常用函数的拉氏变换[1]
基本函数的拉氏变换
基本函数的拉氏变换引言：在探索基本函数的拉普拉斯变换之前，首先需要了解什么是拉普拉斯变换以及其在数学和工程学中的应用。
拉普拉斯变换是一种数学方法，用于解决微分方程。
它将一个函数从时间域转换到复频域，从而让我们可以更轻松地处理微分方程的操作。
它提供了一个重要的数学工具，用于求解控制系统和信号处理等应用中的许多问题。
本文将阐述基本函数的拉普拉斯变换，主要包括单位阶跃函数、单位冲击函数、指数函数和正弦函数的拉普拉斯变换表达式及其应用。
一、单位阶跃函数的拉普拉斯变换单位阶跃函数一般表示为u(t)，表示斜坡从0到1的标准阶跃，如图1所示。
阶跃函数在控制系统中具有重要的作用。
单位阶跃函数通常被用作激励输入来测试系统的性能。
拉普拉斯变换后，单位阶跃函数的表达式为：$$\mathscr{L}\{u(t)\}={1\over s}$$二、单位冲击函数的拉普拉斯变换单位冲击函数一般表示为δ(t)，表示在t=0时刻的无穷大脉冲信号，如图2所示。
冲击函数在控制系统中也具有重要的作用。
在线性系统中，冲击响应又称为单位脉冲响应或简称脉冲响应。
拉普拉斯变换后，单位冲击函数的表达式为：$$\mathscr{L}\{\delta(t)\}=1$$三、指数函数的拉普拉斯变换指数函数一般表示为e-at，其中a为常数，表示一个衰减的曲线，如图3所示。
指数函数在控制系统和信号处理中常常用于表示衰减或增加的信号。
拉普拉斯变换后，指数函数的表达式为：$$\mathscr{L}\{e^{-at}\}={1\over s+a}$$当a>0时，指数函数随时间的增长而不断衰减。
而当a<0时，指数函数随时间的增长而不断增加。
四、正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数一般表示为sin(ωt)，其中ω为常数，描述一个振荡信号，如图4所示。
正弦函数在控制系统和信号处理领域中也广泛应用。
拉普拉斯变换后，正弦函数的表达式为：$$\mathscr{L}\{\sin\omega t\}={\omega\over s^2+\omega^2}$$这里我们用欧拉公式将正弦函数转换为指数函数的形式，即：$$\sin\omega t={e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}\over 2j}$$用欧拉公式可以对任意角频率的函数进行拉普拉斯变换。
常见信号拉氏变换
常见信号拉氏变换1. 介绍拉氏变换是一种在信号处理领域中常用的数学工具，它能够将时域中的信号转换为复频域中的函数。
拉氏变换可以帮助我们更好地理解和分析各种常见信号的特性和行为。
本文将介绍常见信号的拉氏变换，并详细讨论每个信号类型的特点和拉氏变换公式。
我们将涵盖常见的连续时间信号和离散时间信号，以及它们在频域中的表示。
2. 连续时间信号2.1 常值信号常值信号是指在整个时间范围内保持恒定数值的信号。
它在时域中表示为：x(t)=A其中，A是常数。
对于常值信号，其拉氏变换为：X(s)=A s2.2 单位阶跃函数单位阶跃函数是一种在t=0时从零跳跃到单位幅度的函数。
它在时域中表示为：x(t)=u(t)其中，u(t)是单位阶跃函数。
单位阶跃函数的拉氏变换为：X(s)=1 s2.3 单位冲激函数单位冲激函数是一种在t=0时瞬时达到无穷大幅度的函数。
它在时域中表示为：x(t)=δ(t)其中，δ(t)是单位冲激函数。
单位冲激函数的拉氏变换为：X(s)=12.4 指数衰减信号指数衰减信号是一种随时间指数衰减的信号。
它在时域中表示为：x(t)=e−at其中，a是正常数。
指数衰减信号的拉氏变换为：X(s)=1 s+a2.5 正弦信号正弦信号是一种周期性的连续时间信号。
它在时域中表示为：x(t)=Asin(ωt+ϕ)其中，A是振幅，ω是角频率，ϕ是相位差。
正弦信号的拉氏变换为：X(s)=ω(s2+ω2)3. 离散时间信号3.1 单位取样序列单位取样序列是一种在离散时间点上取值为1的序列。
它在时域中表示为：x[n]=δ[n]其中，δ[n]是单位冲激函数。
单位取样序列的拉氏变换为：X(z)=13.2 指数衰减序列指数衰减序列是一种随时间指数衰减的离散时间信号。
它在时域中表示为：x[n]=a n u[n]其中，a是正常数，u[n]是单位阶跃函数。
指数衰减序列的拉氏变换为：X(z)=11−az−13.3 正弦序列正弦序列是一种周期性的离散时间信号。
拉氏变换常用公式
