拉氏变换详解
信号与系统第6章拉氏变换
可见，冲激函数的拉氏变换为常数
6.4 拉氏变换的基本性质
1、线性
函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和
L[ K 1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K 1 L[ f1 (t )] K 2 L[ f 2 (t )]
即
L[ K 1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K 1 F1 ( s ) K 2 F2 ( s )
A ( s ) a m s m a m 1 s m 1 a1 s a 0 F (s) B(s) bn s n bn 1 s n 1 b1 s b0
系数 a i bi 都是实数， m n 为正整数。 为便于分解，将上式写成：
A ( s ) a m ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) F (s) B ( s ) bn ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
2、微分
3、积分
若 L[ f (t )] F (s) ，则
L[
t
F (s) f 1 (0) f ( )d ] s s
其中：
f
( 1)
(0) f ( )d ，为常数
0
4、延时（时域平移）
若： L[ f (t )] F (s) ，则
L[ f (t t0 )u(t t0 )] e st0 F (s)
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
拉氏变换详细解读
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
电路元件 拉氏变换
电路元件拉氏变换拉氏变换是电路分析中常用的数学工具，用于描述电路元件在时域和频域之间的转换关系。
本文将介绍拉氏变换的基本概念、性质和应用，以及在电路分析中的具体应用案例。
一、拉氏变换的基本概念和性质1. 拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的数学工具。
对于一个时域函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，表示频域的频率。
2. 拉氏变换的性质拉氏变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉氏变换。
拉氏变换还具有平移性质、尺度性质、微分性质、积分性质等。
这些性质使得我们可以通过拉氏变换来简化复杂的电路分析问题。
二、拉氏变换在电路分析中的应用1. 线性电路分析拉氏变换在线性电路的分析中起到了至关重要的作用。
通过将电路中的电压和电流信号进行拉氏变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化电路分析的过程。
例如，对于一个RC电路，可以通过拉氏变换将微分方程转化为代数方程，进而求解电路的响应。
2. 信号处理拉氏变换在信号处理领域也有广泛的应用。
通过将信号进行拉氏变换，可以将时域的信号转化为频域的信号，从而分析信号的频谱特性。
例如，在音频处理中，可以通过拉氏变换将声音信号转化为频域信号，进而进行音频滤波、降噪等处理。
3. 控制系统分析拉氏变换在控制系统的分析与设计中也起到了重要的作用。
通过将控制系统的微分方程进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
例如，在机器人控制系统中，可以通过拉氏变换分析系统的动态响应，从而设计合适的控制策略。
三、拉氏变换的应用案例以一个简单的RL电路为例，分析其拉氏变换在电路分析中的应用。
假设电路中的电压源为v(t)，电感为L，电阻为R。
第十章 拉普拉斯变换
2 t
e ) (t )
t
分母项的分解 及分子系数的 确定主要取决 于D(S)=0根的 情况。 17
1.设 D(s)=0 有 n 个 单 实 根 S n = P n
则 : F ( s)
N ( s) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn )
K1 s p1
K2 s p2
Kn s pn
(K 1 ~K n 待 定 系 数 )
确 定 Ki:
( s p1 ) F ( s ) K1 ( s p1 ) K2 s p2 ( s p1 ) Kn s pn
令 : s p1
] L[ f ( t )] S F ( s ) f ( 0 )
'
L [ f ( t )] L [( f ( t )) ] S [ S F ( s ) f ( 0 )] f ( 010 )
'
例 8 ① L[cos t ] L[
1
S
d dt
N (s) D(s)
e
sT0
依据拉氏变换延迟性质:
L [
1
N (s) D( s)
] f (t )
则:
L [
1
N (s) D(s)
e
sT0
] f (t T0 ) (t T0 )
可见：关键在于真分式的拉氏反变换。
步 骤 ：① 将 真 分 式 F ( s )
N (s) D(s)
st
st
L[ f (t )]
(t T ) e
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
常见信号拉氏变换
常见信号拉氏变换1. 介绍拉氏变换是一种在信号处理领域中常用的数学工具，它能够将时域中的信号转换为复频域中的函数。
