傅氏变换与拉氏变换对比表
拉氏变换4.1-4.2
4.拉氏变换的收敛（p177,4-13)
lim f (t )e
t
t
0 0 指数阶函数
*几种信号的收敛情况 a.对于t< t0(t0=0)时f(t)为零的右边信号,其收敛域在收敛轴 的右边.
u (t )
j
1
1 0
1
1
2 1
lim u (t )e
F ( s)
0
f (t )e st dt
j
单边
f (t )
1 2
j
F ( s )e ds
st
j
2.傅立叶变换,单边拉氏变换是双边拉氏变 换的特殊情况
付氏变换
s j
0
f (t )( t )
双边拉氏变换
s j
f (t )( t )
t1
t2
注意 :在右边信号中,如t 0 0,收敛域才包括 ;若t 0 0,收敛域不包括 , 这是因为若收敛域包括 ，则应有 : lim f (t )e t 0，显然此式只在 t t 0 0时成立。
参见Alan v. Oppenheim编著，刘树棠译的《信号与系统》第二版的第477页
本章要点(3) •z-p 点的位置与时域波形的相应关系 •由z-p点确定自由,强迫,暂态,稳态响应 •稳态响应的分析方法 •由z-p点画系统频率特性曲线 •z-p点的位置与系统稳定性间的关系
*拉普拉斯变换法的几个显著优点；
1.它简化了函数.
2.它简化了运算.
3.它不需要确定常数.
4.有效地利用了阶跃 和冲激响应.
f1 (t )
1
§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
《Signals & Systems》
电子技术教研室
《信号与系统》
§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
三、拉普拉斯变换的极点位于虚轴上
例如：单位阶跃信号u(t)
1 u (t ) ←⎯→ s
LT
1 u (t ) ←⎯→ πδ(Ω) + jΩ
FT
显然，当信号的拉普拉斯变换的极点是位于s平面虚轴上的极 点，不能简单地将jΩ代替s已得到它的傅里叶变换。 设信号x(t)的拉普拉斯变换为X(s)，它有虚轴上的单极点:jΩi
jΩ
此时，由其拉氏变换将s代以jΩ求 得其傅里叶变换。
σ
−α
负实轴上的重极点的例子：
te
− αt
1 u (t ) ←⎯→ ( jΩ + α ) 2
FT
e − α t u ( t ) 拉氏变换收敛域
LT te − αt u (t ) ←⎯→
负实部的共轭复数极点的例子：
e
− αt
1 ( s + α) 2
Ai X ( s) = X 1 ( s) + ∑ i =1 s − jΩ i
N
N
x(t ) = x1 (t ) + ∑ Ai e jΩi t u (t )
i =1
N
X ( jΩ) = X 1 ( jΩ) + ∑ Ai δ(Ω − ΩHale Waihona Puke i ) ∗ [πδ(Ω) +
i =1
1 ] jΩ
电子技术教研室
《Signals & Systems》
《Signals & Systems》
电子技术教研室
《信号与系统》
§4-8 拉氏变换与傅氏变换的关系
常用的拉氏变换表
常用的拉氏变换表在工程技术和科学研究中，拉氏变换是一种非常重要的数学工具。
它能够将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使得许多问题的分析和求解变得更加简便。
而要熟练运用拉氏变换，掌握常用的拉氏变换表是必不可少的。
拉氏变换的定义为：对于一个定义在0, ＋∞）上的实值函数 f(t)，其拉氏变换 F(s)定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt\其中，s ＝σ ＋jω 是一个复变量。
下面我们来介绍一些常用的函数的拉氏变换：1、单位阶跃函数 u(t)单位阶跃函数在 t ＜ 0 时，函数值为 0；在t ≥ 0 时，函数值为 1。
其拉氏变换为：＼Lu(t) ＝＼frac{1}｛s}＼2、单位脉冲函数δ(t)单位脉冲函数在 t ＝ 0 时，函数值为无穷大，且在整个时间轴上的积分值为 1。
其拉氏变换为：＼Lδ(t) ＝ 1\3、指数函数 e^（at) （a 为常数）其拉氏变换为：＼Le^｛at} ＝＼frac{1}｛s ＋ a}＼4、正弦函数sin(ωt)其拉氏变换为：＼Lsin(ωt) ＝＼frac{＼omega}｛s^2 ＋＼omega^2}＼5、余弦函数cos(ωt)其拉氏变换为：＼Lcos(ωt) ＝＼frac{s}｛s^2 ＋＼omega^2}＼6、 t 的幂函数 t^n （n 为正整数）其拉氏变换为：＼Lt^n ＝＼frac{n!｝｛s^｛n ＋ 1}｝＼7、斜坡函数 t其拉氏变换为：＼Lt ＝＼frac{1}｛s^2}＼8、二次斜坡函数 t^2其拉氏变换为：＼Lt^2 ＝＼frac{2!｝｛s^3} ＝＼frac{2}｛s^3}＼掌握这些常用函数的拉氏变换，可以帮助我们在解决各种问题时快速进行变换和求解。