时常使用推普推斯变更归纳之阳早格格创做1、指数函数000)(≥<⎩⎨⎧=-t t Ae t f t α，其中，A 战a 为常数.2、阶跃函数000)(><⎩⎨⎧=t t A t f ，其中，A 为常数.3、单位阶跃函数4、斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t At t f ，其中，A 为常数.A ＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，爆收正在t=t 0时刻的单位斜坡函数写成r （t-t 0）5、单位斜坡函数6、正弦函数00sin 0)(≥<⎩⎨⎧=t t t A t f ω，其中A 为常数.根据欧推公式：推式变更为： 共理余弦函数的推式变更为：22]cos [ωω+=s Ast A L7、脉动函数t t t t t t At f <<<<⎪⎩⎪⎨⎧=00,000)(，其中，A 战t 0为常数.脉动函数不妨瞅干是一个从t ＝0启初的下度为A /t 0的阶跃函数，取另一个从t ＝t 0启初的下度为A /t 0的背阶跃函数叠加而成.8、脉冲函数脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况.9、单位脉冲函数劈里积A =1的脉冲函数称为单位脉冲函数，或者称为狄推克(Disac)函数，量值为无贫大且持绝时间为整的脉冲函数杂属数教上的一种假设，而没有成能正在物理系统中爆收.然而是，如果系统的脉动输进量值很大，而持绝时间取系统的时间常数相比较非常小时，不妨用脉冲函数来近似天表示脉动输进.当形貌脉冲输进时，脉冲的里积大小利害常要害的，而脉冲的透彻形状常常本来没有要害.脉冲输进量正在一个无限小的时间内背系统提供能量.单位脉冲函数)(0t t -δ不妨瞅做是单位阶跃函数u （t-t 0）正在间断面t=t 0上的导数，即差异，如若对于单位脉冲函数)(0t t -δ积分：积分的截止便是单位阶跃函数 u （t-t 0）利用脉冲函数的观念，咱们不妨对于包罗没有连绝面的函数举止微分，进而得到一些脉冲，那些脉冲的量值等于每一个相映的没有连绝面上的量值.10、加速度函数000)(2<≥⎩⎨⎧=t t At t f ，其中，A 为常数. 推氏变更为：当A=21时称之为单位加速度函数，用a （t ）表示，爆收正在t=t 0时刻的加速度函数常常写成)(0t t a -，图像如下：11、单位加速度函数：。
(完整版)典型常见函数拉氏变换表
t 0
s
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
L
d dt
f
(t)
SF(s)
f
(0)
L
d
2f dt
(t
2
)
S 2F(s)
Sf (0)
f
(0)
f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
Lf (t)g(t)= F sGs
18
1
t n 1-2
e -nt sinn 1-2
1 e -nt sin(n 1-2 t-
) 1-2
19
=
arctan
1-2
1
s2+2ns+n2
s
s2+2ns+n2
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号
原函数 f(t) (t >0)
1- 1 e -nt sin(n 1-2 t +
) 1-2
20
1-2
= arctan
典型常见函数 拉氏变换表
典型常见函数拉氏变换表
序号 1
原函数 f(t) (t >0)
1 (单位阶跃函数)
象函数 F(s)=L[f(t)]
1 s
2
(t) (单位脉冲函数)
1
3
K (常数)
K s
4
t (单位斜坡函数)
1 s2
典型常见时间函数拉氏变换表
序号 5 6 7 8
原函数 f(t) (t >0)
t n (n=1, 2, …) e -at
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式
拉氏变换是一种常用的数学方法，它可以用来求解方程的根。
它最初由拉氏在1877年提出，用于解决线性方程组。
它的基本思想是：将方程分解为两个简单的子问题，然后用递归方法进行求解。
拉氏变换的基本公式是：
Xn+1=f(Xn)
其中，Xn为当前迭代的值，f(Xn)为函数，是一个由Xn生成新值的函数。
拉氏变换最常用于解决非线性方程，其原理是：通过迭代不断更新Xn,使得当前迭代的值Xn+1接近满足方程的解，从而解决方程。
拉氏变换的基本步骤是：
(1)选择一个初始值XO;
(2)计算新值Xn+1=f(Xn);
(3)以Xn+1替换Xn,重复上述步骤，直至满足要求的精度；
(4)最后得到的Xn+1即为方程的解。
拉氏变换具有优越的收敛性，但是它运算较慢，而且容易陷入局部
最小值，因此经常需要多次迭代。