拉氏变换可以帮助我们更好地理解和分析各种常见信号的特性和行为。
本文将介绍常见信号的拉氏变换，并详细讨论每个信号类型的特点和拉氏变换公式。
我们将涵盖常见的连续时间信号和离散时间信号，以及它们在频域中的表示。
2. 连续时间信号2.1 常值信号常值信号是指在整个时间范围内保持恒定数值的信号。
它在时域中表示为：x(t)=A其中，A是常数。
对于常值信号，其拉氏变换为：X(s)=A s2.2 单位阶跃函数单位阶跃函数是一种在t=0时从零跳跃到单位幅度的函数。
它在时域中表示为：x(t)=u(t)其中，u(t)是单位阶跃函数。
单位阶跃函数的拉氏变换为：X(s)=1 s2.3 单位冲激函数单位冲激函数是一种在t=0时瞬时达到无穷大幅度的函数。
它在时域中表示为：x(t)=δ(t)其中，δ(t)是单位冲激函数。
单位冲激函数的拉氏变换为：X(s)=12.4 指数衰减信号指数衰减信号是一种随时间指数衰减的信号。
它在时域中表示为：x(t)=e−at其中，a是正常数。
指数衰减信号的拉氏变换为：X(s)=1 s+a2.5 正弦信号正弦信号是一种周期性的连续时间信号。
它在时域中表示为：x(t)=Asin(ωt+ϕ)其中，A是振幅，ω是角频率，ϕ是相位差。
正弦信号的拉氏变换为：X(s)=ω(s2+ω2)3. 离散时间信号3.1 单位取样序列单位取样序列是一种在离散时间点上取值为1的序列。
它在时域中表示为：x[n]=δ[n]其中，δ[n]是单位冲激函数。
单位取样序列的拉氏变换为：X(z)=13.2 指数衰减序列指数衰减序列是一种随时间指数衰减的离散时间信号。
它在时域中表示为：x[n]=a n u[n]其中，a是正常数，u[n]是单位阶跃函数。
指数衰减序列的拉氏变换为：X(z)=11−az−13.3 正弦序列正弦序列是一种周期性的离散时间信号。
拉氏变换的数学方法解答
拉氏变换的数学方法解答拉氏变换是一种重要的数学工具，用于求解微分方程和积分方程。
它通过将时间域的函数转换为频率域的函数，从而简化了微分方程和积分方程的求解过程。
在本文中，我们将介绍拉氏变换的定义、性质以及如何使用拉氏变换来求解常见的微分方程。
首先，我们来介绍拉氏变换的定义。
拉氏变换是一种积分变换，它将一个在时间域上定义的函数f(t)转换为一个在复平面上定义的函数F(s)。
具体地，拉氏变换定义为：F(s) = L(f(t)) = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s 是复变量，e^(-st) 是指数函数。
拉氏变换的结果 F(s) 是一个复函数，它描述了函数 f(t) 在频率域上的性质。
下面我们来介绍拉氏变换的一些基本性质。
首先，拉氏变换是线性的，即对于任意的函数f(t)和g(t)，以及任意的常数a和b，有：L(af(t) + bg(t)) = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉氏变换。
其次，拉氏变换有一个重要的性质，即微分等式在变换后变为乘法等式。
具体地，对于一个函数f(t)和它的导数f'(t)，有：L(f'(t))=sF(s)-f(0)其中，f(0)是函数f(t)在t=0时的值。
另外，拉氏变换还有一个重要的性质，即积分等式在变换后变为除法等式。
具体地，对于函数f(t)的积分F(t)和它的拉氏变换F(s)，有：L(F(t))=1/sF(s)通过上述性质，我们可以将微分方程和积分方程通过拉氏变换转化为更简单的代数方程，从而求解微分方程和积分方程。
接下来，我们来介绍如何使用拉氏变换来解决常见的微分方程。
对于一个线性常系数微分方程：a_n*y^(n)(t)+a_(n-1)y^(n-1)(t)+...+a_1*y'(t)+a_0*y(t)=b(t)其中，y(t)是未知函数，a_i和b(t)是已知函数或常数。
我们可以将该微分方程转化为一个代数方程，通过拉氏变换求解。
拉氏变换详解
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
2t
cost 3e
2t
sin t
18
（3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重 极点 p1 ,而其余极点均不相同。 那么
bl bl 1 M (s) b1 F (s) l l 1 D( s ) ( s p1 ) ( s p1 ) s p1 cl 1 cn s pl 1 s pn M (s) 式中b l [ ( s p1 ) l ]s p1 D( s) d M ( s) l bl 1 [ ( s p1 ) ] ds D( s ) s p1
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) f n1 (0)
4
(3)积分性质
若 L[ f (t )] F ( s )
1
则
式中 f
F ( s) f (0) L[ f (t )dt] s s
19
, bl i
1 d M (s) l { [ ( s p1 ) ]}s p1 i! ds D( s )
l 1
i
1 d M (s) l b1 { [ ( s p1 ) ]}s p1 (l 1)! ds D( s ) 系数cl 1 , , cn , 仍按以前的方法计算
电路分析中拉氏变换如何理解与计算
电路分析中拉氏变换如何理解与计算拉氏变换是一种在电路分析中常用的数学工具，用于将微分方程转换为代数方程，从而简化电路分析的过程。
它基于拉氏变换的定义和拉氏变换的性质进行计算。
下面将详细介绍拉氏变换的概念、计算方法以及其在电路分析中的应用。
