拉氏变换1(重点)
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补充
微分方程→代数方程
一、拉氏变换及其特性
（一）拉氏变换的定义
时间函数f(t)，当t<0时， f(t)=0， t≥0时， f(t)的拉氏变换计为L[f(t)]或F(s)，且定义为
L f (t) F(s) f (t)estdt 0
式中 s= + j j 虚数单位
L为拉氏变换运算符。通常称f(t)为原函数、 F(s)为拉氏变换函数或原函数的象函数。
3.积分定理
L
f
(t)dt
1 F(s) s
1 s
Baidu Nhomakorabea
f
(1) (0 )
式中 f (1)(0 ) 为 f (t）dt 在t时间坐标轴的右端
趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
L
f (t )(dt )2
1 s2
F(s)
1 s2
f (1) (0 ) 1 s
f (2) (0 )
L f (t )(dt )n
1
s as b
s
s as b
1
ss as b
序号
f(t)
F(s)
13
e at sin t
s a2 2
14
e at cos t
sa
s a2 2
15
1 a2
(at
1
e at
)
1
s2 s a
16
n 1
2
e n t sinn
1 2t
n2 s2 2ns n2
序号
f(t)
F(s)
（一）拉氏反变换的定义
已知象函数F(s)，求出与之对应的原函数f(t)就
称为拉氏反变换，计作 L1 F(s) f (t)
L1[F (s)] f (t) 1 r j F (s)estds
2 j r j
式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。 所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s) 在该点及其邻域不处处可导。
sa 1
s a2
s2 2
序号
f(t)
7
cos(t)
8
tn(n 1，2，3，L )
9
t en at (n 1，2，3，L )
10
1 eat ebt
ba
11
1 bebt aeat
ba
12
1 ab
1
a
1
b
beat aebt
F(s)
s
s2 2
n! sn1 n!
s an1
2．微分定理
L
df (t) dt
sF(s)
f
(0 )
式中f(0+)表示当t在时间坐 标轴的右端趋于零时的f(t) 值，相当于初始条件。
d2 f (t)
L
dt 2
s2F(s)
sf
(0 )
f
(1)(0 )
dn f (t)
L
dt n
snF(s) sn1
f (0 ) sn2
f
(1)(0 )L
1
1 2
e n t sin
n
1 2t
s
17
1 2
s2 2ns n2
arctan
1
1
1 2
e n t sin
n
1 2t
n2
18
1 2
s
s2
2n
s
2 n
arctan
根据表格直接写出结果
L (t) 1,
L1(t) 1 ,
s
Lt
1 s2
L
eat
s
1
a
,
L
eat
s
1
a
Lsin t
1 sn
F(s)
4．初值定理
f (0 ) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
5．终值定理
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
例：已知
F(s)
s(s2
5 s
，求f(t)的终值。
2)
f
()
lim
t
f
(t)
lim
s0
sF ( s)
lim
s0
s2
5 s
2
5 2
二、拉氏反变换及其计算方法
s2
2
,
L cos t
s2
s
2
eatsint
s a2 2
eatcost
sa
s a2 2
（二）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t) f2(t)] L[ f1(t)] L[ f2(t)] F1(s) F2(s)
L[kf (t)] kL[ f (t)] kF(s)
d 3 y d 2 y dy
dx
5
dt 3
6
dt 2
dt
2y 4 dt
x
解：利用线性定理和微分定理，可得
5s3Y (s) 6s2Y (s) sY (s) 2Y (s) 4sX(s) X(s)
(5s3 6s2 s 2)Y (s) (4s 1)X (s)
Y (s)
4s 1
X(s) 5s3 6s2 s 2
(s
bm sm bm1sm1 bm2 sm2 p1 )r (s pi )(s pj )L L
1
1
sn F(s) sn
f
(1) (0 )
1 sn1
f (2) (0 ) ....... 1 s
f (n) (0 )
式中 f (-1)(0+) 、 f (-2)(0+) ···、 f (-n)(0+) 为式中f(t)的 各重积分在t=0+时的值，如果这些初值为零，则有
L
f
(t
)dt
n
LLL111sss222222sssiiinnnttt,,, LLL111sss222sss222cccooosssttt
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式
F(s)
B(s) A(s)
bm sm bm1sm1 bm2sm2 b1s b0 ansn an1sn1 an2sn2 a1s a0
sf
(n2)(0 )
f
(n1)(0 )
式中f(0+)、 f (1)(0+) 、···、 f
L
d
n f (t)
dt n
snF (s)
(n-2)(0+) 、 f (n-1)(0+)分别为各 阶导数在t时间坐标轴的右端
趋于零时的 f(t) 值，如果所
有这些初值为零，则
例 试求下面微分方程式的拉氏变换式．已知各 阶导数初值为零。
x(t) L1[ X (s)]
y(t) L1[Y (s)]
m(t) L1[M (s)]
n(t) L1[N (s)]
(二).拉氏反变换的计算方法
1.查表法
LLL111111(((ttt))),,, LLL11111ss1s111(((ttt))),,, LLL111ss11s1222ttt
LLL111sss111aaaeeeaaatt t,,, LLL111sss111aaaeeeaaatt t,,,
L[x(t)] X (s)
L[ y(t)] Y (s)
L[m(t)] M (s)
L[n(t)] N (s)
序号 1 2 3 4 5 6
常用函数的拉氏变换对照表
f(t)
F(s)
(t)单位脉冲函数
1(t) 单位阶跃函数u(t) t 单位斜坡函数r(t)
