拉氏变换习题解答
控制工程2习题解答
二题目：已知()t t f 5.0=，则其()[]=t f L 【 】A. 25.0s s +B. 25.0sC.221sD. s 21 分析与提示：由拉氏变换的定义计算，可得()[]215.0s t f L = 答案：C题目：函数f (t )的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：拉氏变换定义式。
答案：dt e t f st ⎰∞-0)(题目：函数()atet f -=的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：拉氏变换定义式可得，且f(t)为基本函数。
答案：as +1题目：若te t tf 22)(-=，则()=)]([t f L 【 】A.22+s B.3)2(2+s C.22-s D.3)2(2-s 分析与提示：拉氏变换定义式可得，即常用函数的拉氏变换对，3)2(2)]([+=s t f L答案：B题目：拉氏变换存在条件是，原函数f(t)必须满足 条件。
分析与提示：拉氏变换存在条件是，原函数f(t)必须满足狄里赫利条件。
答案：狄里赫利题目：已知()15.0+=t t f ，则其()[]=t f L 【】A. 25.0s s +B. 25.0sC.ss 1212+D. s 21分析与提示：由拉氏变换的定义计算，这是两个基本信号的和，由拉氏变换的线性性质，其拉氏变换为两个信号拉氏变换的和。
()[]s st f L 115.02+= 答案：C题目：若()ss s s F ++=214，则()t f t ∞→lim )=( )。
【 】 A. 1 B. 4C. ∞D. 0分析与提示：根据拉氏变换的终值定理)(lim )(lim )(0s sF t f f s t →∞→==∞。
即有414lim )(lim 20=++=→∞→ss s st f s t答案：B题目：函数()t et f atωcos -=的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：基本函数t ωcos 的拉氏变换为22ω+s s，由拉氏变换的平移性质可知()[]()22ω+++=a s as t f L 。
拉普拉斯变换、复频域分析习题课
拉普拉斯变换、复频域分析习题课1. 求下列函数的拉氏变换。
（1）1at e-- （2）sin 2cos t t + （3）2t te - （4）sin(2)t e t -（5）(12)t t e -+ （11）1()t t e e αββα---- （13）(2)(1)t te u t --- （15）()ta t e f a-，设已知[()]()L f t F s = 解：（1）11[1]()at a L e s s a s s a --=-=++ （2）2221221[sin 2cos ]111s s L t t s s s ++=+=+++ （3）221[](2)t L te s -=+ （4）22[sin(2)](1)4t L e t s -=++ （5）23[(12)](1)ts L t e s -++=+ （11）11111[()]()()()t t L e e s s s s αββαβααβαβ---=+=--++++ （13）由于(2)(1)(1)(1)[(1)](1)t t t teu t e t e e u t -------=-+- （15）[()](1)ta t L e f aF as a-=+2求下列函数的拉氏变换，注意阶跃函数的跳变时间。
（1）()(2)tf t e u t -=- （2）(2)()(2)t f t e u t --=- （3）(2)()()t f t e u t --= （4）()sin(2)(1)f t t u t =-（5）()(1)[(1)(2)]f t t u t u t =----解：（1）因为(2)2()(2)t f t ee u t ---=-，所以 222(1)11[()]11s s L f t e e e s s ---+==++ （2）21[()]1s L f t e s -=+ （3）因为2()()t f t e e u t -=，所以2[()]1e Lf t s =+ （4） ()sin[2(1)2](1) {sin[2(1)]cos 2cos[2(1)]sin 2}(1)f t t u t t t u t =-+-=-+-- 2222cos 2sin 22cos 2sin 2[()]()444s s s s L f t e e s s s --+=+=+++ （5）()(1)(1)(2)(2)(2)f t t u t t u t u t =-------222221111[()][1(1)]s s s s s L f t e e e s e e s s s s-----=--=-+ 3求下列函数的拉普拉斯逆变换。
自动控制原理-夏超英-第2章+习题解答
第二章 习题解答2-1试求下列各函数的拉氏变换。
（a ）()12f t t =+，（b ）2()37()f t t t t δ=+++，（c ）23()2ttt f t e ete ---=++，（d ）2()(1)f t t =+，（e ）()sin 22cos 2sin 2tf t t t e t -=++，（f ）()2cos tf t te t t -=+，（g ）()sin32cos f t t t t t =-，（h ）()1()2cos 2f t t t t =+ 解：（a ）212()F s s s =+（b ）23372()1F s s s s=+++（c ）2121()12(3)F s s s s =+++++ （d ）2()21f t t t =++，3221()F s s s s=++（e ）222222()44(1)4s F s s s s =++++++ （f ）2222211621()11(1)s d s s F s s ds s s ⎛⎫ ⎪++⎝⎭=+=++++ （g ）2222222223262231()(3)(1)s d d s s s s F s ds ds s s ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=-+=-++（h ）2222211684()(4)s d s s F s s ds s s ⎛⎫ ⎪++⎝⎭=+=++2-2试求图2.54所示各信号的拉氏变换。