一、拉氏变换的概念与定义1.拉氏变换的定义拉氏变换是一种线性、时不变的积分变换，它将一个函数f(t)转换为复数域的函数F(s)。
拉氏变换定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[e^(-st) * f(t)] dt其中，f(t)是定义在t≥0时间域上的函数，F(s)是定义在复平面上的函数，s=σ+jω是一个复数，σ和ω分别表示实部和虚部。
2.拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，这些性质是进行拉氏变换计算的基础。
以下是几个常用的性质：线性性质：对于常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有L{a*f(t)+b*g(t)}=a*F(s)+b*G(s)。
时延性质：对于函数f(t)和其时延h(t)=f(t-τ)，有L{h(t)}=e^(-sτ)*F(s)。
因果性质：对于定义在t≥0时间域上的函数f(t)，如果f(t)=0当t<0，那么F(s)只在Re(s)>σ0的区域存在，其中σ0是f(t)中所有极点的实部的最大值。
二、拉氏变换的计算方法在实际计算中，为了将一个函数f(t)进行拉氏变换，通常需要先将其分解为更简单的函数的组合。
常用的计算方法有积分法、查表法和拉氏变换的性质。
1.积分法积分法是根据拉氏变换的定义进行计算，将函数 f(t) 乘以 e^(-st) 后积分。
这种方法适用于简单的函数，如指数函数、幂函数等。
2.查表法拉氏变换的常见函数对应关系可以通过查找拉氏变换表来获得。
在查表法中，将函数f(t)的拉氏变换直接从表格中找到。
这种方法适用于常见函数的变换计算，如单位阶跃函数、脉冲函数等。
3.拉氏变换的性质根据拉氏变换的性质，可以将一个复杂的函数分解成多个简单的函数，然后利用已知的变换对这些简单函数进行变换。
02第二章拉氏变换的数学方法
02第二章拉氏变换的数学方法拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析、通信工程等领域。
本文将介绍拉氏变换的数学方法，包括拉氏变换的定义、性质和常见的拉氏变换对列表。
一、拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时间域函数转换为频率域函数的数学工具。
对于一个连续时间函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt其中s是复变量，通常为一个复平面上的点。
拉氏变换可以将一个函数从时间域表示转换为频率域表示，提供了一种更便于分析和处理的数学工具。
二、拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，如线性性质、平移性质、尺度性质等。
下面简要介绍几个常用的性质：1.线性性质：如果f(t)和g(t)的拉氏变换分别为F(s)和G(s)，那么对于任意常数a和b，有a*f(t)+b*g(t)的拉氏变换为a*F(s)+b*G(s)。
2. 平移性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么e^(-at)f(t)的拉氏变换为F(s+a)。
3. 尺度性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么f(at)的拉氏变换为(1/a)F(s/a)。
这些性质使得我们能够利用拉氏变换进行函数的变换和计算，简化了分析过程。
三、常见的拉氏变换对列表拉氏变换对列表是一些常见的函数及其在拉氏变换下的变换对。
常见的拉氏变换对列表如下：1.常数函数：L{1}=1/s2.单位阶跃函数：L{u(t)}=1/s3.单位冲激函数：L{δ(t)}=14. 指数函数：L{e^(at)} = 1/(s-a)，其中a为实数5. 正弦函数：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)6. 余弦函数：L{cos(ωt)} = s/(s^2 + ω^2)7. 方波函数：L{rect(t/T)} = (T/s) * sin(Ts/2)8. 指数衰减函数：L{e^(-at)u(t)} = 1/(s+a)，其中a为正数这些变换对可以通过拉氏变换的定义进行推导得到，可以用于解决各种信号与系统的分析和计算问题。
8种常见的拉普拉斯变换，想搞不懂都难！
8种常见的拉普拉斯变换，想搞不懂都难！拉普拉斯变换（拉⽒变换）是⼀种解线性微分⽅程的简便运算⽅法，是分析研究线性动态系统的有⼒数学⼯具。
简单点说，我们可以使⽤它去解线性微分⽅程，⽽控制⼯程中的⼤多数动态系统可由线性微分⽅程去描述，因此拉⽒变换是控制⼯程领域必不可少的基础。
什么是拉⽒变换呢？⾸先，我们来看⼀下拉⽒变换的定义——设时间函数为f(t),t>0,则f(t)的拉普拉斯变换定义为:其中，f(t)称为原函数，F(s)称为象函数。
⼀个函数可以进⾏拉⽒变换的充要条件为：(1)在t<0时，f(t)=0;(2)在t≥0的任⼀有限区间内,f(t)是分段连续的；(3)当t→﹢∞时,f(t)的增长速度不超过某⼀指数函数，即：接下来为⼤家介绍⼏种常见的时间常数拉⽒变换，⼤家在看下⾯⼏种时间常数拉⽒变换的时候可将⼏个时间常数与这三个条件⼀⼀对应，有助于理解记忆。
1、单位脉冲函数单位脉冲函数数学表达式为：其对应的图像为：我们来看⼀个脉冲信号:从图中可看出，脉冲函数就像脉冲信号⼀样，在时间的⼀个微段dt内，信号强度快速增长，可达到⽆穷⼤，⽽单位脉冲函数指的是其微段dt与增长的⾼度的乘积为1，即h(dt)=1。
