拉氏变换、传递函数、数学模型18页word文档
拉氏变换
（2）f(t)=e-0.5tcos10t
（3）f(t)=sin(5t+600)
（4）f(t)=tneat
2.试求下列函数的拉氏变换
（1）f(t)=2t+3t3+2e-3t
（2）f(t)=t3e-3t+e-tcos2t+e-3tsin4t
（3）f(t)=5*1(t-2) +(t-1)2e2t
3.已知 F(S) 10
K11 K12 L K1r Kr1 L Kn
(s p1)r (s p1)r1
s p1 s pr1
s pn
其中
Kim
1 d m1 (m 1)! dsm1
[F (s)(s
p1)r ]
s p1
其余系数同无重极点时一样。
1.试求下列函数的拉氏变换，假设当t<0时f(t)=0
（1）f(t)=5(1-cos3t)
2
L sin t
sin t est dt
1
e jt e jt
e st dt
0
0 2j
1 2j
0
e
(s
jt)dt源自e(sjt
)
dt
0
1 2j
s
1 j
s
1 j
s2 2
同理也可得：
Lcost
s2
s
2
❖ 幂函数 t n
拉普拉斯变换
L[t n ] t n e st dt
❖ 查表法应用
1
▪ 例1：F(s)= s2 4
es
▪ 例2： F(s)= s 1
s 1
▪ 例3： F(s)= s2 9
f(t)= 1 sin2t
2
电路元件 拉氏变换
电路元件拉氏变换拉氏变换是电路分析中常用的数学工具，用于描述电路元件在时域和频域之间的转换关系。
本文将介绍拉氏变换的基本概念、性质和应用，以及在电路分析中的具体应用案例。
一、拉氏变换的基本概念和性质1. 拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的数学工具。
对于一个时域函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，表示频域的频率。
2. 拉氏变换的性质拉氏变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉氏变换。
拉氏变换还具有平移性质、尺度性质、微分性质、积分性质等。
这些性质使得我们可以通过拉氏变换来简化复杂的电路分析问题。
二、拉氏变换在电路分析中的应用1. 线性电路分析拉氏变换在线性电路的分析中起到了至关重要的作用。
通过将电路中的电压和电流信号进行拉氏变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化电路分析的过程。
例如，对于一个RC电路，可以通过拉氏变换将微分方程转化为代数方程，进而求解电路的响应。
2. 信号处理拉氏变换在信号处理领域也有广泛的应用。
通过将信号进行拉氏变换，可以将时域的信号转化为频域的信号，从而分析信号的频谱特性。
例如，在音频处理中，可以通过拉氏变换将声音信号转化为频域信号，进而进行音频滤波、降噪等处理。
3. 控制系统分析拉氏变换在控制系统的分析与设计中也起到了重要的作用。
通过将控制系统的微分方程进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
例如，在机器人控制系统中，可以通过拉氏变换分析系统的动态响应，从而设计合适的控制策略。
三、拉氏变换的应用案例以一个简单的RL电路为例，分析其拉氏变换在电路分析中的应用。
假设电路中的电压源为v(t)，电感为L，电阻为R。
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
机械控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
拉氏变换及传递函数详解演示文稿
2.复变数的各种表达形式
s j 代数形式
s
极坐标
s e jθ
指数
s (cos j sin )
三角
s 2 2 tg 1
欧拉定理：
e jθ cosθ j sin θ e jθ cosθ j sin θ cosθ 1 (e jθ e jθ )
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
5 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
（2）微分定理 L f t s F s f 0
证
明： 左 f t estdt estdf t
0
0
e-st f
t
0
例8
L e-3t cos 5t
s 2
s 52
ss3
s3
s 32 52
例9
Le 2 t
cos ( 5t
π 3
)
Le 2t
cos5(t
π 15
)
-
π
s
e 15
s
2
s
52
s
s
2
π s2
e 15
s2 s 2 2 52
（6）初值定理 lim f (t) lim s F(s)
s
s
s
（5）位移定理 L eAt f (t) F (s A)
证明：左 e At f (t) ets dt f (t) e(sA)t dt
0
0
令 sA s
f (t)est dt
第2章 线性系统的数学模型
2.2.1
传递函数的定义
传递函数： 初始条件为零时，线性定常系统或