例如，在电路分析中，通过拉氏变换可以将时域中的电路方程转换为复频域中的方程，从而更方便地求解电路的响应。
在控制系统中，拉氏变换也有着广泛的应用。
通过对系统的输入和输出进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，从而对系统的性能进行分析和设计。
§6.10 傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换之间的关系
邮
院
X
二．z变换与拉普拉斯变换的关系
Ai ˆ t L x s p i 1 i ˆ ( nT ) 也 ˆ ( t ) 进行理想抽样，得到的离散时间序列 x 对x 由N 项指数序列相加组合而成。 ˆ nT x ˆ 1 nT x ˆ 2 nT x ˆ N nT x
jω
n
电
子 工
X z
n x n z
北
程 学
院
逆变换 x n
2 j 1 2 j 1
1
z 1
X z z
n 1
dz
第 5 页
北
京
1 IDTFT X e x n 2
学
n
电
x n e jn
j K2 K 2
* 1
北
程 学
K1 K2 ω0 解： xt sinω0 t ut X s 2 2 s j ω0 s j ω0 s ω0 两个一阶极点分别为 p1 j ω0，p2 j ω0 。
电
大 学
电
子 工
序列sinω0 nT unT 的z变换。
第 7 页
大 学
北
i 1
i 1
其拉式变换为
N
北
京
邮 电
Ai ˆ t L x s p i 1 i
大
学
电
子 工
程 学
京
ˆ i t Ai e pi t u t x
电
N
电
子 工
程
学 院
N
匀抽样 x t 均 x n ,
傅立叶变换与拉普拉斯变换
附录A 傅里叶变换1周期信号的频谱分析 一一傅里叶级数FS狄立赫雷条件：在同一个周期 T 1内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信 号绝对可积 f(t)dt ：：:：：■ T 1傅里叶级数：正交函数线性组合。
正交函数集可以是三角函数集｛1,con i t,si n ^t:N ｝或复指数函数集｛e jn F : n Z ｝，函数周期为T i ,角频率为二兰。
T i任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。
傅里叶级数：f(t) =a ° 亠二(a n con 1t b n sinn 1t)n=1系数a n 和b n 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。
称f i =1/T i (f i = 1)为信号的基波、基频；n f i (「i ,i=2〜n)为信号的n 次谐波。
e in tJ+e _in 却 e int?_0上为根据欧拉公式：cosn ，'t 二 -------- ,sin n't 二 ---------2 2ioOj nJ i t.............. t) _「F n en =-°o⑴.周期信号的傅里叶频谱：(i) 称F :为信号的傅里叶复数频谱，简称K傅里叶级数谱或FS谱。
(ii)称£为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。
伸) 称：；n ｛为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。
(iv)周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率n 1(或频率nf i)上有值。
(v)FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为-i =2二/T1。
(vi)F S谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相位2非周期信号的频谱分析一傅里叶变换(FT)(1)信号f (t)的傅里叶变换：F ( J 二__ f (t)e—■ dt =F〔f (t) \是信号f(t)的频谱密度函数或FT频谱，简称为频谱(函数)。
傅里叶变换和拉普拉斯变换公式总结
傅⾥叶变换和拉普拉斯变换公式总结（2022-02-09修正部分错误）（2020-03-18修正部分错误）因为傅⾥叶变换之类的很常⽤，时间长了不⽤总会忘记，所以⼀次性罗列出来权当总结好了。
主要参考《信号与线性系统分析》(吴⼤正)，也有的部分参考了复变函数。