其拉⽒变换为:该函数有⼀个重要性质：f(t)为任意连续函数，当f(t)=e^(-st)时，该性质即可看为单位脉冲函数的拉⽒变换。
2、单位阶跃函数单位阶跃函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：3、单位斜坡函数单位斜坡函数的数学表达式为：函数图像为：其拉⽒变换为：其被积函数为幂函数与指数函数乘积，使⽤分部积分法求解（反对幂三指），这只是推到过程，我们使⽤的时候只需记住t的拉⽒变换为1/s^2即可。
4、单位加速度函数单位加速度函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：求解过程与单位斜坡函数的拉⽒变换求解过程相同，这⾥只需记住1/2T^2的拉⽒变换为1/s^3。
5、指数函数指数函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：求解过程为凑微分法。
详解拉氏变换
f (t ) tU (t ) 2(t 1)U (t 1) (t 2)U (t 2)
1 ，求f (t ) ？ 例2: 已知F ( s ) s s(1 e ) 1 1 解： F ( s ) (1 e s e 2 s e 3s e 4 s ) s(1 e s ) s
第四章 连续时间系统的复频域分析
本章重点
• • • • 1、Laplace 变换的定义和基本性质； 2、Laplace 变换应用于线性系统分析； 3、系统函数H（S）的概念； 4、H（S）的零极点与频率特性以及系统的 稳定性之关系。
Ｆourier变换的局限性。 • Laplace 变换的特点： 1、变换简单且容易计算； 2、可应用复频率的概念具有更普遍的意义； 3、可处理的信号范围更广； 4、在微分方程的求解中变微分运算为代数 运算； 5、自动引入初始条件，直接求出全解。
[F(s)]=f(t)
• 二、Ｌaplase变换的收敛域：（the region of convergence for Laplase transform） • 1、单边拉氏变换的收敛域：
lim f ( t )e
t t
0
( 0 )
• •
σ０：收敛坐标 满足上式的函数称为指数阶函数。
F s
0
f (t )e s t dt
f(t)=sin(ot )
1 e j0t e j0t 2j 1 1 1 0 F ( s) 2 j s j0 s j0 s 2 0 2
s 1 1 1 2 F ( s) 2 s 0 2 s j 0 s j 0
拉氏变换详细解读
φ = arctan
1− 1 1−ζ
2
ζ
e−ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + φ 1−ζ 2
(
18
φ = arctan
2 ωn 2 s ( s2 + 2ζωn s + ωn )
ζ
根据表格直接写出结果
L [δ (t )] = 1, L e
− at
1 L [1(t )] = , s
ω s L [sin ωt ] = 2 , L [ cos ωt ] = 2 2 2 s +ω s +ω
e sinωt →
−at
1 = s+a,
1 L [t ] = 2 s 1 at L e = s−a
s + a ) + ω2 (
2
ω
e cosωt →
−at
s + a ) + ω2 (
3
2
5s3Y (s) + 6s2Y (s) + sY (s) + 2Y (s) = 4sX(s) + X(s) (5s3 + 6s2 + s + 2)Y (s) = (4s + 1) X(s)
Y (s) 4s + 1 = 3 X (s) 5s + 6s2 + s + 2
3.积分定理 积分定理
f (t )dt = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) L ∫ s s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
数学基础-拉氏变换
F (s) 1 1 1 s s 1 (s 1)2
f (t) 1 e t te t
4.3 包含多重极点的F(s)部分展开
通过例子说明
F
(s)
s2 2s (s 1)3
3
F(s)的部分展开式包括三项
F (s) B(s) b1 A(s) s 1
b2 (s 1)2
(s
b3 1)3
数学基础-拉氏变换
1. 拉普拉斯变换的定义
1.1 复变量和复变函数
一个复数包括实部和虚部，如果实部和虚部 都是变量，则称其为复变量。在拉氏变换中， 复变量用符号s表示，表示
s j
一个复变函数F(s)是s的函数，它具有实部和虚
部
F (s) Fx jFy
F (s) Fx jFy
jω
幅值： A F 2 F 2
t
s0
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。
3.6 延迟定理
L[ f (t )] esF(s), a 0
3.7 与 eat 相乘
L[eat f (t)] F(s a)
4. 拉普拉斯反变换
4.1 求拉普拉斯变换的展开式
拉氏变换常以如下形式出现 F(s) B(s)
A(s)
如果F(s)被分解成下列分量
其对应的拉氏逆变换为
f (t) 1 et 1 e2t 1 e3t 6 15 10
例 求 F (s) 1 的 逆 变 换
2
s(s 1)2
解
：
F (s)
a s
b s1
c (s 1)2
则 a (s 1)2 bs(s 1) cs 1