拉氏变换虽然有一定的局限性，但是它仍然是一种重要的数学方法,在计算机科学、工程学等领域有着广泛的应用，如求解非线性方程、求解最优化问题等。
总之，拉氏变换是一种优越的数学方法，在计算机科学和工程学等领域有着重要的应用。
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，常被用于信号处理、系统分析、电路设计等领域。
在进行拉氏变换时，我们常用到一些常用的公式，这些公式是解决问题的关键。
本文将介绍一些常用的拉氏变换公式，以及其在实际应用中的意义和用法。
1. 基本定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的方法。
它定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞)e^(-st) f(t) dt其中，F(s)表示拉氏变换结果，L表示拉氏变换算子，f(t)表示时域函数，s表示复频域变量。
2. 常见公式以下是一些常用的拉氏变换公式：2.1 常数函数L{1} = 1/s2.2 单位阶跃函数L{u(t)} = 1/s2.3 指数函数L{e^(at)} = 1/(s-a)，其中a为常数2.4 正弦函数L{sin(at)} = a/(s^2 + a^2)2.5 余弦函数L{cos(at)} = s/(s^2 + a^2)2.6 钟形函数L{rect(t)} = 1/sinc(s/2)，其中sinc(x) = sin(x)/x2.7 基本运算拉氏变换具有一些基本运算规则，如时移、倍乘和微分等。
这些运算可以用于求解更复杂的函数对应的拉氏变换。
详细的运算规则可以参考相应的数学教材。
3. 实际应用拉氏变换在信号处理、系统分析和电路设计等领域有着广泛的实际应用。
3.1 信号处理在信号处理中，常常需要对信号进行滤波、频域分析等操作。
通过将信号进行拉氏变换，可以将复杂的时域信号转换为频域函数，便于对信号特性的分析和处理。
3.2 系统分析拉氏变换在系统分析中有着重要的作用。
通过将系统的输入和输出进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的频率响应、稳定性等性质。
3.3 电路设计在电路设计中，拉氏变换可以用于求解电路的导纳、阻抗等参数。
通过将电路的输入和输出进行拉氏变换，可以得到电路的传输函数，进而进行电路的设计和优化。
综上所述，拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、系统分析、电路设计等领域。
(完整word版)常用函数的拉氏变换
附录A 拉普拉斯变换及反变换4194204213． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ （F-1）式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；422其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
拉氏变换详解
称为拉氏反变换。记为 L1[ F (s)] 。
由F(s)可按下式求出
f
(t)
L1[F (s)]
1
2
j
C j
C j
F (s)est ds(t
0)
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的 实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 须是一种能直接查到的原函数的形式。 12
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) Ae st dt
A e st
A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F (s) (t)est dt
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[
f
(t)]
0
f
(t)est dt
s
0
f
(t)est dt
f
(t )e st
0
sF(s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
则象函数及其自变量都增加（或减小）同
样倍数。即：L[ f ( t )] aF (as)
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
Laplace拉氏变换公式表
Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。
