数学必修一全书知识点小结

必修一全书（共三章）知识点小结一、集合的含义与表示1.集合的含义集合的描述概念 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合. 2.集合中元素的三个特征（1）确定性 作为集合的元素,必须是确定的,对于集合A 和元素a ,要么a A ∈,要么a A ∉,二者必居其一,且只居其一.如“个子较高”的人不能构成集合.（2）互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是互不同的,任何两个相同元素在并入同一集合中时,只能算作一个元素.如：若a 、2a 在一个集合中，则a 值不能是0或1.（3）无序性 集合中元素次序无先后之分.如：集合{1,2,3},也可以写成{1,3,2},它们都表示同一个集合. 3.元素与集合的关系 属于a A ∈;不属于a A ∉. 4.集合的表示 （1）自然语言描述法 （2）列举法定义 把集合的元素一一列举出来，并用大括号括起来表示集合的方法. 适用条件 元素个数较少；元素较多但很有规律性 （3）描述法一般格式 {|()}x A P x ∈.竖线左边为集合元素代表符号，竖线右边为元素的共同特征 适用条件 集合中的元素不能一一列举出来，但集合中元素具有某些共同特征. （4）图形表示法用平面上封闭曲线的内部代表集合.一般用矩形表示全集，用椭圆或圆表示子集. （5）区间表示法在数轴上以区间表示集合.有闭区间，开区间，半开半闭区间.（6）常见数集符号 自然数集N ，正整数集*N 或+N ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ，复数集C . 二、集合的基本关系1.包含关系（1）子集 集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇）. （2）真子集 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊂（或B A ⊃）. （3）子集性质 ①A A ⊆； ②A ∅⊆；③空集是任何非空集合的真子集；④A B ⊆，B C A C ⊆⇒⊆. ⑤A B ⊂，B C A C ⊂⇒⊂；⑥n 元集合有2n 个子集, 有21n -个真子集, 有22n -个非空真子集. 2.不包含关系3.集合相等 如果集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，称集合A 与集合B 相等，记作A B =. 三、集合的基本运算1.并集（1）自然语言表示 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B . （2）图形表示（3）符号语言表示 {|,A B x xA =∈或}xB ∈.2.交集A BAB（1）自然语言表示 由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B . （2）图形表示（3）符号语言表示 {|,A B x xA =∈且}xB ∈.3.补集（1）全集 如果一个集合含有研究问题中涉及的所有元素，就称这个集合为全集.（2）自然语言表示 由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U 的补集，记作C U A .（3）图形表示（4）符号语言表示 C {|,U A x x U =∈且,x A ∉U 是全集}. 4.运算性质 （1）AA A A A ==; （2）A ∅=∅;A A ∅=; （3）C U A A U =;C U A A =∅;（4）card()card()card()card()A B A B A B =+-; （5）()C C U U A A =，C U U ∅=，C U U =∅; （6）(C )(C )C ()U U U A B A B =，(C )(C )C ()U U U A B A B =; （7）()A A B A =，()A A B A =; （8）A B A A B =⇔⊆，A B A B A =⇔⊆; （9）A B B A =; A B B A =. 四、函数概念1.函数定义 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个．．．．数x ，在集合B 中都有唯一．．确定的数()f x 和它对应，那么就称映射:f A B →为集合A 到集合B 的一个函数，记做 ()y f x =，x A ∈．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值对应的y 的值叫做函数值，全体函数值构成的集合{()}C f x x A =∈叫做函数的值域，显然C B ⊆．注：（1）集合A 与集合B 必须是非空数集；（2）集合A 为函数的定义域，集合B 未必是函数的值域，值域C B ⊆； （3）正确理解函数符号()y f x =：①它表示y 是x 的函数，绝非f与x 的积；②()f a 仅表示()f x 在x a=时的函数值．2.函数三要素 定义域、值域、对应法则．3.两函数相同条件 定义域、对应法则均相同．4.求函数定义与原则 函数的定义域就是能使函数函数对应法则有意义的实数的集合．