拉氏变换常用公式

1 2 st t e dt 2

1 2 st t e 2

0

0
te
st
dt
1 s3
写成 a(t t0 ) ，图像如下：
a (t )
8 6 4 2
0
a (t t 0 )
1 2 3 4
(a)
t
0
t0
(b)
t
图 2.6 单位加速度函数
11、单位加速度函数：
0 a(t ) 1 2 t 2
t0 t0
0
1 L t 2 u (t ) 2 1 s

L[ At ]

0
e st Ate dt At s
st

0

0
Ae st dt s

A s


0
e st d t
A s2
A＝1 时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在 t=t0 时刻的单位斜坡函数写成 r（t-t0）
5、单位斜坡函数
0 f (t ) t
(t t 0 )
d u (t t 0 ) dt
相反，如若对单位脉冲函数 (t t 0 ) 积分：
(t t )dt u (t t )
t0 0 0
t
积分的结果就是单位阶跃函数 u（t-t0） 利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲， 这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值。 10、加速度函数
As s 2
2
同理余弦函数的拉式变换为： L[ A cos t ] 7、脉动函数
A f (t ) t 0 0
0 t t0 t 0, t0 t
，其中，A 和 t0 为常数。
脉动函数可以看做是一个从 t＝0 开始的高度为 A/t0 的阶跃函数， 与另一个从 t＝t0 开始 的高度为 A/t0 的负阶跃函数叠加而成。
0
t 0 ，其中，A 为常数。 t0
A s
L[ A] Ae st dt
3、单位阶跃函数
0 u(t) 1
L [ u ( t )]
t 0 t 0
0

e
st
d t
1 s
4、斜坡函数
0 f (t ) At
t 0 t 0 ，其中，A 为常数。
常用拉普拉斯变换总结
1、指数函数
0 f (t ) t Ae
0
t0 ，其中，A 和 a 为常数。 t0
0
L[ Ae t ] Ae t e st dt A e ( s ) t dt
2、阶跃函数
A s
0 f (t ) A
0
t
(a )
0
t
(b )
图 2 .3 正 弦 函 数 和 余 弦 函 数
根据欧拉公式： 拉式变换为：
sin t
1 ( e j t e j t ) 2j
L[ Asint]
A jt jt st (e e )e dt 2 j 0 A 1 A 1 A 2 2 j s j 2 j s j s 2
t 0 t 0
L[t ]

0
e st te dt t s
st


0

0
e st dt s

1 st 1 e dt 2 s 0 s
6、正弦函数
0 f (t ) A sin t
f (t )
t0 ，其中 A 为常数。 t0
f (t )
At 2 f (t ) 0
拉氏变化为：

t0 t0
，其中，A 为常数。Βιβλιοθήκη L[ At 2 ]
0
At 2 e st d t 1 s3
A 2 st t e s
0
2 te st d t 0

2A
当 A=
1 时称之为单位加速度函数，用 a（t）表示，发生在 t=t0 时刻的加速度函数通常 2
f (t )
A A u (t ) u (t t 0 ) t0 t0
A A L[ f (t )] L u (t ) L u (t t0 ) t0 t0 A A st 0 A e (1 e st 0 ) t0 s t0 s t0 s


9、单位脉冲函数 当面积 A=1 的脉冲函数称为单位脉冲函数，或称为狄拉克(Disac)函数，
(t t0 )
0
t t0 t t0


-
(t t0 )dt 1
量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设， 而不可能在物理系统 中发生。但是，如果系统的脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非常小 时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。 当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。 脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量。 单位脉冲函数 (t t 0 ) 可以看作是单位阶跃函数 u（t-t0）在间断点 t=t0 上的导数，即
8、脉冲函数 脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况。
A lim g (t ) 0 0
0t t 0, t
A L[ g (t )] lim (1 e s ) 0 s d A(1 e s ) As lim d A 0 d s s d