（a ） （b ） （c ） （d ）图2.54 习题2-2图解：（a ）021()t s e X s s s -=+（b ）000221()t s t se e X s t s s s--=-+- （c ）33112212()()t s t st s t s t s t s t s t s a ae be be ce ce a b a c b ce X s e e s s s s s s s s s s----------=-+-+-=++-（d ）11()1()1()1()()1()1()11()1()(2)1(2)1(2)1111()21()2()1()(2)1(2)1(2)x t t t T t t t T t T t T T Tt T t T t T t T t T T Tt t T t t T t T t T t T t T T T T=--+--------+--+-=-⨯-+---+--+-所以22222222211111111()222Ts Ts TsTsTs Ts s s s e e e e T T T X s e e s s T s T s T s s s s s------+++=-+-++=-+2-3运用部分分式展开，求下列各像函数的原函数。
拉氏变换习题解答
2b
3b 4b
Sb :
(1) 由图易知八）是周期为 b 的函数且在一个周期内的表达式为
由 公式
(2) 已知 .f(t) 是周期 T= 冗的周期函数在一个周期内
由公式
。
4a
-1
八） = t,
o::; t < b
& [/'(t)] = 1-:-bs
l。>e-st dt = 1_ : -bs [-~te-bf : -(-~)l。~ e-''dt]
(8)& [ /
(Res >0)
(t)] = l厂sin2 t -e-stdt=½ 厂(l -cos 2t~-s'dt
= ½(I。如 e-s'dt-i厂cos2t · e-stdt) = ½( } - s2 :4 )= s(s/+ 4)
2. 求 下列函 数的 拉 氏变换
(Res> 0)
(I)几）＝｛一I,
e
-(s+ 2)t
- (s + 2)
Io
十
=
t s+2
o
( Res > - 2)
s2 。
-st l = — = -— s3 e t= O s2
2
如
2
( Res> 0)
}
+oo
0
sin2te-stdt= - f [ e-(s-2i)t _ e一(s+2i)t] dt 4i 0 - , :2;) = s'~4 (Re, >0)
& [八）] = I = l - ,-, ·1
, _ ;-2芯 I。“心 s'dt = I 一 ；立心 fJin t 产dt
复变函数拉氏变换部分习题解答分析(复拉)(精品)
得z =
+ iy =
1 u+iv
=
u u2 +v 2
−
v i. u2 +v 2
v 又由 y = 1 得 − u2 + = 1, u2 + v 2 + v = 0. v2 π 3
4.求角形域 0 < arg(z ) < 解 arg(w) = arg(¯ z ), 解 将x = 一 判断题
z +¯ z 2 ,y
作业卷（二） 1.若 f ′ (z ) 在区域 D 内处处为零, 则 f (z ) 在 D 内必恒为常数. √ . 在 D 内 f ′ (z ) = ux + ivx ≡ 0, ux = vx = 0. 从而 vy = ux = 0, uy = −vx = 0. 综上结论成立. 2.若 u(x, y ) 和 v (x, y ) 可导,则 f (z ) = u + iv 也可导. 1
= 0, 1, 2, z = −3,
3 2
±
3 2
√
3i.
4.复变函数 w =
z −2 z +1
的实部 u(x, y ) =
, 虚部 v (x, y ) =
x2 −x+y 2 −2 , (x+1)2 +y 2 π 4
. v (x, y ) = .
3y . (x+1)2 +y 2
分析:将 z = x + iy 代入, 分离实部、虚部, 得 u(x, y ) = 5.设 z1 = 2i, z2 = 1 − i, 则 Arg(z1 z2 ) = 分析: arg(z1 ) = π , arg(z2 ) = − π 4 , Arg(z1 z2 ) = √ 2 6.复数 z = − 12 − 2i 的三角表示式为 分析: 4[cos(− 5 6 π) + i sin(− 5 6 π )], 4e
拉普拉斯变换
(d)
et2 u(t)
(e)
eet u(t)
(f)
x(
t)
=
⎧⎪e−t ⎨⎪⎩et ,
, t
t<0 >0
解： (a) 存在 1 ， Re{s} > 0 s2
(b)
(c) 存在
(s
1 + 2)2
， Re{s} >
−2
(d) (e) (f)不存在
6.若已知℘{u(t)} = 1 ，收敛域为 Re{s} > 0 ，试利用拉氏变换性质，求下列信号的拉氏变 s
(h)
x(t)
=
⎧⎪e−2t ⎨⎪⎩e3t ,
, t
t>0 <0
解：(a) σ 1 , Re{s} > a ，见图(a) s−a
(b)
1 , Re{s} > a , 见图(a)
(s − a)2
(c) − 1 , Re{s} < −a ,见图(b) s+a
(d) − s , Re{s} < −a , 见图(c) s2 + Ωc2
∫ s
= +∞ sin t[u(t) − u(t − π)]e−stdt =
1
− e−sπ ⋅
1
1− e−sT =
−∞
s2 +1
s2 +1 s2 +1
3. 对图 P6.3 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。
(a) x(t)的傅立叶变换存在。 (b) x(t)e2t 的傅立叶变换存在
(c) x(t) = 0, t > 0 (d) x(t) = 0, t < 5
图(b), −3 < Re{s} < 3
复变函数与积分变换第8章Laplace变换
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复数函数与积分变换
14.计算以下积分.
15.求以下卷积.
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复数函数与积分变换
16.利用卷积定理证明 17.利用卷积定理证明
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18.试求以下积分方程的解.