当函数有实际背景时，还要使实际问题有意义．5.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 五、函数的表示法1.函数的表示法 解析法、列表法、图象法．注：三种表示法各有优点，不能误认为函数只有解析式一种表示法． 2.作函数图象的步骤 列表，描点，连线．3.求函数解析式方法 待定系数法，配凑法，换元法，消元法．A BABAC U AU六、映射概念映射定义 设集合A 、B 是非空集合，如果按照某种对应法则f ，对于A 中的任一．．元素a 在B 中都有唯一．．元素b 与a 对应，那么这样的对应(包括A 、B 、f )叫做A 到B 的映射，即:f A B →．b 叫作a 的象，a 叫作b 的原象． 【注释】（1）集合A 、B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，A 到B 的映射与B 到A 的映射是截然不同的映射；（2）集合A 中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的； （3）A 中两个（或几个）元素可以允许有相同的有象；（4）不要求集合B 中每一个元素都有原象，即B 中可能有些元素不是集合A 中的元素的象． （5）判断从集合A 到集合B 的对应是否为映射的方法：①从A B →的对应只能是“一对一”或“多对一”的；(若f 可用解析式表示，则f 是唯一的，即()y f x = ) ②A 中元素必有象．，B 中元素可能没有原象．．(象的集合C B ⊆)． 如：{|04}A x x =≤≤，{|02}B y y =≤≤，则:f x y x →=是A B →的映射； :23f x y x →=不是A B →的映射．七、函数单调性与最大（小）值1．增函数、减函数定义设函数()y f x =的定义域为集合I ：增函数定义 如果对于属于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x 、2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说在()f x 这个区间D 上是增函数；减函数定义 如果对于属于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x 、2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间D 上是减函数．2．单调函数、单调区间定义如果函数()y f x =在区间D 是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间．3．增函数、减函数的等价定义 任取12,[,]x x a b ∈，则 『等价定义1』1212()()0f x f x x x ->-()f x ⇔在[,]a b 上是增函数；1212()()0f x f x x x -<-()f x ⇔在[,]a b 上是减函数．『等价定义2』1212()[()()]0x x f x f x -->()f x ⇔在[,]a b 上是增函数；1212()[()()]0x x f x f x --<()f x ⇔在[,]a b 上是减函数．4．对单调性概念的理解：（1）函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个区间．（2）有些函数在其定义域内不具有单调性，如1y x -=，2y x =；有些函数在其整个定义域内都具有单调性，如y x =，3y x =；（3）当函数在闭区间上单调时，区间包不包括端点都可以，但习惯上写成闭区间的形式；因为对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以区间端点处不具有单调性；（4）函数单调性定义中的1x 、2x 应取自同一单调区间且具有任意性； （5）在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的； 5．定义法证明函数单调性的步骤①任取…，②作差、变形（一般是因式分解、配方、分子或分母有理化），③判断符号，④结论． 八、函数的奇偶性1．奇函数定义如果对于函数定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫奇函数． 2．偶函数定义如果对于函数定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫偶函数． 3．函数的奇偶性定义如果一个函数是奇函数或偶函数，则称这个函数在其定义域内具有奇偶性． 注：（1）函数可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． （2）奇函数、偶函数定义域关于原点对称．（3）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数的必要不充分条件． 4．判断函数奇偶性的步骤先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再根据()f x -与()f x 的关系做出判断，为了便于判断，有时需要将函数进行化简．