元件输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变 换的比，称为该系统或元件的传递函数。
线性定常系统微分方程的一般表达式
d n c(t ) d n1c(t ) dc(t ) d m r (t ) an dt n an1 dt n1 a1 dt a0 c(t ) bm dt m b0 r (t )
ma F F FB FK
F (t )
m
k
（1）
f
y (t )
其中 FB f
dy dt FK ky
－阻尼器的粘性摩擦力 －弹簧的弹力
（3）消去中间变量，得到输入与输出的关系方程 将以上各式代入（1）式得 d2y dy m 2 F f ky dt dt
（4）整理且标准化
U2
（3）消去中间变量，得到U2与U1的关系方程
对（2）式求导得
dU 2 1 i, dt C 即i C dU 2 dt
d 2U 2 dU 2 U 2 U1 代入（3）式并整理得 LC 2 RC dt dt
例2-2：如图所示为一弹簧阻尼系统。图中质量为m的物体受 到外力作用产生位移Y，求该系统的微分方程。 解： （1）确定输入量和输出量 输入量：外力F（t) 输出量:位移y(t) （2）列写原始微分方程
2)
c( s) bm (d m s m d m1s m1 1) G( s) r ( s) an (cn s n cn 1s n 1 1)
(T1s 1)(T2 s 1) (Tm s 1) =K (T1s 1)(T2s 1) (Tm s 1)
+
2-2 复数域数学模型-传递函数
同样求出
两端进行拉氏反变换，得
1 10 3t 2 t y (t ) 4e e 3 3
三 传递函数的概念和表达形式
1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换 与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数。
线性定常系统微分方程的一般形式为：
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m 1 d b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm 1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
1 C j st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j
1
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏 变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直 接查到的原函数的形式。
分母 D(s) a0 s a1s
n
n1
an1s an
称为系统的特征多项式，S的最高阶次n即为 系统的阶次。 D(s)=0称为系统的特征方程。
传递函数的三大表达形式：
b 0s m b1s m 1 b m-1s b m G(s) a 0s n a1s n 1 a n-1s a n
例6.已知系统的微分方程式为：
d 2 y (t ) dt 2'
并且设：
y(0) 1, y (0) 2
dy(t ) 5 6 y (t ) 2 dt
，试求微分方程的解。
解：方程两边进行拉氏变换 2 2 ' s Y (s) sy(0) y (0) 5sY (s) 5 y(0) 6Y (s) s 微分性质 代入初始值变换形式可得
传递函数拉氏变换
传递函数拉氏变换
拉普拉斯变换（LaplaceTransform）是一种重要的数学工具，它可以将一个函数从时间域转换到频率域。
通过拉普拉斯变换，我们可以更加方便地研究信号的特性和行为，以及进行系统分析和控制设计。
拉普拉斯变换可以在复平面上表示，并且它具有线性性、时移性、频移性、导数性质、积分性质、卷积性质等多种重要性质。
因此，它不仅在工程学科中广泛应用，而且在物理学、化学、经济学等学科中也具有重要的应用价值。
在实际应用中，我们一般使用拉氏变换对信号进行分析和处理。
例如，我们可以通过拉氏变换求解微分方程、求解线性时不变系统的传递函数、计算信号的频谱等。
此外，拉氏变换还可以与其他数学工具如傅里叶变换、Z变换等相结合，进一步扩展其应用范围。
总之，拉氏变换是一个强大的工具，它为我们提供了一种更加方便和有效的方式来研究信号和系统。
在工程学科中，它被广泛应用于电路分析、控制系统设计、通信系统设计等领域。
- 1 -。
(第03讲) 第二章 拉氏变换与传递函数
t )] 1( s
(
s j
) s
2
2
4 幂函数
L (t )
n
t t) 1(
n
n s
t e
n
st
dt
st
1 s
n s
t e
n
st
0
0
n
s
e
st
t
n 1
dt
0
L[t
n
]
t
n 1
e
dt
L[t
n 1]
]
0
06-7-20
控制系统系统的动态数学模型
X ( s ) L [ x ( t )]
x (t )e
st
dt
0
式中，s是复变数； s
x (t ) 为原函数； X ( s )
j
Re( s )
为象函数。
2.3.2 简单函数的拉氏变换
1 单位阶跃函数 1( t )