19.设在原处质量为m的一质点在t=0时，在x方向上受到冲击力kδ(t)
的作用，其中k为常数，假定质点的初速度为零，求其运动规律.
从上面例子可以看出，Laplace变换存在的条件要比Fourier变换存在的条 件弱得多,下面讨论Laplace变换的存在问题.
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复数函数与积分变换
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定义8.2设函数f(t)在实变数t≥0上有定义，假设存在两个常数M>0及σ>0, 对于一切t都有
成立，即f(t)的增长速度不超过指数函数，那么称f(t)为指数级函数，σ 为其增长指数.
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复数函数与积分变换
(2) 原函数的微分性质
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这个性质使f(t)的微分方程转为F(s)的代数方程，因此它对分析线性系统有 着重要作用.现在利用它推算一些函数的Laplace变换. 例8.9利用Laplace变换的性质求f(t)=cos kt的Laplace变换。
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复数函数与积分变换
该公式也称为Laplace反演公式，右端的积分称为Laplace反演积分,这里的 积分路径是平行虚轴的任一直线Re s=c.
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复数函数与积分变换
定理8.4
例8.19求
的Laplace逆变换.
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复数函数与积分变换
例8.20 此题也可用留数理论来做.
控工课后习题
★1.试求下列函数的拉氏变换：(1)f(t)=(4t+5) δ(t)+(t+2)·1(t); 解：F(s)=L[(4t) δ(t)]+L[5δ(t)]+L[t ·1(t)]+L[2·1(t)] =0+5+1/S 2+2/S=5+2/S+1/S 2(2)f(t )=sin(5t +3π)·1(t); 解：F(s)=L{[sin5t cos3π+cos5t sin3π]·1(t)}=L[21sin5t ·1(t)+23cos5t ·1(t)] =)25(2532++S S(4)f(t)=[4cos(2t-3π)]·1(t-6π)+t e 5-·1(t);解：F(s)=L{[4cos2(t-6π)]·1(t-6π)+t e 5-·1(t)}=22624+-s se s π+51+s =4426+-s se s π+51+s (7)f(t)=te6- (cos8t+0.25sin8t) ·1(t);解：F(s)=L[te6-cos8t ·1(t)+0.25te6-sin8t ·1(t)]=228)6(6+++s s +228)6(2++s =1001282+++s s s(2-(2))F(s)=412+s ; 解：f(t)=L -1{21×2222+s }=21sin2t ·1(t)★2-3.用拉氏变换法解下列微分方程：(1)22)(dt t x d + 6dt t dx )(+8x (t)=1,其中x(0)=1, 0)(|=t dtt dx =0;解：对原方程取拉氏变换，得 S 2X (s)-s x (0)-)0(x+6[s X (s)-x (0)]+8X (s)= s1将初始条件代入，得S 2X (s)-s+6s X (s)-6+8X (s)= s1(S 2+6s+8)X(s)=s1+s+6X(s)= )86(1622++++s s s s s =s 81+247+s +487+s取拉氏变换，得x(t)=81+47t e 2--87te 4-(2)dt t dx )(+10x(t)=2,其中x(0)=0;解：对原方程去拉氏变换，得s X(s)-x(0)+10X(s)= s2将初始条件x(0)=0代入，得s X(s)+10X(s)=s2由此得 X(s)=)10(2+s s =s0.2-100.2+s取拉氏变换，得x(t)=0.2(1-te10-)(3)dt t dx )(+100x(t)=300,其中0)(|=t dtt dx =50. 解：当t=0时，将初始条件)0(x=50代入方程，得 50+100x(0)=300 则x(0)=2.5对原方程去拉氏变换，得sX(s)-x(0)+100X(s)=s300将x(0)=2.5代入，得sX(s)-2.5+100X(s)= s300由此得X(s)= )100(3002.5s ++s s =s 3-1000.5+s取拉氏变换，得x(t)=3-0.5te100-★2-6化简图所示的方块图，并确定其传递函数。
8复变函数课后题答案（中国石油大学）
习题八答案 1． 求下列函数的拉氏变换：(1) 3,,2()cos ,;2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 解：由拉氏变换的定义知：22220231[()]3cos 1.1s s st stL f t e dt etdt e e s s ππππ+∞−−−−⎛⎞=+=−−⎜⎟+⎝⎠∫∫(2) ()cos ()sin ().f t t t t u t δ=⋅−⋅解：由拉氏变换的定义以及单位脉动函数的筛选性质知：0202221[()]cos ()sin ()cos |111.11st st st t L f t t t e dt t u t e dt t e s s s s δ+∞+∞−−−==⋅⋅−⋅⋅=⋅−+=−=++∫∫2. 求下列函数的拉氏变换：(1)2()1;f t t =−解：由拉氏变换的线性性质知：2332!121[()][][1].L f t L t L s s s s=−=−=− (2) ()1;tf t te =−解：由拉氏变换的线性性质和位移性质知：211[()][1][].(1)t L f t L L te s s =−=−− (3) ()cos ;f t t t =解：法一：利用位移性质。
()cos .2it ite ef t t t t −+==由拉氏变换的位移性质知：222211111[()][][].222()()(it its L f t L te L te s i s i s −⎡⎤−=+=+=⎢⎥−++⎣⎦211) 法二：利用微分性质。