对 应 项 系 数 相 等 得 a 1,b 1, c 1
其中
F (s) c1 c2 c3 s 1 s 2 s 3
拉氏变换_精品文档
拉氏变换什么是拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种将函数从时间域转换到复频域的数学工具。
它在工程学科和物理学中有广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理领域。
拉氏变换通过积分运算将一个函数从时间域（t-domain）变换到频域（s-domain），其中s是一个复变量。
拉氏变换的定义给定一个函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt这里，s是复变量，e是自然对数的底数，t表示时间。
拉氏变换的性质拉氏变换具有许多有用的性质，以下是一些常见的性质：1.线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b是常数。
2.移位性质：L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)，其中a是常数。
3.初值定理：lim_[s→∞] sF(s) = f(0)，其中f(0)是函数f(t)在t=0时的初值。
4.终值定理：lim_[s→0] sF(s) = lim_[t→∞] f(t)，即函数f(t)在t→∞时的极限等于F(s)在s=0时的极限。
这些性质使得拉氏变换成为了解决微分方程问题以及计算复杂电路的有效工具。
拉氏变换的应用1. 信号处理在信号处理领域，拉氏变换用于分析和处理连续时间信号。
通过将信号从时间域转换到频域，可以更好地理解信号的频谱特性，并进行滤波、降噪、调制等处理。
2. 控制系统在控制系统分析中，拉氏变换被广泛用于研究和设计控制系统的性能和稳定性。
通过将控制系统表示为拉氏域的传输函数，可以方便地进行频率响应、稳定性分析和控制器设计。
3. 电路分析在电路分析中，拉氏变换用于求解电路的幅频特性、相频特性和传输函数。
通过将电路中的电压和电流转换到拉氏域，可以更方便地进行复杂电路的分析和计算。
4. 信号传输拉氏变换在信号传输中的应用非常广泛。
信号的拉氏变换可以帮助我们理解信号在传输过程中的衰减、失真和干扰等问题，从而优化信号传输的方案。
拉普拉斯积分变换
s m1
利用位移性质,可得
Leatt m Γ (m 1)
(s a)m1
27
例 求 L eat sin kt
解 因为
Lsin
kt
s2
k
k
2
由位移性质得
L eat sin kt
(s
k a)2
k
2
28
5、 延迟性质 若L f (t) F (s),又 t 0 时 f (t) 0
时间 τ。从她们得图象来讲, f (t τ ) 得图象就是由f(t)得
图象沿t 轴向右平移距离而得。
这个性质表明,时间函数延迟 τ 得拉氏变换等于她得
象函数乘以指数因子 e s 。
31
例
求函数 u(t τ
)
0, t τ 1, t τ
得拉氏变换。
解 由于
Lu(t) 1
s
根据延迟性质,有
Lu(t τ ) 1 esτ
dt t
解 因为
Lsin t 1
s2 1
且
所以
f (t) dt
F (s)ds
0t
0
sin t dt
0t
0
1 ds
s2 1
arctan s
0
2
25
d、位移性质 若 L f (t) F (s) ,则有
L eat f (t) F (s a) (Re(s a) c)
证
根据定义,利用积分性质就可推出这个性质。 此性质表明:函数线性组合得拉氏变换等于各函 数拉氏变换得线性组合。
14
b、 微分性质 L f (t) sF (s) f (0)
证 由定义并利用分部积分法得
第二节 拉氏变换公式
=s 1 - 0 s
=1
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 积分定理
机械工程控制基础
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 多重积分
（2－22）
原函数的n重积分像函数中除以sn
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-6：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数
抛物线函数
（2－16）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 单位脉冲函数拉氏变换
洛必达法则
（2－17）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 指数函数的拉氏变换
（2－18）
机械工程控制基础
例2-1：求解函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 三角函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-10：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 复数域微分定理
证：
Ltf (t) dF (s)
ds
（2－30）
dF (s) d f (t)estdt d[ f (t)est ] dt
F (s)
s s2 1
求 et f (3t 2) 的象函数
解：由于
f
(t)
s s2 1
利用实位移定理
f (t 2) s e2s s2 1
由尺度变换定理
s
f
(3t