0, t 0 1( t ) 1, t 0
x ( t ) y ( t ) 的卷积分的数学表示为：
x (t ) y (t ) x (t ) y (t )
06-7-20
t 0
t
x ( t ) y ( ) d
0
x ( ) y ( t ) d y ( t ) x ( t )
控制系统系统的动态数学模型 12
对于函数 x (t ) 满足， x （1）当t<0时， ( t ) 0
x (t 当t>0时， )
典型环节的传递函数
式中，K—环节增益（放大系数）； T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关
特点：有一个阻尼元件存在，当有一个输入信号时，不会 马上达到一定值，而是需要一个缓慢上升的过程。
xi (t )
x0 (t )
忽略质量，由达朗贝尔 原理可知 o 0 数学模型 ( xi xo )k cx o kxo kxi csX o ( s ) kX o ( s ) kX i ( s ) cx X o (s) k 1 传递函数 G ( s ) X i ( s ) cs k Ts 1
例
如图所示弹簧-阻尼系统。
Xi(t)
kx i (t ) x 0 (t ) D
dx0 (t ) dt
Xo(t)
kX i (s) X o (s) DsXo (s)
D s 1X o (s) X i (s) k
X (s) 1 G (s) 0 X i (s) D s 1 k
LCuo (t ) RCuo (t ) uo (t ) ui (t ) ( LCs 2 RCs 1)U o ( s ) U i ( s )
U o (s) 1 G (s) 2 U i ( s ) LCs RCs 1
2 n 1/( LC ) 2 2 2 s ( R / L) s 1/( LC ) s 2n s n
特点：输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟，而 是按比例反映输入，即线性变化。
R2
由运算放大器构成的比例环节
R2 uo (t ) ui (t ) Kui (t ) R1 拉氏变换 U o ( s ) KU i ( s ) G ( s )
如图所示齿轮传动副，
拉氏变换
其中： 其中： F (s ) =
Fx+Fy
2 2
∠F (s ) = arctan
Fy F x
G (s ) = s
例如：
2 2
其中 : s = σ + jω = r∠ϕ
2
s = r ∠ 2ϕ
jGy
S平面 2
0
G(s)平面
4
σ
0
G
x
一、拉氏变换定义： 对于函数 x (t ) ，满足下列条件
s 2 + 2s + 3 3 其中： 3 = α (s + 1)3 (s + 1) = 2 s = −1 d 2 α 2 = ds s + 2s + 3 s =−1 = 2s + 2 s=−1 = 0
s 2 + 2s + 3 −1 [F (s )] = L−1 求:L 3 (s + 1)
2 −1 X (s ) = + s+1 s+ 2
s+3 c2 = × (s + 2 ) = −1 (s + 1)(s + 2 ) s = −2
x(t ) = 2e − e
−t
(
−2 t
)
2、含有共扼复极点情况：
例2 − 5 s+1 L 3 s + s2 + s
− st
dt
[t ]−1 复变量 量纲
二、简单函数的拉氏变换
1. 单位阶跃函数 1(t )
0 t < 0 1(t ) ∆ 1 t > 0
L[1(t )] = ∫ 1(t ) e
拉氏变换及传递函数(补充内容)
c2( m1) d [ F ( s ) ( s s2 ) m ] |s s2 ds
(2-85)
(2-86) (2-87) 15
1 d ( m1) c21 m1 [ F ( s ) ( s s2 ) m ] |s s2 ( m 1)! ds
f (t )
拉氏变换逆运算称为拉普拉斯反变换,简称拉氏反变换。
(2-77)
上式所指明的拉氏反变换，由于是复变函数的积 分，计算复杂，一般很少采用。
9
拉氏变换和拉氏反变换是一一对应的，大多数情 况可由拉氏变换表上查得。当表中查不到时，则需将 F ( s ) 转化成表的形式，再进行查表。 由 F ( s ) 求 f (t ) 时，通常采用的方法是部分分式法。 将F(s)分解为一系列的有理分式Fi(s)之和，
(2-92)
得到输出信号的拉氏变换Y ( s )为
bm s m bm 1 s m 1 ... b1 s b0 Y ( s) n U ( s) n 1 s a n 1 s ... a1 s a0
(2-93)
21
则 Y ( s )与 U ( s )的比值为
Y ( s ) bm s m bm1s m1 ... b1s b0 n U ( s) s a n 1s n 1 ... a1s a0
1 st L [ F ( s)] f (t ) F ( s ) e ds c 2j
1
(2-44)
上式为复变函数积分，积分围线c为由s=-j到 s=+j 的闭曲线。
3
2 拉氏变换的一些基本定理
(1) 线性定理 则
传递函数
第三节 传递函数
单位阶跃响应曲线
r(t) c(t)
1
0.632
r(t) c(t)
0T
t
特点: 输出量不能瞬时完成与输入量 完全一致的变化.