令 则()cos ,g t t =2221()[()],'().1(s s G s L g t G s s s −===++21) 由拉氏变换的微分性质知：[cos ][()]'().L t t L tg t G s ==−即 2221[()].(1)s L f t s −=+ (4) 2()sin 6;tf t et −=解：因为 26[sin 6],36L t s =+ 故由拉氏变换的位移性知：26[()].(2)36L f t s =++ (5) 2()cos ;f t t = 解：1cos 2().2tf t +=故22211112[()][][cos 2].22224(4)s s L f t L L t s s s s +=+=+⋅=++ (6)()(1);tf t u e −=−解：因为1,10(1),0,10ttte u e e −−−⎧−>⎪−=⎨−<⎪⎩ 即： 1,0(1).0,0t t u e t −>⎧−=⎨<⎩ 故01[()]1.st L f t e dt s+∞−=⋅=∫(7) 2()(1);tf t t e =−解：22()(1)2.ttttf t t e t e te e =−=−+ 法一：利用拉氏变换的位移性质。
机械控制工程基础第二章2习题解答
题目：函数 的拉氏变换L[f(t)]=。
分析与提示：此为基本函数，拉氏变换为 。
答案：
题目：拉氏反变换的求法有多种方法，其中比较简单的方法是由 查拉氏变换表得出及。
分析与提示：拉氏反变换的求法有多种方法，其中比较简单的方法是由 查拉氏变换表得出及部分分式展开法。
答案：部分分式展开法
题目：已知 ，则其 为多少？
答案：错
题目：传递函数的定义中包括三个基本要素：、、输出与输入的拉氏变换之比。
分析与提示：传递函数的定义中的三个基本要素为：线性定常系统、零初始条件、输出与输入的拉氏变换之比。
答案：线性定常系统、零初始条件
题目：零初始条件的含义是什么？
分析与提示：输入及其各阶导数，输出及其各阶导数在0时刻均为零。
答案：（1）输入在 时才开始作用于系统，即输入及其各阶导数在 时刻均为0；
A．线性定常系统
B．线性系统
C．非线性系统
D．非线性时变系统
分析与提示：数学模型表达式是线性的系统称为线性系统，题目表示的微分方程不是线性的，故不是线性系统。
答案：C
题目：定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的数学表达式称为系统的。
分析与提示：数学模型是定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的数学表达式
答案：C
题目：传递函数框图中的环节是根据动力学方程来划分的，一个环节代表一个物理元件（物理环节或子系统），一个物理元件就是一个传递函数环节。
分析与提示：传递函数框图中的环节是根据动力学方程来划分的，一个环节并不一定代表一个物理元件（物理环节或子系统），一个物理元件也不一定就是一个传递函数环节（也许几个物理元件的特性才组成一个传递函数环节，也许一个物理元件的特性分散在几个传递函数环节中）。
《控制工程基础》第3版-课后答案解析
lim e(t)
s0
lim
s0
sE(s)
lim s s0 1
G(s)
Xi (s)
所以，输入为 xi2 sin 6t 1(t), ess2 0.8
（对此题来说，还有一种办法：如果记得对于一阶惯性环节， 当输入为阶跃函数，t=4T时输出为输入的98%，则由放入水 中1min时为输入的98%可直接得出： T=1/4=0.25（min)
uo (30) 1 e 4 1V
arctan 1 2 arccos , cos
arctan 1 2 arccos , cos
3—19单位阶跃输人情况下测得某伺服机构的响应为
试求：(1)系统的闭环传递函数； (2)系统的无阻尼自振角频率及阻尼比。
解：ui (t) i(t)R1 uo (t)
uo (t)
1 c
i(t)dt i(t)R2
对方程式进行拉氏变换得：
U
i
(
s)
I (s)R1
UO (s)
UO (s)
1 Cs
I (s)
I (s)R2
Uo (s) R2Cs 1
消去I(s),得：Ui (s) (R1 R2 )Cs 1
Ds( x2 xo ) k2 xo
x2
Ds k2 Ds
xo
k1 x1
k1Ds k1k2 Ds
xo
k2 xo
(k1Ds k2 Ds k1k2 ) xo k1Dsxi
X o (s)
k1Ds
X i (s) (k1 k2 )Ds k1k2
习题课-拉氏变换
1 1 1 F ( s) = F δ( t) + f3 ( 0− ) = ∴ 3 s s s 这是应用微分性质应特别注意的问题。 这是应用微分性质应特别注意的问题。
12
(3)
f1′( t) =3 ( t) δ
t
f 2′ ( t ) = δ ( t )
( 1) o
f 3′ ( t ) = δ ( t )
x3 (t ) 1
o 1 2 3
t
14
解：Y( s) =Y ( s) +Y ( s) =Y ( s) +H( s) F( s) x f x
Y ( s) =Y ( s) +Y f ( s) =Y ( s) +H( s) X1 ( s) 1 x 1 x 1 =Y ( s) +H( s) =1+ x s +1 Y2 ( s ) = Yx ( s ) + Y2 f ( s ) = Yx ( s ) + H ( s ) X 2 ( s )
f (t )
1
o
ROC：整个s平面 ：整个 平面
1
2
6t
方法三： 方法三：利用微分性质求解 信号的波形仅由直线组成， 信号的波形仅由直线组成，信号导数的拉氏变换 容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号， 容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这 时利用微分性质比较简单。 时利用微分性质比较简单。 微分两次，所得波形如图9-2（ ）所示。 将 f ( t)微分两次，所得波形如图 （b）所示。
1
2
2
1 −s 1 −s 1 2 −2s −s 1 −2s −s 1 −2s 1 −s =− e + e − − ( e −e ) + 2e −e + e − e s s s s s s s 1 −s 2 = 2 (1−e ) 5 ROC：整个 平面 ：整个s平面 s
信号与系统习题解答 (4)
(h) 由1 Re{s} 0, x(t)应为双边信号
x(t )
L -1 X
(s)
L
-1
s(s
s 1 1)( s
2)
L
-1
1/2
s
1/2 s2
1 2
u (t )
1 2
e 2t u (t )
7.11 已知因果系统的系统函数 入x(t)的零状态响应。
H
(s)
s2
s，1求系统对于下列输
（e） (f)
L {teatu(t)}sin
0 (t
