拉氏变换习题解答

I
= — + 5厂的尸dt =— +se-'' I心 = s-2 s - 2 _,,,
5s- 9
s -2
(4) & [ / (t)] = f女如 5 ( t) -cost · e-s'dt - f
+oo
o
I s2 sin te-s'dt = COSt ·e-s' I - 1 = I= 1=0 s2 + I s2+1 s2+ I
e
-(s+ 2)t
- (s + 2)
Io
十
=
t s+2
o
( Res > - 2)
s2 。
-st l = — = -— s3 e t= O s2
2
如
2
( Res> 0)
}
+oo
0
sin2te-stdt= - f [ e-(s-2i)t _ e一(s+2i)t] dt 4i 0 - , :2;) = s'~4 (Re, >0)
-
(s .l )
(S +
3 3 =- - e S S
+
1 e s 2 $
(
) .1
e
($
“ +L 2
、）
· 1
g 工户
十
工
工
子
孚
2
1
2
2
. I
$
+.1
订，
-
=- - - e 2s s
3
3
卫~l
s +1
2
e
竺
2
o>
& u·(1)J= fo.,,,[e2'+ sou)
I
k" dt =f "'e2'e-"dt +sI。f(t)产dt
= 丿 F(乌
a a
特别&
3. 若& [/(t)] = F(s) , 证明 F'"\s)=& [(- t)"f(t)], Re(s) > c 。 f(t)
[tf(t)]= - F'(s),
或
I =- & - t[F'(s) ] ,
t
并利用此结论，计算下 列各式：
<1) f(t) = te-3 'sin 2t, 求 F(s): ( 2 ) f(t) = tf' e-31 sin 2tdt, 求 F(s):
&员）~ = & [e-21sin6t]=
6
(s +2)2 +36
这里 有
& [sin 6t] =
再利用位移性质得到
6
s2 +36
(8) 同 (7) 利 用& [cos4t]=
s
s2+16
及位移性质
& [r(t)口[ e-4' cos4t] ==
s+4 (s +4)2 +16
( 9) 利用& [t· ]= ___±_及位移性质得 , +I
1 1 - e-<,-i>" -
I - e-<, 打） "
s+i)=l-e 压 s2 =言节订 °
f(t)
I
I+e-f/S +l
(1)
凡）
b
(2)
zzz
b 2b 3b
。
4b
冗
2冗
。
(3)
.f(t)
I I I I I I
_
Sa
(4)
八t)
I
I
I
,---,
I I
I
b
。
I
a
, , , , , ,
-1
解
_
-1 - :
(3)
C -
d2 d & [八t)] = &[ (t - 1)2 / ] = &[ (t2 - 2t + l)/ ] =—& [e' ] +2 — &[e1] + &[i ] 2 ds ds
=
s2 -4s+5 (s - 1 )3
(4) (5)
1 d 1 &加）］＝ ＆［卢sin at] 士& [tsinat] = 一五忑& [sin at] = 一百（三叶 (s2:a2)2
e一(s-k)t 厂 e一 (s+ k)t l 如
=
2[
1
- (s - :) + - (s
+:) ) 分c~k 十： 炉
= s' ~
(Res> max{k, - k})
叩 [/(t)] 寸厂cos2 t - e-s'dt 叶厂 (1 + cos 2中Sldt
= ½(r勹-stdt+£"'cos2t· e-stdt) =½ (¾ + s2 :4) = s(:\:~)
&加）] = &[t cos at] = 一 五& [cos at] = - c
2 : a2
l
= (:22: : 22
(6) & [r(t)]=& [5sin2t - 3 cos2t]=5& [sin2t]- 3& [cos2t] =
(7)
IO 3s I0 - 3s = s2+4 s2+4 s2+ 4
s
&
[凡）］＝＆［广e"' ] =
(s- a.)'"1
n!