第三节 传递函数
惯性环节实例
(a(b) ) 运R算C电放路大构器成构的成惯的性惯环性节环节
第三节 传递函数
二、 典型环节的传递函数及其 动态响应
一般可将自动控制系统的数学模型看 作由若干个典型环节所组成。研究和掌握 这些典型环节的特性将有助于对系统性能 的了解。
第三节 传递函数
1．比例环节
比例微环分节方方程框: 图 C(t)R=(SK) r(t)K C(S) 特点: 输K出—不比失例真环,不节延系迟数,成比例地
+C
ur R0 - ∞
Ud + +
-
uc
M
θ
G(Gs)(s=) –= RSK1CS
第三节 传递函数
4．微分环节
理想微分环节数学模型：
c (t) = T
dr(t) dt
G(s)
=
C(s) R(s)
=
Ts
T — 微分时间常数
微分环节方框图
R(S)
C(S)
Ts
单位阶跃响应函数： C(t) =Tδ(t)
第三节 传递函数
根据RC基sU尔c(霍s)夫+ 定LC律s2：Uc (s)- + Uc (s) = Ur (s) -
u传ir==递GRC函(·sddi数)ut+=c为LUU:crdd((itss))
+ uc = LCs2
第二章物理系统的数学模型及传递函数
依据电学定律列写方程式 。
（1）
（2）
第二章 线性系统的数学模型
例 弹簧阻尼系统
Fs ky
ky
y
f dy dt
y
Ff fv
m
o
F
m
o
F
ma F F Fs Ff f — 粘滞摩擦系数
d 2 y dy m dt2 f dt ky F
k— 弹簧系数 v— 物体相对的移动速度
例1 编写如图1所示RLC电路的微分方程式
例1 编写如图1所示RLC电路的微分方程式
图 1 RLC串联网络
解: (1) 定输入输出量: u ----输入量 uc ----输出量
(2) 列写微分方程 di
L dt Ri uc u
式中
i dq dt
q Cuc
（3）消去中间变量,可得电路微分方程式
LC
d2 dt 2
uc
RC
d dt
uc
第二章 物理系统的数学 模型及传递函数
主要内容：
系统数学模型 线性系统微分方程的建立； 拉氏变换 运用拉氏变换法求解线性微分方程； 传递函数的概念和性质； 结构图的绘制及其等效变换； 结构图和信号流图的关系； 梅逊公式。
本章重点：
通过本章学习，应着重了解控制系统数学模型 的基本知识，熟练掌握线性定常系统微分方程 的建立、传递函数的概念和应用知识、控制系 统方框图的构成和等效变换方法、典型闭环控 制系统的传递函数的基本概念。
xa和xb作为网络的结点。在每一 个节点上，力的和等于零。
xa
xb
f fK K (xa xb )
K
M
fK fM fB MD2xb BDxb
综合两个方程可以得到：
全面完整的学习拉氏变换计算
2010-10-7
75
●脉冲响应函数 初始条件为0时，系统在单位脉冲输入作用 下的输出响应的拉氏变换为：
g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）。 系统的脉冲响应函数与传递函数包含关于 系统动态特征的相同信息。
2010-10-7
76
注意到复数域相乘等同于时域内卷积，因此， 由：Y(s)=G(s)X(s) 知线性系统在任意输入作用下，其时域输出：
2010-10-7
65
◇传递函数的求解实例： □质量－弹簧－阻尼系统的传递函数
所有初始条件均为零时，其拉氏变换为： 按照定义，系统的传递函数为：
2010-10-7
66
□R-L-C无源电网络的传递函数
所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：
2010-10-7
67
几点结论： √传递函数是复数s域中的系统数学模型，其 参数仅取决于系统本身的结构及其参数， 与系统的输入形式无关。 √若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s)决定，即传递函数表征了系统内在的 国有动态特性。 √传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部 输入－输出特性来描述系统的内部特性。
五、拉氏变换和拉氏反变换 ●拉氏变换 设函数f(t)(t≥0)在任一有限区间上分段连续， 且存在一正常数σ，使得 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω(σ, ω均为实数)
2010-10-7 1
称为拉普拉氏积分； F(s)称为函数f(t)拉普拉氏变换或象函数，它 是一个复变函数；f (t)称为F(s) 的原函数； L为拉氏变换的变换符号。 ●拉氏反变换
2010-10-7 13
当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时 （零初始条件）：
控制工程基础4-第2章 (数学模型-2：传递函数)
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
拉氏变换
1 d2 r A03 = 2 [ F ( s)(s + p0 ) ] 2! ds s =− p
……
0
1 d r −1 r A0 r = r −1 [ F ( s )(s + p0 ) ] (r − 1)! ds s =− p
