高中数学必修五 3.4简单线性规划的应用-课件

由图形知：-11/3≤z≤1 即 -11/3≤a+3 b≤1
第十五页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
2.某家具厂有方木材90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书 桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售 一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；
x y 4
作直线 l0：2x y 0，
3
D
将直线 l0平移，平移到过A点 2
与 l0 的平行线 l1 重合时，可使 1
A
C
z 2x y 达到最小值，
当 l0平移过C点时，与 l0 -2
的平行线 l2 重合时，可使
z 2x y 达到最大值。
所以，zmin 2 3 1 7
-1 0 -1 -2 -3
当 生 产 100 张 书 桌 ， 400 张 书 橱 时 利 润 最 大 为 z=80×100+120×400=56000元
A(100,400)
x+2y-900=0
x
300
900
2x+y-600=0
（2）若只生产书桌可以生产300张，用完木工板，可获利 24000元；
（3）若只生产书橱可以生产450张，用完方木料，可获利54000元。
第十六页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
3 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1
吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需
耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的 利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂
在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过
300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各 生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?
通过分析，我们知道上述解法中，6 2x 10及0 y 2 是对的，但用x的最大(小)值及y的最大(小)值来确 定2x+y的最大(小)值却是不合理的。
怎么来解决这个问题和这一类问题呢？这就 是我们今天要学习的线性规划问题。
第五页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
我们设我们设z=2x+y方程变形为y=-2x+z,等式表示斜率为-2,纵截
x x
y y
6 4
-2 -1 0 1 2 3 4B 5 6 7 x -1
与不等式
3 x 5 0 y 2
-2
xy4 x y6
所表示的平面区域却不同？
-3
（扩大了许多！）
-4
第四页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
例1.若实数x,y满足
4 x y 6 2 x y 4
① ②
求2x+y的取值范围。
当首x先=3,：y=我0时们,得画出2出x+y的24最小xx
y y
6 4
表示的平面区域
值为6,但此时x+y=3,点(3,0)不 y
在不等式组的所表示的平面 6
区域内,所以上述解答明显错了 5
．
4
x y 2 x y 4
从图中我们可以看出
3
D
解得
3 0
x y
5 2
没错
2 1
A
C
但不等式
4 2
0.105x 0.105y 0.075
7x 7y 5
0.07x 0.14y 0.06 0.14x 0.07y 0.06
,整理为
7x 14y 6 14x 7y 6
x 0, y 0
x 0, y 0
作出约束条件所表示的可行域，
如右图所示
目标函数可变形为 y 4 x z ，
得点M的坐标为 x 1 , y 4 77
zmin 28x 21y 16
答：每天需要同时食用食物A约0.143 kg， 食物B约0.571 kg，能够满足日常饮食要求， 且花费最低16元.
幻灯片13
幻灯片14
第十二页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
解：设每天食用xkg食物A, ykg食物B,总花费为z元, 则目标函数为z=28x+21y且x、y满足约束条件
距为z的直线,把z看成参数,方程y表示的是一组平行线．
要求z的范围，现在就转
化为求这一组平行线中,与 x y 4 6 x y 6
阴影区域有交点,且在y轴
5
上的截距达到最大和最小的
直线.
4
x y 2 x y 4
由图，我们不难看出，这种
3
直线的纵截距的最小值为过
A(3,1)的直线，纵截距最大为
l0
l1 l l2
第六页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
4 x y 6
例1.若实数x,y满足 2 x y 4 求2x+y的取值范围
解：作线形约束条件所表示
的平面区域，即如图所示四
6y x y 6
边形ABCD。
xy4 5
求得 A(3,1) B(4,0)
x y 2
4 C(5,1) D(4,2)
（1）怎样安排生产可以获利最大？
（2）若只生产书桌可以获利多少？ （3）若只生产书橱可以获利多少？
求解：
y
（1）设生产书桌x张，书橱y张，利润
600
为z元， 则约束条件为
{0.1x+0.2y≤90 2x+y≤600
450
x，y∈N*
Z=80x+120y
作出不等式表示的平面区域，
0
将直线z=80x+120y平移可知：
3 21
如图，作直线 l0 ,当直线 l0 : 28x 21y 0
平移经过可行域时，在 点M处达到 y轴上截距 2z1的最小值，即此时
z 有最小值.解方程组
7x 7 y 5 14x 7 y 6
返回幻灯片12 第十三页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
❖ 1、已知：线-1≤性a+规b≤划1，的1应≤a用-2b练≤3习，：求a+3b的取
2
过C(5,1)的直线。
过A(3,1)时，因为z=2x+y，所
1
以 z 231 7
同理，过B(5,1)时，因为
-2
-1 0
z=2x+y，所以
-1
z 2 5 1 11
-2
所以 zmin 2 3 1 7 -3
zmax 2 5 1 11 -4
D
A
C
1 2 3 4B 5 6 7 x
•
50
作出一组平行直线 600x+1000y=t
40 M (12.4,34.4)
，
经过可行域上的点M时,目标函数在y
4x+9y=360
轴上截距最大.