-5-
(10) 解浩 1 由 u{3t-5)=1~:]
3
=
解法 2 由相似性质
＋中
5
&[f(t)] = & [u(3t -5)]= i。;., u(3t-5归-11dt
Is e_,, dt =
3
e-" I s -s
I=一 3
十中
-鸟
=二 s
如 (e 2
-e
2 )e咄
dt
=
L(e
g
e
i( sJ I 2
、丿
rlllllllllll ($ I _g
dt =
e
o
. I
e
( s+
t _+8
I -
与
与
2+
2
飞[,~1一言］飞::ti:t)
=
$
，今
1
1
0
、丿
s _ 2
s _ 2
一
. l
－凶
如
－凶
-
_ 2+
4
l-= 4s? - +l
2
(Res> 0)
｀丿、
解 (l)&
(2) & [J(t)] = ( 00 e-2te-stdt =厂 e-cs+2J1 dt =
o
叩 [.f(t)] 寸00 t2e-st dt = -二f厂 ＋ 打00 2te -SI dt = _ 2 te一st I也 +2 厂产dt
。 s 。 s 。 s2
t = i。 sintcoste-s'dt= - J 叩[/ ()]
:-－|.,｀.|.、
f
i `l '
=
O~t <a o,l, a~t <2a
,
I
,
：尸，｀，
,
2a~t < 3a 3a :s; t < 4a
。
由公式
& [t'(,)l = , _ ; -4(1$ I。:((丿户(t)e-s'dt = 1_ ; _4 ,,s
l
i -
[I。:l e-S(d( + J:J-1}广Sid(]
& [八）] = I = l - ,-, ·1
, _ ;-2芯 I。“心 s'dt = I 一 ；立心 fJin t 产dt
"ei1_ e-i1 2; l ,-• d1 =I-,-,
飞i
心 石[ +:r- -(,.:r]
1 e一(s一i)t r
e屯+ i)I
I"
=1-e 压 石(s-i
4 求下列各图所示周期函数的拉氏变换
}
+oo
=i[勹:~2\~ 一 ~;::2q =点(,~2;
kt 玉
~e 亡dt = ½U。如 e一(s-k)'dt - Ii;也 e一(s+k)tdt)
(Re s> max{k, - k})
(6) &
[ f (t)] = (OQcosh kte-s'dt=f。七o e1a ~ e-1a e-s,dt = ¾(1。如 e一(s-k)tdt + i。如 e一(s+k)I dt)
2) 利用＆ ［勹卫勹及位移性质
sz si
& [f(t)] = &
[分］ ＝ 吕
a a
1 s 2. 若& [f(t)] = F(s), a 为正实数，证明 （ 相似性质） & [/(at)]= - F(一） 。
证
& [急f(at)] =厂f(at)e-s'dt =丿厂f(at)e一； m d(at) o a o
3. 设 J(t) 是 以 江 为周 期的函 数，且在一 个周 期 内 的表达式为
凡） = {5in t,
0,
冗<
0 < t~ 冗 t < 2冗
， 求& [r(t)]
-2-
解
周期为 T 的函数 j切 的拉氏变换为
&
因此有
[/(t)} = l- e-sr I 『 八少st dt,{Res > 0) o
3
& [讥3t)] =-· —=3 s 3
I
I
I
s
由位移性质
＆仙31-5)]=& (u[3(气）Ji = e+ &[u(3t)]-三
s
( 11 ) 因为 u(l - e一' )={1' 1-e一I> 0,
0,
1-e一I<
0,
f f
>0 <0
所以
＆圆）J= I: 八t)e-"dt=I。飞"dt =~
(I
le l
4"$
' \ ”,
c“
,}
$I
30LS
、
2
`,'
eT
பைடு நூலகம்
s
"
-s
_ l
e
+
3 e 2 as es
心
」-）
心
动
＝气主罕丿 ＝主望启二
= l l- e-2"5 = 1 tanhas s(l + e-"s)· 1+e-Zas s(l +e-as)
(4) 由 图易知，八） 是周期为 2b 的周期函数在一个周期内
伪 [- ~主产 - 1)] = 1- : 加 妢 -bse-bs : 21- e-bs - bs
可
b
＝罕S
f(t)=sint,
O ~t< 冗
-3-
& [兀） ] =
I r sinte-Sldt= 1-e-bs O
l
1- e一汀s
I
I +e吓
I + s2
=
I + s·
· ,, coth
冗S —
2