2)
1
3
2s
e3
3 (s)2 1
s
拉普拉斯变换讲解
拉普拉斯变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．1拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数．这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．1.1 拉氏变换的基本概念定义 设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即（7-1）称（1-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示．函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)．函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作，即．关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用．（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．例7-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换．解．1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变化率，即328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N N )(t f 0≥t dte tf pt ⎰∞+-0)(P P )(P F dte tf P F pt ⎰∞+-=)()()(t f )()]([P F t f L =)(P F )(t f )(t f )(t f )(P F )(P F )()]([1t f P F L =-)]([)(1P F L t f -=)(t f 0≥t 0<t 0)(=t f P P at t f =)(a t ，0≥⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-==00][)(][dte pa e p at etd pa dt ateat L pt pt ptpt2020][0p a e p a dt e papt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p 0=t )(t i )(t Q ⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q，所以，当时，；当时，．上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数．定义设，当0时，的极限称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为函数．当时，的值为；当时，的值为无穷大，即．和的图形如图7-1和图7-2所示．显然，对任何，有，所以．工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度．例1-2 求的拉氏变换．解 根据拉氏变换的定义，有，即．例1-3 求单位阶梯函数的拉氏变换．解，．t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→0≠t 0)(=t i 0=t ∞=-=-+=→→)1(lim )0()0(lim)0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=εεεδεt t t t ，，，00100)(ε→)(t εδ)(lim )(0t t εεδδ→=-δ0≠t )(t δ00=t )(t δ⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(t t t δ)(t εδ)(t δ0>ε11)(0==⎰⎰∞+∞-dt dt t εεεδ1)(=⎰∞+∞-dt t δ-δ-δ1-δ-δ)(t δdte dt edt edt et t L pt ptptpt-→∞+-→-→∞+-⎰⎰⎰⎰=⋅+==εεεεεεεεδδ01lim0lim)1lim()()]([11lim 1)()1(lim 11lim 1][1lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→εεεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e 1)]([=t L δ⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(t t t u p e p dt e dt et u t u L pt pt pt1]1[1)()]([00=-=⋅==∞+-∞+-∞+-⎰⎰)0(>p例1-4求指数函数（为常数）的拉氏变换． 解 ，即．类似可得；．习题1–1求1-4题中函数的拉氏变换1．．2．．3．4．是常数）．1.2 拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换． 性质1 (线性性质) 若 ，是常数，且，，则． （7-2）证明．例7-5 求下列函数的拉氏变换：（1）； （2）．解（1）．（2）． 