2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。
3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。
4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。
6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。
7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。
8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。
9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。
10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。
12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
常见信号拉氏变换
常见信号拉氏变换拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，广泛应用在信号处理和控制系统中。
在这篇文章中，我们将介绍一些常见的信号及其拉普拉斯变换，并解释其在实际应用中的意义和作用。
首先，我们来了解一下拉普拉斯变换的基本概念。
拉普拉斯变换是一种积分变换，它将一个时间域上的函数转变为一个复平面上的函数。
在连续时间系统中，拉普拉斯变换可以将微分和积分方程转化为代数方程，从而简化系统的分析和求解。
在信号处理中，常见的信号类型包括连续时间信号和离散时间信号。
在连续时间信号中，最常见的信号包括单位阶跃函数、冲激函数和正弦函数等。
单位阶跃函数在时间t=0时从0跳变到1，描述了系统的开关行为，其拉普拉斯变换可以表示为1/s，其中s是复频域变量。
冲激函数表示一个瞬时的脉冲信号，其拉普拉斯变换为1，即δ(t)的拉普拉斯变换为1。
而正弦函数在时间域中以周期性振荡的形式出现，在频域中则表现为位于正负无穷处的脉冲，其拉普拉斯变换可以用1/(s^2+w^2)来表示，其中w是正弦函数的频率。
在离散时间信号中，最常见的信号是单位样值函数和指数函数等。
单位样值函数表示在t=0时为1，其它时刻为0的序列，其拉普拉斯变换可以表示为1/(1-e^-s)，其中s是离散频域变量。
指数函数在离散时间序列中以指数增长或衰减的形式出现，其拉普拉斯变换可以用1/(1-e^(-a*s))来表示，其中a是指数函数的增长或衰减系数。
拉普拉斯变换在实际应用中扮演着重要的角色。
在信号处理中，拉普拉斯变换可以帮助我们理解信号的频域特性，如频率响应和滤波器设计等。
在控制系统中，拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数方程，从而使系统的分析和设计更加简单和直观。
除了上述介绍的常见信号类型，还有许多其他类型的信号也可以通过拉普拉斯变换进行分析和处理。
例如，矩形波、三角波和高斯函数等都有其特殊的拉普拉斯变换表达式，它们在不同的应用中起到了重要的作用。
综上所述，拉普拉斯变换是一种非常强大的数学工具，用于信号处理和控制系统分析。
常用的拉氏变换表
常用的拉氏变换表包括以下几个函数：
1.单位阶跃函数：F(s) = 1/s。
2.单位脉冲函数：F(s) = 1。
3.常数K：F(s) = K/s。
4.单位斜坡函数：F(s) = 1/s^2。
5.指数函数：F(s) = 1/(s-a)。
6.正弦函数和余弦函数：F(s) = a/(s^2+a^2)（正弦函数），F(s) = s/(s^2+a^2)（余弦函数）。
7.双曲正弦和双曲余弦函数：F(s) = a/(s^2-a^2)（双曲正弦函数），F(s) = s/(s^2-a^2)（双曲
余弦函数）。
拉氏变换是一种将时域函数转换为复平面上的函数的工具，常用于电路分析、控制系统等领域。
通过拉氏变换，可以将微分方程转换为代数方程，从而简化问题的求解过程。
在拉氏变换表中，列出了常见的时域函数及其对应的拉氏变换，方便查阅和使用。
请注意，以上列举的拉氏变换表仅供参考，具体的拉氏变换公式可能因不同的定义和约定而有所差异。
在实际使用时，应根据具体的文献或教材来确定准确的拉氏变换公式。
典型常见函数拉氏变换表
21 22
t - sint
t sint
23
d L f (t ) SF (s) f (0) dt
d 2 f (t ) 2 L S F (s) Sf (0) f (0) 2 dt