5．判断函数奇偶性的方法（1）奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法．（2）为了便于判断，有时将函数解析式化简后利用奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x -+=⇔函数为奇函数；()1()f x f x -=-⇔函数为奇函数（()0f x ≠）；()()0f x f x --=⇔函数为偶函数；()1()f x f x -=⇔函数为偶函数（()0f x ≠）． （3）根据函数图像的对称性判断奇偶性：图像关于原点对称的函数是奇函数，图像关于y 轴对称的函数是偶函数． （4）利用基本函数的奇偶性结论判断（具体内容见后面附录二）． （5）由任意一个定义域关于原点对称的函数()f x ，均可构造出一个奇函数()[()()]2g x f x f x =--、一个偶函数()[()()]2h x f x f x =+-． （6）利用以下结论判断奇偶性：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇，偶函数×偶函数=偶函数等．5．有关函数奇偶性的结论（1）奇函数在关于原点对称的区间内具有相同的单调性（如果具有单调性） （2）偶函数在关于原点对称的区间内具有相反的单调性（如果具有单调性） （3）若奇函数()f x 在0x =处有定义，则(0)0f =．（4）若()0f x =，且()f x 定义域关于原点对称，则函数()f x 既是奇函数，又是偶函数．八、指数1．方根的概念、性质及表示（1）方根的定义：如果n x a =，那么x 叫做数a 的n 次方根（1n >，N n *∈）．（2）方根的性质及表示：①当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，记作：，负数的偶次方根不存在； ③零的n 次方根是零． 2．根式概念、性质（1n 叫根指数，a 叫被开方数（a ．（2）根式性质：设1n >，且N n *∈，则①n= ． = ．3．指数的扩充 ⅰ整数指数幂：（1）正整数指数幂：n a 是指n 个a 的积，即na a a a =⋅⋅⋅，也叫做a 的乘方．（2）零指数幂：01(0)a a =≠． （3）负整数指数幂：1n n a a-=(0,N )a n *≠∈． ⅱ 有理指数幂：（1）正数的正分数指数幂：m na=0a >，,N m n *∈，1n >，且mn为既约分数）． （2）正数的负分数指数幂：m na-=0a >，,N m n *∈，1n >，且mn为既约分数）． ⅲ 无理指数幂一般地，正数的无理指数幂a α（0a >，α是无理数）是一个确定的实数，有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂．ⅳ实数指数幂一般地，正数的实数指数幂a α（0a >，α是实数）也是一个确定的实数，有理指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂．4．（实数）指数的运算性质共三条性质：设0a >，0b >，,R αβ∈，则（1）a a a αβαβ+=，（2）()a a βααβ=，（3）()ab a b ααα=． 附1.正整数指数的运算性质：设,N m n *∈，则（1）m n m n a a a +=，（2）()m n m na a a m n -÷=>，（3）()nmmn a a =，（4）()mm m ab a b =． 附2．有理指数幂a α的底数a 取值情况： ①α为正整数时，R a ∈；②α为负整数或0时，0a ≠； ③α为正分数q p （只研究,N p q *∈，且q p为既约分数）时， q 奇p 奇：R a ∈；q 偶p 奇：R a ∈；q 奇p 偶：0a ≥；④α为负分数q p -（只研究,N p q *∈，且qp为既约分数）时， q 奇p 奇：0a ≠；q 偶p 奇：0a ≠；q 奇p 偶：0a >；九、指数函数附：1．复合函数定义 如果y 是u 的函数，记为()y f u =，u 又是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集不空，则确定了一个y 关于x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()y f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．2．反函数定义 设函数()y f x =定义域是A ，值域是C ，由x ，y 对应关系，用y 把x 表示出来，得到()x y ϕ=，如果()x y ϕ=表示x 是y 的函数（即对于y 在C 中的任何一个值，通过()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应），则把()x y ϕ=叫做()y f x =的反函数，记作1()()x y f y ϕ-==习惯上写成1()y f x -=．