性质2（平移性质） 若，则（为常数）． （7-3）证明．位移性质表明：象原函数乘以等于其象函数左右平移个单位．ate tf =)(a dt e dt e e e L t a p ptat at ⎰⎰∞+--∞+-=⋅=0)(0][)(1a p a p >-=)(1][a p a p e L at >-=)0(][sin 22>+=p p t L ωωω)0(][cos 22>+=p p pt L ωωte tf 4)(-=2)(t t f =atte t f =)(ϕωϕω，()sin()(+=t t f 1a 2a )()]([11p F t f L =)()]([22p F t f L =)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a +=dte tf a dt et f a dt et f a t f a t f a t f a L pt ptpt-∞+-∞+-∞+⎰⎰⎰+=+=+)()()]()([)]()([02211221102211)()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=)1(1)(at e a t f --=t t t f cos sin )(=)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e a L at at at +=+-=-=-=----412221]2sin 21[]cos [sin 222+=+⋅==p p t L t t L )()]([p F t f L =)()]([a p F t f e L at -=a ⎰⎰∞+--∞+--===)(0)()()()]([a p F dt e t f dt et f e t f e L t a p ptat atat e a例1-6 求 ，和． 解 因为，，，由位移性质即得性质3（滞后性质） 若，则． （7-4）证明=，在拉氏变换的定义说明中已指出，当时，．因此，对于函数，当（即）时，，所以上式右端的第一个积分为，对于第二个积分，令，则滞后性质指出：象函数乘以等于其象原函数的图形沿轴向右平移个单位（如图1-3所示）．由于函数是当时才有非零数值．故与相比，在时间上滞后了一个值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在这个函数上再乘，所以滞后性质也表示为．例1-7 求．解 因为，由滞后性质得． 例1-8 求．解 因为，所以．例1-9 求下列函数的拉氏变换：（1） （2）解 （1）由图7-4容易看出，当时，的值是在的基础上加上了（），][at te L ]sin [t e L atω-]cos [t e L at ω-21][p t L =22][sin ωωω+=p t L 22][cos ωω+=p p t L 。
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t 0
s
证明方法同上。只是要将 s 取极限。
(6)位移定理：
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 迟 ，则其象函数应乘以 es L[ f (t )] es F (s) 8
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，
原函数应乘以 eat
即： L[eat f (t)] F (s a)
[
M (s) D(s)
(s
p1 )l
] s p1
19
, bli
1 d i M (s) {[
i! ds D(s)
(s
p1)l ]}s p1
b1
(l
1 {d l1 1)! ds
[
M (s) D(s)
(s
p1 )l
]}s p1
系数cl1,, cn ,仍按以前的方法计算
M (s) c j [ D(s) (s p j )]s pj 式中p j ( j l 1,, n)是D(s) 0的其余互异极点。
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) Ae st dt
A e st
A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F (s) (t)est dt
1
0
0
sa 0 sa
几个重要的拉氏变换
f(t)
F(s) f(t)
F(s)
δ(t) 1
sinwt
w (s2 w2 )
1(t)
1/s
coswt s
(s2 w2 )
t
1 s2
eat sin wt
w
(s a)2 w2
eat
1/(s+a)
eat cos wt
sa (s a)2 w2
2
❖ 3.拉氏变换的基本性质 (1)线性性质
(7)时间比例尺定理
原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，
则象函数及其自变量都增加（或减小）同
样倍数。即：L[ f ( t )] aF (as)
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
令t / a ,则原式 f ( )esa ad aF(as)
9
0
(8)卷积定理
1
1 (1 1)
(s a)(s b) b a s a s b
则f (t) eat ebt ba
例2：求
F (s)
1 s2 (s 1)
的逆变换。
解：
F (s)
1 s2 (s 1)
1 s2
1 s
1 s 1
f (t) L1[F (s)] t 1 et
13
例3.