d L f (t ) SF (s) f (0) dt
典型常见函数 拉氏变换表
典型常见函数拉氏变换表
序号
1 2 3 4
原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s)=L[f(t)]
1 (单位阶跃函数)
1 s 1 K s 1 s2
(t) (单位脉冲函数)
K (常数) t (单位斜坡函数)
典型常见时间函数拉氏变换表
序号
5 6 7 8
原函数 f(t) (t >0)
d 2 f (t ) 2 L S F (s) Sf (0) f (0) 2 dt
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s)
t 0 s
lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s)
象函数 F(s) = L[f(t)]
s2+2
s s2+2 (s+a)2+2 s+a (s+a)2+2
e -at e -at
sint cost
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号
13 14 15 16
原函数 f(t) (t >0) 1 a
b-a b-a 1 1
象函数 F(s) = L[f(t)]
象函数 F(s) = L[f(t)]
拉氏变换常用公式
常用拉普拉斯变换总结1、指数函数,其中,A 与a 为常数。
2、阶跃函数,其中,A 为常数。
3、单位阶跃函数0010)(><⎩⎨⎧=t t t u s t e t u L st 1d )]([0==⎰∞-4、斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t Att f ,其中,A 为常数。
20d s A t e s A st ==⎰∞-A ＝1时得斜坡函数称为单位斜坡函数,发生在t=t 0时刻得单位斜坡函数写成r(t-t 0)5、单位斜坡函数6、正弦函数,其中A 为常数。
)(t f t 图2.3正弦函数和余弦函数)(t f t(a)(b)00根据欧拉公式: 拉式变换为:同理余弦函数得拉式变换为:7、脉动函数,其中,A 与t 0为常数。
脉动函数可以瞧做就是一个从t ＝0开始得高度为A /t 0得阶跃函数,与另一个从t ＝t 0开)(21sin t j t j e e j t ωωω--=始得高度为A /t 0得负阶跃函数叠加而成。
8、脉冲函数脉冲函数就是脉动函数得一种特殊极限情况。
9、单位脉冲函数当面积A =1得脉冲函数称为单位脉冲函数,或称为狄拉克(Disac)函数,量值为无穷大且持续时间为零得脉冲函数纯属数学上得一种假设,而不可能在物理系统中发生。
但就是,如果系统得脉动输入量值很大,而持续时间与系统得时间常数相比较非常小时,可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。
当描述脉冲输入时,脉冲得面积大小就是非常重要得,而脉冲得精确形状通常并不重要。
脉冲输入量在一个无限小得时间内向系统提供能量。
单位脉冲函数可以瞧作就是单位阶跃函数u(t-t 0)在间断点t=t 0上得导数,即相反,如若对单位脉冲函数积分:积分得结果就就是单位阶跃函数 u(t-t 0)利用脉冲函数得概念,我们可以对包含不连续点得函数进行微分,从而得到一些脉冲,这些脉冲得量值等于每一个相应得不连续点上得量值。
10、加速度函数,其中,A 为常数。
18常用函数的拉普拉斯变换
第一节 常用函数的拉普拉斯变换
教学方法
及教学工具
课堂讲授
授课日期
授课节次
授课地点
教学过程、教学内容（含板书设计）
二、单位脉冲函数及其拉氏变换
在许多实际问题中，常会遇到在极短时间内集中作用的量。例如，打桩机在打桩时，质量为m的锤以速度v0撞击钢筋混凝土桩，在很短的时间(0，τ)(τ为一很小的正数)内，锤的速度由v0变为0，由物理学的动量定律可知，桩所受到的冲击力为
由上式可以看出，作用时间越短，冲击力就越大。若把冲击力F看作时间t的函数，可以近似表示为
在τ趋近于零时，若t≠0,则F(t)的值将趋于零；若t=0，则F(t)的值将趋近于无穷大。即
由于函数F(t) 的极限 不能用我们已学过的普通函数来表示，对于类似的式子，我拉克函数，又叫单位脉冲函数，简称为δ-函数。
三、周期函数的拉氏变换
设f(t)是一个周期为T的周期函数，则有f(t)=f(t+kT)(k为整数)，由拉氏变换的定义，有：
=
=
=
所以周期函数的拉氏变换公式为
（7-3）
四．常用函数的拉氏变换
一些常用函数的拉氏变换如表7-1所示，在以后的工作中，求一些函数的拉氏变换时，只要查表就可求出，不需要再计算哪些复杂的广义积分了。