)u(t)}
e e e e j0 j0t
j0 j0t
L{
2j
u(t)}
e e j0 j0t
e e j0 j0t
L{
u(t)} L {
u(t)}
2j
2j
e j0
1
e j0
1
s sin 0 0 cos0
X (s) (s 3) y(0) y`(0)
Y (s) s2 3s 2
s2 3s 2
Yx (s)
s2
X (s) 3s
2
s2
1 3s
2
2 s
1 s
2 s 1
s
1
2
yx (t) 1 2et e2t u(t)
1) 5s
6
L
-1
(s
(s 1) 2)(s
3)
L
-1
(
1 s 2)
(s
2
3)
e 2t u (t )
2e 3t u (t )
(f) 由0 Re{s} 1, x(t)应为双边信号
x(t )
控制工程基础习题解答2
控制工程基础习题解答第二章2-1．试求下列函数的拉氏变换，假定当t<0时，f(t)=0。
(1).()()t t f 3cos 15-= 解：()[]()[]9553cos 152+-=-=s ss t L t f L (2). ()t et f t10cos 5.0-=解：()[][]()1005.05.010cos 25.0+++==-s s t eL t f L t(3). ()⎪⎭⎫⎝⎛+=35sin πt t f 解：()[]()252355cos 235sin 2135sin 2++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=s st t L t L t f L π 2-2．试求下列函数的拉氏反变换。
(1).()()11+=s s s F解：()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=---11121111s k s k L s s L s F L()10111==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=s s s s k ()()111112-=-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=s s s s k()[]te s s L s F L ----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=111111 (2).()()()321+++=s s s s F解：()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=---3232121111s k s k L s s s L s F L()()()1223211-=-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=s s s s s k ()()()2333212=-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=s s s s s k ()[]tt e e s s L s F L 231123221-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=(3).()()()2222522+++++=s s s s s s F 解：()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=---22222225232112211s s k s k s k L s s s s s L s F L()()()22222225221-=-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=s s s s s s s k ()()()3331331222222513223222232==-=---=-+---=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=--=+k k jjjjk k k j s s s s s s s s j s k s k ()[]()()t e e s s s L s s s s L s F Ltt cos 32111322223322221211-----+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++-=2-3．用拉氏变换法解下列微分方程（1）()()()()t t x dt t dx dt t x d 18622=++，其中()()00,10===t dt t dx x 解：对方程两边求拉氏变换，得：()()()()()()()()()()()()()()()()()[]()0,8747818747814242168616181618060042132132122222≥-+==-===++++=++++=++++==+-+-=+-+=-----t e e s X L t x k k k s k s k s k s s s s s s s s s s s X ss X s sX s s X s ss X x s sX t dt t dx sx s X s t t（2）()()210=+t x dtt dx ，其中()00=x 解：对方程两边求拉氏变换，得：()()()()()()()()()[]()0,515151511010221021001012121≥-==-==++=+==+=+---t e s X L t x k k s k s k s s s X s s X s sX ss X x s sX t（3）()()300100=+t x dtt dx ，其中()500=x 解：对方程两边求拉氏变换，得：()()()()()()()()()[]()0,4734731001003005030010050300100010012121≥+====++=++==+-=+---t e s X L t x k k s k s k s s s s X ss X s sX s s X x s sX t2-4．某系统微分方程为()()()()t x dtt dx t y dt t dy i i 322300+=+，已知()()0000==--i x y ，其极点和零点各是多少？解：对方程两边求拉氏变换，得：()()()()()()()()()()()233223323022030000-=-=++==+-=+-z p i i i i s s s s s X s Y s G s X x s sX s Y y s sY2-5．试求图2-25所示无源网络传递函数。
第十五章 拉普拉斯变换典型习题解答与提示.