0
College of mechanical & electronic engineering
′ ( s + 5) xo (0) + xo (0) ′ B2 = = −2 xo (0) − xo (0) s+2 s = −3
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第二章 数学模型 所以：
′ ′ 2 + 3 + 3xo (0) + xo (0) + − 2 xo (0) − xo (0) X o ( s) = 6 + s s+2 s+3 s+2 s+3 1 −1 1
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第二章 数学模型
A3 = [F ( s )( s + 1)]s = −1 = 2
F ( s) = −1 2 2 − + ( s + 2) 2 s + 2 s + 1
于是：
f (t ) = L [ F ( s )] = −(t + 2)e − 2t + 2e −t (t ≥ 0)
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自动控制原理课件：2_1数学模型和拉氏变换
f
d dt
y(t) =
F (t )
输入量为 F(t) 输出量为 y(t)
8
引介 状态空间方程 质量-弹簧-阻尼动力系统的微分方程 （二阶）
状态方程:
选择状态变量 y(t) = x1(t)
x&1 = x2
x&2
=
−
K m
x1
−
f m
x2
+
1 m
F (t)
y&(t) = x2 (t)
矩阵形式
⎡ ⎢ ⎣
=
t
⋅1(t)
=
⎧t ⎨⎩0
t≥0 t<0
f(t)
则其拉氏变换为：
0
t
∫ ∫ F(s) = L[ f (t)] =
∞ t ⋅ e−stdt
= − 1[te−st
∞ −
∞ e−stdt]
0
s
00
=
−
1 [0 s
−
0
−
1] s
=
1 s2
19
3、等加速度函数
其数学表达式为：
f(t)
f
(t )
=
⎪⎧ 1 ⎨2
数学模型的特点解析法即依据系统及元部件各变量之间所遵循的物理化学定律列写出变量间的数学表达式并经实验验证从而建立系统的数学模实验法是对系统或元件输入一定形式的信号根据系统或元件的输出响应经过数据处理而辨识出系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
数学模型的概念、特点和类型 建立数学模型的方法
数学模型的概念
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ur
(t)
11
LC
d
2uc (t ) dt 2
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拉普拉斯变换的数学方法一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数()t F ，其中0t ≥，则f(t)的拉氏变换记作： 称L —拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当∞→t 时，at Me )t (f ≤，M ，a 为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F （s ）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
1L -—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数 2．单位脉冲函数 3．单位斜坡函数4．指数函数at e 5．正弦函数sinwt由欧拉公式：wt sin j wt cos e jwt += 所以，)e e (j21wt sin jwt jwt--=6．余弦函数coswt其它的可见表2-1：拉氏变换对照表三、拉氏变换的性质1、线性性质 若有常数k 1，k 2,函数f 1(t),f 2(t),且f 1(t),f 2(t)的拉氏变换为F 1(s),F 2(s), 则有：Fk )s (F k )]t (f k )t (f k [L 2112211+=+，此式可由定义证明。
2、位移定理⎩⎨⎧复数域的位移定理实数域的位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a 有)s (F e )]a t (f [L as -=-, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a.证明：⎰∞--=-0st dt e )a t (f )]a t (f [L ，令t-a=τ,则有上式=⎰∞-τ+-=ττ0as )a (s )s (F e d e )(f例：)T t (1T1T 1)t (f --=, 求其拉氏变换 (2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：)a s (F dt e )t (f dt e )t (f e )]t (f e [L 0t )s a (st at at +===⎰⎰∞∞+----例：求wt cos e at -的拉氏变换 3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s), 则)0(f )s (sF )]t (f [L ]dt)t (df [L '+-== 其中f(0+)由正向使0t →的f(t)值。