作业
记忆拉普拉斯变换的公式
课后小结
重点、难点：
教学重点： 教学难点：
PLACE变换的定义；1.用定义求函数的LAPLACE变换；
2.函数LAPLACE变换的求法；2.单位阶梯函数、狄拉克函数。
周期函数的LAPLACE变换。
解决方法：记忆
常用函数拉氏变换对照表
常用函数拉氏变换对照表
常用函数拉氏变换对照表指的是一种把常用函数与拉氏变换之间的联系进行总结归纳的表格，是将每种函数的拉氏变换建立起来的表格。
它有助于我们理解拉氏变换的本质，同时也可以在计算拉氏变换时提供一定的帮助。
一般而言，常用函数拉氏变换对照表包括三列，其中第一列为函数f(x)，第二列为拉氏变换F(s)，第三列为拉氏变换的参数a，它们构成了一个三元组
（f(x);F(s);a），通过这个三元组，我们可以将函数f(x)和拉氏变换F(s)联系起来。
首先，定义函数f(x)，它是要求拉氏变换的函数，即想要求拉氏变换的函数，也就是拉氏变换的被变换函数，比如可以是一个周期函数，如正弦函数、余弦函数；也可以是非周期函数，如指数函数、对数函数等等。
其次，定义拉氏变换F(s)，它是拉氏变换的函数，也就是求得函数f(x)的拉氏变换，拉氏变换的函数可能会跟被变换函数的具体形式有关，比如当函数f(x)为正弦函数时，拉氏变换的函数就会有所不同，这里只需要表示出拉氏变换函数F(s)的形式即可。
最后，定义拉氏变换的参数a，它是一个系数，在求解拉氏变换时会用到，一般可以取任意数值，但有的时候。
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附录A 拉普拉斯变换及反变换
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3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式
1110
111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++=
=---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根
这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n
i i
i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122
11)( （F-1）
式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i
-=→ （F-2）
或
i
s
s i s A s B c ='=
)()
( （F-3）
式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11
1
)()(＝t
s n i i i
e c -=∑1
(F-4)
②
0)(=s A 有重根
设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
())
()()()
(11n r r
s s s s s s s B s F ---=
+ =
n
n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11
111
111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
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其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：
)()(lim 11
s F s s c r s s r -=→
)]()([lim
111
s F s s ds
d
c r s s r -=→- )()(lim !11)()
(1s F s s ds
d j c r j j s s j
r -=→- (F-5)
)()(lim )!1(11)1()
1(11s F s s ds
d r c r r r s s --=--→
原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11
111
1111)()()
( t s n
r i i t s r r r r i
e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++-+-=112211
1
)!2()!1( （F-6）。