第十五章 拉普拉斯变换典型习题解答与提示习 题 15-11．（1）提示：2()f t t =， ￡20[()]()ptpt f t f t edt t e dt +∞+∞--==⎰⎰，求广义积分后可得￡32[()]f t p =，(0)p >； （2）提示：4()tf t e -=，￡40[()]()pt t pt f t f t e dt e e dt +∞+∞---==⎰⎰，￡1[()](4)4f t p p =>-+； （3）因302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩，则￡242[()]()3(1)ptptpt f t f t edt edt e dt +∞---==+-⎰⎰⎰24024,(0)31,(0)pt pt p e e p p p --=⎧⎪=⎨-+≠⎪⎩4234,(0)4,(0)p pe e p pp --⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩； （4）因()tf t te -=， 则￡2(1)(1)0001[()]()1ptp tp t f t f t edt tedt td e p +∞+∞--+-+⎛⎫===- ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰ (1)(1)0111p t p t te e dt p p +∞+∞-+-+=-+++⎰ (1)21(1)(1)p tep p +∞-+=->-+21(1)(1)p p =>-+。
2．（1）￡231[()](263)(0)f t p p p p=+->； （2）￡2262[()](0)41pf t p p p =->++； （3）因()1tf t te =+，则￡[()]f t =￡(1)+￡()tte1(1)[p=+-￡()]t e ' （微分性） 222111(1)(1)(1)p p p p p p p -+=+=>--； （4）因3()sin 4tf t e t =，又因￡24(sin 4)()16t F p p ==+，则由位移性知￡24[()](3)(3)(3)16f t F p p p =-=>-+； （5）方法一 因22()tf t t e-=，又￡232[]()(0)t F p p p ==>，则由位移性知 ￡32[()](2)(2)(2)f t F p p p =+=>-+； 方法二 因￡21(),(2)2tep p -=>-+，则由微分性知 ￡2312[()](1)(2)2(2)f t p p p ''⎛⎫=-=>- ⎪++⎝⎭； （6）因21()sin (1cos 2)2f t t t ==-，则￡1[()][2f t =￡(1)-￡22112(cos 2)](0)24(4)p t p p p p p ⎛⎫=-=> ⎪++⎝⎭； （7）因1()sin 2cos 2sin 42f t t t t ==， 则￡1[()]2f t =￡22142(sin 4)(0)21616t p p p =⨯=>++；（8）因()sin()sin cos cos sin f t t t t ωϕωϕωϕ=+=+， 则￡[()]cos f t ϕ=￡(sin )sin t ωϕ+￡2222cos sin (cos )p t p p ωϕϕωωω=+++22cos sin (0)p p p ωϕϕω+=>+； （9）因11()(21)222f t t t t μμμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则由延滞性知￡121[()](0)p f t ep p-=>； （10）因3()sin 2tf t tet -=，又￡22(sin 2)(0)4t p p =>+， 则由位移性知￡322(sin 2)(3)(3)4t e t p p -=>-++，故再由微分性知 ￡22224(3)[()](3)(3)4[(3)4]p f t p p p '⎡⎤+=-=>-⎢⎥++++⎣⎦； （11）因4()cos 24tf t et π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因￡cos 242t π⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦￡222(cos 2sin 2)244p t t p p ⎫-=-⎪++⎝⎭2224p p -=+，则由位移性知￡22[()](4)2(4)4p f t p p +=⨯>-++。
拉普拉斯逆变换
21拉氏逆变换1、用留数方法求下列函数)(s F 的拉氏逆变换: (1) abs b a s ss F ++-=)()(2; 【解】 由于b s a s ==,是sts F e )(的一级极点, 且有ba a a sb a s s a s F atst st-==+-=e )(2e ],e )(Res[;ba b b s b a s s b s F btst st--==+-=e )(2e ],e )(Res[,故有)]([)(1s F t f -=L],e )(Res[],e )(Res[b s F a s F st st +=ab b a a b b b a a btat bt at --=---=e e e e . …………………………………………………………………………………………………………… (2) )9)(4()(22++=s s ss F ; 【解】 由于i s i s 3,2±=±=是sts F e )(的一级极点, 由Heaviside 展开式, 有)]([)(1s F t f -=Lis s s s i s s s s stst 2264e 2264e 33-=++=+=i s ss s i s s s s stst 3264e 3264e 33-=++=++)3cos 2(cos 51t t -=. ……………………………………………………………………………………………………………(3) 22)1(12)(+-+=s s s s s F ; 【解】 由于0=s 是st s F e )(的一级极点, 1-=s 是sts F e )(的二级极点, 且有1)1(12lim ]0,e )(Res[220-=+-+=→s s s s s s F s st; t t s st t s s s s s s F ---→+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=-e 2e 2)1(12)1(lim 1],e )(Res[2221, 故有)]([)(1s F t f -=L1e 2e 2-+=--t t t . (4)22)4(1)(s s s F -=.