e at te at sint
1
1
s 1 s2 1
微分方程→代数方程
一、拉氏变换及其特性
（一）拉氏变换的定义
时间函数f(t)，当t<0时， f(t)=0， t≥0时， f(t)的拉氏变换计为L[f(t)]或F(s)，且定义为
L f (t) F(s) f (t)estdt 0
式中 s= + j j 虚数单位
L为拉氏变换运算符。通常称f(t)为原函数、 F(s)为拉氏变换函数或原函数的象函数。
3.积分定理
L
f
(t)dt
1 F(s) s
1 s
Baidu Nhomakorabea
f
(1) (0 )
式中 f (1)(0 ) 为 f (t）dt 在t时间坐标轴的右端
趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
L
f (t )(dt )2
1 s2
F(s)
1 s2
f (1) (0 ) 1 s
f (2) (0 )
L f (t )(dt )n
1
s as b
s
s as b
1
ss as b
序号
f(t)
F(s)
13
e at sin t
s a2 2
14
e at cos t
sa
s a2 2
15
1 a2
(at
1
e at
)
1
s2 s a
16
n 1
2
e n t sinn
1 2t
n2 s2 2ns n2
序号
f(t)
F(s)
（一）拉氏反变换的定义
已知象函数F(s)，求出与之对应的原函数f(t)就
称为拉氏反变换，计作 L1 F(s) f (t)
L1[F (s)] f (t) 1 r j F (s)estds
2 j r j
式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。 所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s) 在该点及其邻域不处处可导。
sa 1
s a2
s2 2
序号
f(t)
7
cos(t)
8
tn(n 1，2，3，L )
9
t en at (n 1，2，3，L )
10
1 eat ebt
ba
11
1 bebt aeat
ba
12
1 ab
1
a
1
b
beat aebt
F(s)
s
s2 2
n! sn1 n!
s an1
2．微分定理
L
df (t) dt
sF(s)
f
(0 )
式中f(0+)表示当t在时间坐 标轴的右端趋于零时的f(t) 值，相当于初始条件。
d2 f (t)
L
dt 2
s2F(s)
sf
(0 )
f
(1)(0 )
dn f (t)
L
dt n
snF(s) sn1
f (0 ) sn2
f
(1)(0 )L
1
1 2
e n t sin
n
1 2t
s
17
1 2
s2 2ns n2
arctan
1
1
1 2
e n t sin
n
1 2t
n2
18
1 2
s
s2
2n
s
2 n
arctan
根据表格直接写出结果
L (t) 1,
L1(t) 1 ,
s
Lt
1 s2
L
eat
s
1
a
,
L
eat
s
1
a
Lsin t
1 sn
F(s)
4．初值定理
f (0 ) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
5．终值定理
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
例：已知
F(s)
s(s2
5 s
，求f(t)的终值。
2)
f
()
lim
t
f
(t)
lim
s0
sF ( s)
lim
s0
s2
5 s
2
5 2
二、拉氏反变换及其计算方法
s2
2
,
L cos t
s2
s
2
eatsint
s a2 2
eatcost
sa
s a2 2
（二）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t) f2(t)] L[ f1(t)] L[ f2(t)] F1(s) F2(s)
L[kf (t)] kL[ f (t)] kF(s)
d 3 y d 2 y dy
dx
5
dt 3
6
dt 2
dt
2y 4 dt
x
解：利用线性定理和微分定理，可得
5s3Y (s) 6s2Y (s) sY (s) 2Y (s) 4sX(s) X(s)
(5s3 6s2 s 2)Y (s) (4s 1)X (s)
Y (s)
4s 1
X(s) 5s3 6s2 s 2
(s
bm sm bm1sm1 bm2 sm2 p1 )r (s pi )(s pj )L L
1
1
sn F(s) sn
f
(1) (0 )
1 sn1
f (2) (0 ) ....... 1 s
f (n) (0 )
式中 f (-1)(0+) 、 f (-2)(0+) ···、 f (-n)(0+) 为式中f(t)的 各重积分在t=0+时的值，如果这些初值为零，则有
L
f
(t
)dt
n
LLL111sss222222sssiiinnnttt,,, LLL111sss222sss222cccooosssttt
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式
F(s)
B(s) A(s)
bm sm bm1sm1 bm2sm2 b1s b0 ansn an1sn1 an2sn2 a1s a0
sf
(n2)(0 )
f
(n1)(0 )
式中f(0+)、 f (1)(0+) 、···、 f
L
d
n f (t)
dt n
snF (s)
(n-2)(0+) 、 f (n-1)(0+)分别为各 阶导数在t时间坐标轴的右端
趋于零时的 f(t) 值，如果所
有这些初值为零，则
例 试求下面微分方程式的拉氏变换式．已知各 阶导数初值为零。
x(t) L1[ X (s)]
y(t) L1[Y (s)]
m(t) L1[M (s)]
n(t) L1[N (s)]
(二).拉氏反变换的计算方法
1.查表法
LLL111111(((ttt))),,, LLL11111ss1s111(((ttt))),,, LLL111ss11s1222ttt
LLL111sss111aaaeeeaaatt t,,, LLL111sss111aaaeeeaaatt t,,,
L[x(t)] X (s)
L[ y(t)] Y (s)
L[m(t)] M (s)
L[n(t)] N (s)
序号 1 2 3 4 5 6
常用函数的拉氏变换对照表
f(t)
F(s)
(t)单位脉冲函数
1(t) 单位阶跃函数u(t) t 单位斜坡函数r(t)
e at te at sint
1
1
s 1 s2 1