F (s)
1 s(s 1)2
则微分方程两边同时取拉氏变换（初始条件不为零）
s2F (s) sf (0) f (0) 4sF (s) 4 f (0) 5F (s) 0
F (s)
s2
s5 4s 5
(s
s5 2)2 1
s23 (s 2)2 1
(s
s
2 2)2
1
(s
3 2)2
1
y e2t cost 3e2t sin t
f (0)
右边 lim[sF (s) f (0)] lim sF (s) f (0)
s0
s0
7
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
注：若 t 时f(t)极限 lim f (t) 不存在， t 则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦 函数就不能应用终值定理。
(5)初值定理：lim f (t) lim sF (s)
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t)] snF(s) sn1 f (0) sn2 f (0) f n1(0)
4
(3)积分性质 若 L[ f (t)] F(s)
则
L[ f (t)dt] F (s) f 1(0)
s
s
式中 f 1 (0) 为积分 f (t)dt 当t=0时的值。
1 s
)]s
1
(s2 ) 1
s 1
21
b1
1 (2s3) 2!
s 1
1
c
1 s(s 1)3
s
1
s0
F (s)
1 s
1 (s 1)3
1 (s 1)2
1 s 1
y 1 1 t 2et tet et
2
22
❖ 如果不记公式,可用以下方法求解
F (s)
1 s(s 1)3
a s
b1 (s 1)3
L[af1 (t) bf 2 (t)] aL[ f1 (t)] bL[ f 2 (t)]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t)] F(s) ，则有 L[ f (t)] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
1 est dt
1 est
0
0 0
0 s
0
lim lim
1 (1 es )
1 (11 s 2s2 ) 1
0 s
0 s
1! 2!
1
e （3）例3.求指数函数f(t)= at 的拉氏变换
F (s) eat est dt e dt (as)t
1
e (sa)t
20
例3 : y(3) 3y 3y y 1, y(0) y(0) y(0) 0 求微分方程.
F (s)
1 s(s 1)3
b3 (s 1)3
b2 (s 1)2
b1 s 1
c4 s
b3
[
s(s
1 1)3
(s
1)3 ]s1
1
b2
d
ds
[
s(s
1 1)3
(s
1)3
]
s1
[d ds
(
证：设 h(t) f (t)dt 则有 h(t) f (t) 由上述微分定理，有
L[h(t)] sL[h(t)] h(0)
L[h(t)] 1 L[h(t)] 1 h(0) 1 L[ f (t)] 1 h(0)
s
s
s
s
1 F (s) 1 f 1(0)
s
s
5
即：
L[
f (t)dt] F (s) f 1(0)
c3
[ (s
1)(s
1 2)(s
3)
(s
3)]s3
1 10
F(s) 1 1 1 1 1 1 6 s 1 15 s 2 10 s 3
f (t) 1 et 1 e2t 1 e3t
6 15 10
17
❖ （2）情况2:F(s)有共轭极点
例2：求解微分方程
y 4y 5y 0, y(0) y(0) 1
0
0
10
t
L[
f (t 1
) f ( )d ] 2
0
[
f (t 1
)1(t
) f ( )d ]e st dt 2
00
f 2 ( )d
f (t 1
)1(t
)e st dt
0
0
令t , 则
t
L[
f (t 1
) f ( )d ] 2
0
f 2 ( )d
f ( )e d s ( ) 1
18
❖ （3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重
极点 p1,而其余极点均不相同。
那么
F (s)
M (s) D(s)
bl (s p1)l
(s
bl 1 p1)l1
s
b1 p1
cl1 cn
s pl1
s pn
式中bl
[
M (s) D(s)
(s
p1 )l
]s p1
bl 1
d ds
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[
f
(t)]
f
(t)est dt
s
f
(t)est dt
f
(t )e st
0
0
0
sF(s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
s2F (s) sf (0) f (0)
s
s
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为
L[
f
(t)dt 2 ]
1 s2
F(s)
1 s2
f (1) (0) 1 f (2) (0) s
若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0
则有
L[
f
(t)dtn ]
1 sn
F (s)
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象
函数除以 s n 。
6
（4）终值定理 lim f (t) lim sF(s)
b d m r(t) b d m1 r(t) b d r(t) b r(t)
0 dtm
dt 1 m1
m1 dt
m
27
c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零 初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得 到系统传递函数为：
G(s)
C(s) R(s)
b 0
a
sm sn
b s m1 1
t
s0
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。
证：由微分定理，有 L[ f (t)] f (t)est dt sF (s) f (0)