【解】 由于2±=s 是sts F e )(的一级极点, 0=s 是sts F e )(的二级极点, 且有16e )4(e )2(lim ]2,e )(Res[2222tst s sts s s s F =--=→; 16e )4(e )2(lim ]2,e )(Res[2222tst s sts s s s F --→-=-+=-; 4)4(e lim ]0,e )(Res[2220ts s s s F sts st -='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=→, 故有)]([)(1s F t f -=L42sh 81tt -=.……………………………………………………………………………………………………………2、利用拉氏变换的性质求下列函数的拉氏逆变换: (1) 221)(a s s F -=;【解】 因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=-=a s a s a a s s F 11211)(22, 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==--a s a s a s F t f 1121)]([)(11LL⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--a s a a s a 1211211 1 L L ()at at a--=e e 21. ……………………………………………………………………………………………………………(2) 22e 1)(ss F s-+=; 【解】 由于sss s F 222e 11)(-+=, 且有2e 1 ,]1[22121-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---t s t ss L L, 所以22)]([)(1-==-t s F t f L .……………………………………………………………………………………………………………(3) 222e )(as s s F s+=-; 【解】 由于at as scos ][221=+-L,故利用延迟性质, 有)2(cos )]([)(1-==-t a s F t f L.……………………………………………………………………………………………………………(4) 221ln )(ss s F -=. 【解】 由于)1(21ln )(222-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='s s s s s F , 故有2e e )]([1-+='--t t s F L.根据微分性质, 有=-)(t tf 2e e )]([1-+='--t t s F L,因此, 有tt t s F t f tt ----==e e 2)]([)(1L. ……………………………………………………………………………………………………………。
拉氏变换习题解答
π
πs
=
3 3 − e s s
−
πs
2
⎡ e − ( s − i)t +∞ e − ( s + i)t +∞ ⎤ π π −( s −i) −( s +i) |t = π |t = π ⎥ 3 3 −πs 1 ⎛ 2 2 ⎜ 1⎢ e e 2 2 + ⎢ + − ⎥= − e 2 + ⎜ 2⎜ s −i s+i − ( s + i) ⎥ s s 2 ⎢ − ( s − i) ⎝ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
=
1 +∞ (e 2i ∫0
i − ( s − )t 2
−e
i − ( s + )t 2
i i ⎡ −( s− 2 ) t +∞ − ( s + ) t +∞ ⎤ 2 |0 − e |0 ⎥ 1 ⎢e )dt = ⎢ i ⎥ 2i ⎢ − s + i −s − ⎥ 2 2 ⎦ ⎣
i i ⎡ ⎤ s+ −s+ 1 ⎢ 1 1 ⎥ 1 2 2 = ⎢ − ⎥= i ⎞⎛ i⎞ 2i ⎢ s − i s + i ⎥ 2i ⎛ s − ⎟⎜ s + ⎟ ⎜ ⎣ 2 2⎦ 2 ⎠⎝ 2⎠ ⎝ = 1 2 = 2 4s + 1
⎧sin t , 0 < t ≤ π ，求& [ f (t )]. f (t ) = ⎨ ⎩ 0, π < t < 2π
-2-
解 周期为 T 的函数 f (t ) 的拉氏变换为 & [ f (t )]. = 因此有 & [ f (t )] =
1 = 1 − e −2πs
= 1 1 − e −2πs
信号与系统第四章习题
1 3
s +1 ) ，复频移性质、尺度变换、S 域微分 3
b
b ⎤ 1 s - s ⎡ (4) f (at − b) = f ⎢a(t − )⎥ ↔ F( )e a ，时移性质、尺度变换 a ⎦ a a ⎣
4．7 题图 4．2 所示为从 t=0 起始的周期信号。求 f(t)的单边拉氏变换。
解： (a) f (t ) = f a (t ) *
∑ δ (t − nT )
n =0
∞
- s 1 f a (t ) = ε (t ) − ε (t − T / 2) ↔ (1 - e 2 ) s - s 1 1 1- e 2 1 = = ∴ F(s) = (1 - e 2 ) T -s ⎞ s 1 - e -sT s 1 - e -sT ⎛ ⎜ s ⎜1 + e 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ T T - s
2
K1 =
2 jπ / 6 2 − jπ / 6 e , K2 = e 3 3
∴ h(t ) =
π 4 −t 2 −t e cos( 3t + )ε (t ) = e 6 3 3
2
(
3cos 3t - sin 3t ε (t )
)
当 u s (t ) = ε (t ) 时， U( s ) = H ( s) =
−2 t 解：(1) e f (2t ) ↔
1 s+2 F( ) ，复频移性质、尺度变换 2 2 ⎡1 ⎤
2 2 -2s (2) (t − 2) f ( t − 1) = (t − 2) f ⎢ (t − 2)⎥ ↔ 2F′′(2s)e ，时移性质、尺度变换、S 域微分 2 ⎣2 ⎦
1
−t (3) te f (3t ) ↔ − F′(
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s +
2bs e es
伈
。
} 一
e
s
耳
-
= - ·
1 (l -
s