证：同理可推广到n 阶：当初始条件为0时，即f (0)f '(0)0===L 则有(n)n L[f '(t)]sF(s)L[f (t)]s F(s)==4、积分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则)0(f s1s )s (F ]dt )t (f [L )1(t0+-+=⎰，其中⎰+→t 00t dt )t (f 是在时的值。
证明： 同理可得n阶积分的拉氏变换： 当初始条件为0时，f(t)的各重积分在+→0t 时，均为0，则有 5、初值定理设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数f(t)的初值定理表示为： 证明：由微分定理知：)0(f s1s )s (F ]dt )t (f e e dt )t (f [s 1dte dt )t (f ]dt )t (f [L )1(t 00st0st 0tst t 0+-∞-∞-∞-+=-⋅-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰st st 00st st 00df (t)df (t)L[]e dt e df (t)dt dte f (t)s f (t)e dt sF(s)f (0)∞∞--∞-∞-+===+=-⎰⎰⎰对等式两边取极限：,s ∞→ 则有知 a s 1)s (F +=，求f(0+) 例：已定理知：1a s 1s lim )s (sF lim )0(f s s =+⋅==∞→∞→+ 由初值6、终值定理：若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值定理表示为： 证明：由微分定理知： 令0s →，对上式两边取极限， 这个定理在稳态误差中常用。
例：已知：as 1)s (F )]t (f [L +==，求f(∞) 7、卷积定理设f(t)的拉氏变换为F(s),g(t)的拉氏变换为G(s)，则有t0L f (t )g()d F(s)G(s)⎡⎤-λλλ=⎢⎥⎣⎦⎰式中，tf (t )g()d f (t)g(t)-λλλ=*⎰称为f(t)与g(t)的卷积。
此定理不要求证明。
课堂练习： 1) 求L[t 2]2)求图示正弦波半波函数的拉氏变换3)已知f(t)的拉氏变换为F(s),求at L[e f (t)(t a)]-*δ- 4)已知f(t)的拉氏变换为F(s),求L[f(at)] 四、拉氏反变换的数学方法在已知象函数F(s),求f(t)时，对于简单的象函数，可直接利用表2-1来查，但对于复杂的，可利用部分分式展开法，即通过代数运算将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再求出各个分式的原函数，从而求出总的原函数。
部分分式展开法：对于象函数F(s),常可写成如下形式：)s (sF lim )t (f lim )0(f )0(f )s (sF lim 0)]0(f )s (sF [lim dt e dt )t (df lim s 0t s 0s sts ∞→→++∞→∞+∞→-∞→==-=-=+⎰式中，p1,p2…,pn 称为F(s)的极点，p1,p2…,pn 称为F(s)的零点。
一般A(s)的阶次大于B(s)，若B(s)>A(s),可化为多项式+真分式的形式。
下面分两种情况，研究分式展开法。
1、F(s)无重极点的情况此时，F(s)总能展开成下面的部分分式之和： 其中，分子为待定系数。
例：求F(s)的拉氏变换 解一：1s 12s 3k (s 1)2s 3s 2=-+=+=++解二： 12B(1)B(2)k 2k 1A'(1)A'(2)--====---所以例2 1222s 12k k F(s)s 2s 5s 12j s 12j+==++++++- 若p 1,p 2 为共轭复数，相应的系数k 1 ，k 2也是共轭复数，故只需求出一个即可。
2、F(s)有重极点的情况设F(s)有r 个重极点p 1,其余极点均不相同，则例：求23s 2s 3F(s)(s 1)++=+的拉氏反变换 所以：12t t 2t 321f (t)L []t e e (t 1)e (s 1)s 1----=+=+=+++ 2-2 系统的数学模型一、概述为了分析、研究系统的动态特性，一般情况下，首先要建立系统的数学模型。
1、数学模型的概念我们把描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。
深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型－称建模，只有得到A'(s)2s 3A'(1)1A'(2)1B(1)2B(2)1=+-=-=--=-=较为准确的数学建模，才能设计出性能良好的控制系统。