【注释】①1()x f y -=与1()y f x -=都是()y f x =的反函数，且1()x f y -=与1()y f x -=是同一函数；②确定反函数与原函数的映射都是一一映射；③互为反函数的两个函数如果有解析式，一般是不同的，但也有少数例外，如函数y x =的反函数仍是y x =；函数11x y x -=+的反函数仍是11xy x-=+． 3．求反函数的步骤第一步：求反函数定义域，即求原函数值域； 第二步：求反函数对应关系，即反求原函数中x ； 第三步：写出反函数解析式，并注明定义域． 4．反函数的有关性质（1）还原性：①1[()]()f f x x x C -=∈；②1[()]()f f x x x A -=∈．（2）互换性：定义域，值域互换； （3）单调性：若有，则相同； （4）互为反函数的图像关系：函数()y f x =与其反函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称；函数()y f x =与其反函数1()x f y -=的图像相同．（5）一个假命题：互为反函数的两个函数图像如果有交点，则交点在直线y x =上． 【注】还原性的证明：1()x f y -=代入()y f x =得①；()y f x =代入1()x f y -=得②． 5．反函数的存在条件〗（1）一一映射确定的函数必有反函数； （2）单调函数必有反函数； （3）图像关于直线x y =对称的两个函数互为反函数.〖常见函数的反函数〗1．一次函数有反函数，且其反函数也是一次函数． 2．反比例函数有反函数，其反函数仍是反比例函数． 3．二次函数没有反函数． 4．函数ax b y cx d +=+(0,0)c b ≠≠有反函数，其反函数为dx by cx a-+=-．5．对数函数log a y x =(0,1)a a >≠与指数函数x y a =(0,1)a a >≠互为反函数． 4．【函数图象的作法】作函数图象有两条基本途径—描点法、图象变换法： 函数图象的变换 （1）平移变换 ①水平平移函数()(0)y f x a a =+>图像由函数()y f x =图像向＿平移＿单位得到；函数()(0)y f x a a =->图像由函数()y f x =图像向＿平移＿单位得到．②竖直平移函数()(0)y f x a a =+>图像由函数()y f x =图像向＿平移＿单位得到；函数()(0)y f x a a =->图像由函数()y f x =图像向＿平移＿单位得到．（2）对称变换①函数()y f x =-与()y f x =图像关于＿对称； ②函数()y f x =-与()y f x =图像关于＿对称； ③函数()y f x =--与()y f x =图像关于＿对称；④函数1()y f x -=与()y f x =图像关于＿对称；⑤函数|()|y f x =图像可由()y f x =图像按如下方式得到：将()y f x =图像在x 轴下方的部分沿x 轴＿，而图像的其余部分＿； ⑥函数(||)y f x =图像可由()y f x =图像按如下方式得到： 作出()y f x =图像0x ≥的部分，再利用“偶函数图像关于y 轴对称”的性质，作出(||)y f x =图像0x <的部分． （3）伸缩变换①函数()(0)y Af x A =>图像可按如下方式得到：当1A >时，将函数()y f x =图像上各点＿坐标＿到．原来的＿倍得到，（＿坐标不变）；当01A <<时，将函数()y f x =图像上各点＿坐标＿到．原来的＿倍得到，（＿坐标不变）； ②函数()(0)y f ax a =>图像可按如下方式得到：当1a >时，将函数()y f x =图像上各点＿坐标＿到．原来的＿倍得到，（＿坐标不变）； 当01a <<时，将函数()y f x =图像上各点＿坐标＿到．原来的＿倍得到，（＿坐标不变）． 附录二：基本函数的奇偶性1．反比例函数(0)ky k x=≠是奇函数． 2．一次函数(0)y kx b k =+≠，当0b =时是奇函数，当0b ≠时，是非奇非偶函数．3．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，当0b =时是偶函数，当0b ≠时，是非奇非偶函数． 4．幂函数()y x αα=∈R ．令||q p α=（,N p q *∈，1p =时，α为整数，1p >时，α为分数，且q p 为既约分数）（1）当q p 是奇数比奇数时，如1y x -=、13y x =、y x =、3y x =等，是奇函数； （2）当q p 是偶数比奇数时，如2y x -=、0(0)y x x =≠、2y x =等，是偶函数； （3）当q p 是奇数比偶数时，如12y x -=、12y x =等，是非奇非偶函数． 5．指数函数(0,1)x y a a a =>≠是非奇非偶函数． 6．对数函数log (0,1)a y x a a =>≠是非奇非偶函数． 7．函数(0)cy ax ac bx=+≠是奇函数． 8．函数()x x f x a a -=+(0,0)a a >≠为偶函数，函数()x xg x a a -=-(0,0)a a >≠为奇函数．9．函数221()1x x x x x x a a a f x a a a ----==++(0,0)a a >≠为奇函数． 10．函数1()log 1axf x x-=+(0,0)a a >≠为奇函数．11．函数()log (a f x x =(0,0)a a >≠为奇函数．。