性

。

5.时域的微分特性

证明

6.时域积分特性

证明

(1)。

(2)

7.卷积定理

。

8.S域微分和积分

9.初值定理和终值定理

（1）初值定理：设函数不含及其各阶导数（即假分式化为真分式），则

（2）终值定理：若，,则

微分方程的变换解

描述n阶系统的微分方程的一般形式为，系统的初始状态为,

用拉普拉斯变换微分特性

。

[]

系统函数

系统函数定义为，它只与系统的结构，元件参数有关，而与激励，初始状态无关

1. (t+2)u(t)的拉普拉斯变换

2.(1) H(s)=(s+2)/(s^3+s^2+2s+6)的零极点图

2.(2) H(s)=(2s^2+1)/(3s^3+5s^2+4s+6)的零极点图

2.(3) H(s)=(s+2)/(s^4+2s^2+3s+1)的零极点图

3. 输入为cos(2t+pi/4)u(t)时的稳态响应

4.使用MATLAB完成下列设计

已知系统传输函数为H(s)=s/s^2+3s+2,使用拉普拉斯变换求解：

(1)该系统的冲击响应。clear all;

close all;

syms s t;

Hs=sym('s/(s^2+3*s+2)'); f1=dirac(t);

H1=laplace(f1,t,s);

H11=Hs*H1;

f11=ilaplace(H11,s,t); ezplot(f11);

grid on;

(2)该系统的阶跃响应。clear all;

close all;

Hs=sym('s/(s^2+3*s+2)');

f1=heaviside(t);

H1=laplace(f1,t,s);

H11=Hs*H1;

f11=ilaplace(H11,s,t);

ezplot(f11);

grid on;

(3)对于输入为cos(20t)u(t)的零状态响应。clear all;

close all;

syms s t;

a=[1,0];

sys=tf(a,b);

Hs=sym('s/(s^2+3*s+2)');

y=laplace(cos(20*t));

y=y*Hs;

y=ilaplace(y);

y=vpa(y,2);

ezplot(y,[0,2]);

text(0.2,1.2,'Input V oltage'); hold on;

ezplot('cos(20*t)',[0,2]);

text(0.2,-0.07,'Output V oltage'); hold on;

grid on;

axis([0 1 -1.5 1.5]);

(4)对于输入为exp(-t)u(t)的零状态响应。clear all;

close all;

syms s t;

a=[1,0];

b=[1,3,2];

sys=tf(a,b);

Hs=sym('s/(s^2+3*s+2)');

y=laplace(exp(-t));

y=y*Hs;

y=ilaplace(y);

y=vpa(y,2);

ezplot(y,[0,10]);

text(1,0.4,'Input V oltage');

hold on;

ezplot('exp(-t)',[0,10]);

text(1,0.1,'Output V oltage');

hold on;

grid on;

axis([0 10 -0.1 0.5]);

5.确定系统的零极点，并画出零极点分布图，确定其阶跃响应

已知系统的传输函数为H(s)=(s^4+s^3-3s^2+s+4)/(5s^8+2s^7-s^6-3s^5+5s^4+2s^3-4s^2+2s-1),试确定其零极点，画出零极点分布图，确定其阶跃响应。

clear all;

close all;

a=[1,1,-3,1,4];

b=[5,2,-1,-3,5,2,-4,2,-1]; subplot(1,2,1);

zplane(a,b);

legend('零点','极点');

t=0:0.1:5;

sys=tf(a,b);

y=step(sys,t);

subplot(1,2,2);

plot(t,y);

title('阶跃响应'); xlabel('时间(t)'); ylabel('y(t)');