动态特性控制系统所采用的元件种类繁多，虽然各自服从的规律，但它们有一共同点：即任何系统或元件总有物质或能量流入，同时又有某些物质或能量流出，系统通常又是有贮存物质或能量的能力，贮存量的多少用状态变量来表示。
状态变量是反应系统流入量或流出量之间平衡的物理量，由于外部供给系统的物质或能量的速率是有限的，不可能是无穷大，因此，系统的状态变量有一个状态变到另一个状态不可能瞬间完成，而要经过一段时间。
这样，状态变量的变化就有一个过程，这就是动态过程。
例如，电路中电容上的电压是一个状态变量，它由一个值变到另一个值不可能瞬间完成。
具有一定惯量的物体的转速是一个状态变量，转速的变化也是一个过渡过程，具有一定质量的物体的温度是一个状态变量，它由温度T0变到T，同样有一个动态过程；又如容器中液位也是一个状态变量，液位的变化也要一定的时间。
建立控制系统数学模型的方法有1）分析法－对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统本身所遵循的有关定律列写数学表达式，并在列写过程中进行必要的简化。
建立系统数学模型的几个步骤：•建立物理模型。
•列写原始方程。
利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）•选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。
2）实验法－是根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数据建立数学模型。
即人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。
这种用实验数据建立数学模型的方法也称为系统辩识。
数学模型的逼近1、线性系统和非线性系统1) 线性系统可以用线性微分方程描述的系统。
如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；例：ax(t)bx(t)cx(t)dy(t)++=&&&，其中,a,b,c,d 均为常数。
如果方程的系数是时间t 的函数，则为线性时变系统；线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：系统在几个外力作用下所产生的响应等于各个外加作用单独作用时的响应之和。
可加性：1212f (x x )f (x )f (x )+=+ 齐次性：f (ax)af (x)= 或1212f (ax bx )af (x )bf (x )+=+ 2) 非线性系统用非线性微分方程描述的系统。
非线性系统不满足叠加原理。
例：2y(t)x (t)=就是非线性系统。
实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。
即在实际系统中，变量之间不同程度地包含有非线性关系，如：间隙、饱合、死区、干磨擦特性等。
非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，可进行如下外理： ①线性化 ②忽略非线性因素 ③用非线性系统的分析方法来处理。
3）线性系统和非线性系统的判别 设某系统的微分方程如下：①若方程的系数a i ,b j 都既不是x o (t)和x i (t)及它们的导数的函数，又不是时间的函数，则此方程是线性定常的，此系统为线性定常系统。
②若a i ,b j 是时间的函数，则该方程是线性时变的，此系统称为线性时变系统。
③若a i ,b j 中只要有一个系数依赖于x o (t)和x i (t)或它们的导数，或者在微分方程中出现t r 其它函数形式，该方程为非线性的。
例：12y a (t)y a (t)y u ++=&&&&o o o i x (t)2x (t)4x (t)x (t)++=&&& 线定常2o o o o i x (t)x (t)x (t)x (t)x (t)++=&&& 非线性判断下列微分方程表达的系统是线性系统还是非线性系统？a:y 3y 4y u ++=&&& (线定常) b:23yyy 2y 5u ++=&&&& (非线性) c:12y a (t)y a (t)y u ++=&&&& （线时变） 式中：u:输入信号 y:输出信号 a i (t)：时变系统 3、本课程涉及的数学模型形式时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程 复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性 二、系统微分方程的建立 1、建立微分方程的一般步骤1)分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；2)从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；3)消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程； 4)标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排 2、机械系统微分方程的列写机械系统中部件的运动有直线和转动两种。