(3) 由图可知 几）是周期 T = 4a 的周期函数在一个周期内 1
。
J切= {
由 公式
1, - I,
0 S:t < b b s; t < 2b
f(t)e -" dt = ＆屈）］ ＝ l- e-2bs ）广 -2bs (Io e-sldt + 庄巾-''dt) O . 1- e b l __ |21 b
b
=
SI le e
l
ibs
-
I __ S
e SIb
s
_i
l
l
e
2
(5) & [ f (t)] = Jo+ "'sinh kte-stdt =f。如 e
＝；（勹s~飞 -·~;::IJ 飞(6-奇卢
-l -
、,
= i h kt. '
(7)/ (t) = cos2t;
一 ,,
i\
I
'
[ / () t ] =
f
如
O
sm2e-s,dt = fo
(s ·1 I 2
、丿
. t
3 =— 2 + i车 - Se-SI 1 t=O
工 .,,,
f:
ei' + e-i, 3 3 -竺 1 如 2 亡 dt = 了了 2 +2 ff (e-<s一i)I +e一(S4i)I )d/
T$
3 3 =- - e S s
+
l 2
-e I
R .l )I |
． 于
eTs
+
-
.I )I
|
／飞
_ _
2b
3b 4b
Sb :
(1) 由图易知八）是周期为 b 的函数且在一个周期内的表达式为
由 公式
(2) 已知 .f(t) 是周期 T= 冗的周期函数在一个周期内
由公式
。
4a
-1
八） = t,
o::; t < b
& [/'(t)] = 1-:-bs
l。>e-st dt = 1_ : -bs [-~te-bf : -(-~)l。~ e-''dt]
s +
2bs e es
伈
。
} 一
e
s
耳
-
= - ·
1 (l -
s
= - tanh .1 -e-2bs s 2
e-fo )
2
l
—
bs
习题二
I.. 求下列函数的拉氏变换 式
( I)
f (t) = t 2 + 3t + 2
f(t)=(t -1)切
(2) J(t) = l-te'
t (4) 八） ＝ — sin at
+ 1) 解 (l) 利用＆们 = r(a a +I ,a > -1'
s
`
&[!(,)] • &
2 s 3 s
[1'+31 +2]=& 厅]+3& [1l]+2 & [1]
2 s
＝飞－ ＋ 飞－＋－
I I I c2) & [r伈] = & [1-te1]= & [1]- &~e' ] = .!. + 土& i =_!_ - — -= - s ds [ ] s l) s (s - l)2
(8)& [ /
(Res >0)
(t)] = l厂sin2 t -e-stdt=½ 厂(l -cos 2t~-s'dt
= ½(I。如 e-s'dt-i厂cos2t · e-stdt) = ½( } - s2 :4 )= s(s/+ 4)
2. 求 下列函 数的 拉 氏变换
(Res> 0)
(I)几）＝｛一I,
3,
O~t < 2
t <
冗一 2
0,
2 SI< 4; t;:: 4 .
(2)
J(t) ={ 3' cost,
t>
冗一 2
(3) f (t) = e2' +5o(t} ;
解
(4) J(t) = o(t)cos t - u(t)sin t
~ 3e-st ( 3e-s' ,~1 ( I) & [r(t)] = I:"" f(t)e-SI dt = I.。>e-s'dt-Ji e-stdt = 0+ 2=- (3-4e-2' +e-~') -s s s (2) & [r(t)] = l厂八I)e-,, di = 3e-stdt +fi心 COS{·e-stdt
拉氏变换习题解答
习题一
］．求下列函数的拉氏变换，并用查表的方法来验证结果 .
f f .l m6 t t ss nn = . ,
, i, ! 、
t-2
(2)/ (t) =e-21; (6) f(t) =cosh kt; i1
(3)/(t)=t气
(4) f ( t) = sin tcost; (10) f(t) =cos2 t
(3)
2a
<s) f (t) = tcosat
(6) f (t) = 5sin 2t-3cos2t
-4-
(7 ) 八） = e-21
sin 6t
<8)
/
(t) = e-4' cos 4t
( 9) 凡） = t"e"'
0) J(t) = u(3t - 5) (1
e3' ( 12) 几） ＝ —
( 1 1 ) 八） =u(!-e一' )