= - tanh .1 -e-2bs s 2
e-fo )
2
l
—
bs
习题二
I.. 求下列函数的拉氏变换 式
( I)
f (t) = t 2 + 3t + 2
f(t)=(t -1)切
(2) J(t) = l-te'
t (4) 八） ＝ — sin at
-
(s .l )
(S +
3 3 =- - e S S
+
1 e s 2 $
(
) .1
e
($
“ +L 2
、）
· 1
g 工户
十
工
工
子
孚
2
1
2
2
. I
$
+.1
订，
-
=- - - e 2s s
3
3
卫~l
s +1
2
e
竺
2
o>
& u·(1)J= fo.,,,[e2'+ sou)
I
k" dt =f "'e2'e-"dt +sI。f(t)产dt
(3)
2a
<s) f (t) = tcosat
(6) f (t) = 5sin 2t-3cos2t
-4-
(7 ) 八） = e-21
sin 6t
<8)
/
(t) = e-4' cos 4t
( 9) 凡） = t"e"'
0) J(t) = u(3t - 5) (1
e3' ( 12) 几） ＝ —
( 1 1 ) 八） =u(!-e一' )
e
-(s+ 2)t
- (s + 2)
Io
十
=
t s+2
o
( Res > - 2)
s2 。
-st l = — = -— s3 e t= O s2
2
如
2
( Res> 0)
}
+oo
0
sin2te-stdt= - f [ e-(s-2i)t _ e一(s+2i)t] dt 4i 0 - , :2;) = s'~4 (Re, >0)
&加）] = &[t cos at] = 一 五& [cos at] = - c
2 : a2
l
= (:22: : 22
(6) & [r(t)]=& [5sin2t - 3 cos2t]=5& [sin2t]- 3& [cos2t] =
(7)
IO 3s I0 - 3s = s2+4 s2+4 s2+ 4
& [八）] = I = l - ,-, ·1
, _ ;-2芯 I。“心 s'dt = I 一 ；立心 fJin t 产dt
"ei1_ e-i1 2; l ,-• d1 =I-,-,
飞i
心 石[ +:r- -(,.:r]
1 e一(s一i)t r
e屯+ i)I
I"
=1-e 压 石(s-i
4 求下列各图所示周期函数的拉氏变换
2
(5) & [ f (t)] = Jo+ "'sinh kte-stdt =f。如 e
＝；（勹s~飞 -·~;::IJ 飞(6-奇卢
-l -
、,
= i h kt. '
(7)/ (t) = cos2t;
一 ,,
i\
I
'
[ / () t ] =
f
如
O
sm2e-s,dt = fo
(s ·1 I 2
、丿
. t
3. 设 J(t) 是 以 江 为周 期的函 数，且在一 个周 期 内 的表达式为
凡） = {5in t,
0,
冗<
0 < t~ 冗 t < 2冗
， 求& [r(t)]
-2-
解
周期为 T 的函数 j切 的拉氏变换为
&
因此有
[/(t)} = l- e-sr I 『 八少st dt,{Res > 0) o
&员）~ = & [e-21sin6t]=
6
(s +2)2 +36
这里 有
& [sin 6t] =
再利用位移性质得到
6
s2 +36
(8) 同 (7) 利 用& [cos4t]=
s
s2+16
及位移性质
& [r(t)口[ e-4' cos4t] ==
s+4 (s +4)2 +16
( 9) 利用& [t· ]= ___±_及位移性质得 , +I
3,
O~t < 2
t <
冗一 2
0,
2 SI< 4; t;:: 4 .
(2)
J(t) ={ 3' cost,
t>
冗一 2
(3) f (t) = e2' +5o(t} ;
解
(4) J(t) = o(t)cos t - u(t)sin t
~ 3e-st ( 3e-s' ,~1 ( I) & [r(t)] = I:"" f(t)e-SI dt = I.。>e-s'dt-Ji e-stdt = 0+ 2=- (3-4e-2' +e-~') -s s s (2) & [r(t)] = l厂八I)e-,, di = 3e-stdt +fi心 COS{·e-stdt
。
J切= {
由 公式
1, - I,
0 S:t < b b s; t < 2b
f(t)e -" dt = ＆屈）］ ＝ l- e-2bs ）广 -2bs (Io e-sldt + 庄巾-''dt) O . 1- e b l __ |21 b
b
=
SI le e
l
ibs
-
I __ S
e SIb
s
_i
l
l
e
(3)
C -
d2 d & [八t)] = &[ (t - 1)2 / ] = &[ (t2 - 2t + l)/ ] =—& [e' ] +2 — &[e1] + &[i ] 2 ds ds
=
s2 -4s+5 (s - 1 )3
(4) (5)
1 d 1 &加）］＝ ＆［卢sin at] 士& [tsinat] = 一五忑& [sin at] = 一百（三叶 (s2:a2)2
I
= — + 5厂的尸dt =— +se-'' I心 = s-2 s - 2 _,,,
5s- 9
s -2
(4) & [ / (t)] = f女如 5 ( t) -cost · e-s'dt - f
+oo
o
I s2 sin te-s'dt = COSt ·e-s' I - 1 = I= 1=0 s2 + I s2+1 s2+ I
如 (e 2
-e
2 )e咄
dt
=
L(e
g
e
i( sJ I 2
、丿
rlllllllllll ($ I _g
dt =
e
o
. I
e
( s+
t _+8
I -
与
与
2+
2
飞[,~1一言］飞::ti:t)
=
$
，今
1
1
0
、丿
s _ 2
s _ 2
一
. l
－凶
如
－凶
-
_ 2+
4
l-= 4s? - +l
2
(Res> 0)
伪 [- ~主产 - 1)] = 1- : 加 妢 -bse-bs : 21- e-bs - bs
可
b
＝罕S
f(t)=sint,
O ~t< 冗
-3-
& [兀） ] =
I r sinte-Sldt= 1-e-bs O
l
1- e一汀s
I
I +e吓
I + s2
=
I + s·
· ,, coth
冗S —
2
(3) 由图可知 几）是周期 T = 4a 的周期函数在一个周期内 1
= 丿 F(乌
a a
特别&
3. 若& [/(t)] = F(s) , 证明 F'"\s)=& [(- t)"f(t)], Re(s) > c 。 f(t)
[tf(t)]= - F'(s),
或
I =- & - t[F'(s) ] ,
t