δ-函数相关运算n阶导数的尺度变换δ(n)(at)=1|a|1a nδ(n)(t)⼀阶导数和函数的乘积f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−t0)−f′(t0)δ(t−t0) n阶导数和函数的乘积f(t)δ(n)(t−t0)=n∑i=0(−1)ini f(i)(t0)δ(n−i)(t−t0)傅⾥叶级数和傅⾥叶变换傅⾥叶级数f(x)=a02+∞∑n=1a n cosnπL x+bn sinnπL x a n=1L∫L−Lf(x)cosnπL xdxb n=1L∫L−Lf(x)sinnπL xdx半幅傅⾥叶级数ϕ(x)=∞∑n=1C n sinnπxLC n=2L∫Lϕ(x)sinnπxL dx常见函数傅⾥叶变换这⾥傅⾥叶变换的定义中，因⼦12π统⼀放在逆变换前。
gτ(t)指的是关于y轴对称宽度为τ的门函数gτ(t)↔τSaωτ2其中Sa即Sinc.e−atε(t)↔1 a+iωe−a|t|↔2a a2+ω2 ()() ()e−at2↔πa e−ω24aδ(t)↔1ε(t)↔πδ(ω)+1 iωcos(ω0t)↔π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]sin(ω0t)↔iπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]t n↔2π(i)nδ(n)(ω)1t↔−iπsgn(ω)δT(t)↔ΩδΩ(ω)性质时域微分f(n)(t)↔(iω)n F(ω)时域积分∫t−∞f(τ)dτ↔πF(0)δ(ω)+F(ω) iω频域微分(−it)n f(t)↔F(n)(ω)频域积分πf(0)δ(t)+f(t)−it↔∫ω−∞F(ν)dν对称性F(t)↔2πf(−ω)尺度变换f(at)↔1|a|Fωa时移f(t±t0)↔e±iωt0F(ω)频移f(t)e±iω0t↔F(ω∓ω0)卷积的微分性质设f(t)=g(t)∗h(t)，则f′(t)=g′(t)∗h(t)=g(t)∗h′(t)卷积定理时域f(t)=g(t)∗h(t)，频域有F(ω)=G(ω)H(ω)时域f(t)=g(t)h(t)，频域有F(ω)=12πG(ω)∗H(ω)周期函数f T(t)傅⾥叶变换√()设函数f T(t)周期为T，记F n=1T∫T/2−T/2f T(t)e−iωt d t由指数形式的傅⾥叶级数，两边取傅⾥叶变换，所以周期函数的傅⾥叶变换时受到2πF n调制的梳状脉冲(T代表周期，Ω=2πT)f T(t)↔2π∞∑n=−∞F nδ(ω−nΩ)拉普拉斯变换因果信号f(t)可以显式地写为f(t)ε(t)，⼀个因果信号及其单边拉普拉斯变换是⼀⼀对应的。
傅里叶变换及拉普拉斯变换解析
1. 傅里叶级数 2. 傅里叶积分和傅里叶变换
1. 傅里叶级数（傅氏级数）
式中，周期为T的任2一T周2 期函数
赫莱条a件n ： T
f ( t )cos
T 2
f ( t )，若满足下列狄里 ntdt
① ②
在在一一个个b周周n 期期T2内内T只只T22有有f (有有t )限限sin个个n极不td连大t 值续和点极；小值；
设两个相邻的谐波频率之差为 ，则
——非周期函数的傅氏积分
式中，若令 ( n 1 )0 n0 0
令
nF0
()
则 非 周f 期( t 函)e数jt的dt傅氏级数可表示为：
则，
f(t
)
ane—jt—f(t)的傅氏变换
an
n
f 0( t T) 2 2 T 2
1
f2(t
F(
)ejtdt
0
e
st
d
(
st
)
A est A ( 0 1 ) A
s0
s
s
注意：A=1，称为单位阶跃函数，记为1(t)，且有
L[ 1( t )] 1 s
例3、斜坡函数的拉氏变换
f(t)
0 (t 0)
f
(
t
)
At
(t 0)
A
t
斜坡函数的拉氏变换为：
01
L[
f
(
t
)]
0
Ate st dt
A s2
(1) 指数函数 (2) 阶跃函数 (3) 斜坡函数 (4) 正弦函数 (5) 脉冲函数
X (s)
0 (t 0)
例1、求指数函数 f ( t ) eat ( t 0 ) 的拉氏变换 F( s )。
变焕世界-傅立叶、拉普拉斯、Z变换 汇总对比
变焕世界-傅立叶、拉普拉斯、Z变换1、傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。
2、拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。
左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。
如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。
z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。
作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。
拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。
FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。