此时z=600x+1000y取得最大值.
{ 由
5x+4y=200
10
0 10 20 30 40 5x+4y=200
10x+4y=300
90 x
4x+9y=360
600x+1000y=0
解得交点M的坐标为(12.4,34.4)
答:应生产甲产品约12.4吨，乙产品34.4吨，能使利润总额达到最大。 第十一页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
应用3－有关成本最低、运费最少等问题
【例3】营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg
的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg 碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有 0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足 营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和 食物B多少kg？
∴-13/3≤a+3 b≤5/3
∵-1≤a+b≤1，1≤a-2 b≤3
Байду номын сангаас
∴-11/3≤a+3 b≤1
第十四页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的取值 范围。
解法2 约束条件为：
a b 1 a b 1 a 2b 1 a 2b 3
目标函数为：z=a+3b
B种矿石（t） 煤（t） 利润（元）
甲产品 xt
（1t）
10 5 4
600
乙产品 yt
（1t）
4
4 9 1000
资源限额 （t）
300
200 360
设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
把题中限制条件进行转化：
10x+4y≤300 54xx++49yy≤≤230600
x≥0
y ≥0
12 •
3 4B 5 6
7x
zmax 2 5 1 11
-4
l0
l1
l 2 第七页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
4 x y 6 例1.若实数x,y满足 2 x y 4 求2x+y的取值范围
解法2：由待定系数法: 设 2x+y=m(x+y)+n(x-y)
=(m+n)x+(m-n)y
约束条件
目标函数： z=600x+1000y.
第十页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
例题分析
解:设生产甲、乙两种产品.分别为x
{10x+4y≤300 5x+4y≤200
4x+9y≤360
x≥0 y ≥0
t、yt,利润总额为z=600x+1000y. 元,那么
75
y
z=600x+1000y.
作出以上不等式组所表示的可行域
值范围。
解法1：由待定系数法: 设
解法2：∵-1≤a+b≤1，1≤a-2 b≤3
a+3b=m(a+b)+n(a-2 b)
∴-2≤2a+2 b≤2，
=(m+n)a+(m-2n)b
-3≤2 b-a≤-1
∴m+n=1，m-2n=3
m=5/3 ，n=-2/3
∴-1/3≤a≤5/3 -4/3≤b≤0
∴ a+3b=5/3×(a+b)-2/3×(a-2 b)
∴m+n=2，m-n=1
m=3/2 ，n=1/2
∴ 2x+y=3/2×(x+y)+ 1/2 ×(x-y)
∵4≤x+y≤6，2≤x-y≤4 ∴7≤2x+y≤11
第八页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
应用2－有关利润最高、效益最大等问题
例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗
A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石 4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品 的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种 矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不超过360t. 甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t),能使利润总额达到最 大?
第一页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
解线性规划应用问题的一般步骤：
1）理清题意，列出表格：
2）设好变元并列出不等式组和目标函数
3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；
画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；
4）在可行域内求目标函数的最优解（注意整数解的调整）
法1：移－在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方 法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
资源
产品 甲种棉纱 （吨）x
一级子棉（吨）
2
二级子棉（吨）
1
利润（元）
600
乙种棉纱 （吨）y
1 2 900
资源限额 （吨）
300 250
第十七页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
❖ 解：设生产甲、乙两种 棉纱分别为x吨、y吨， 利润总额为z元，则
2x y 300 x 2y 250 x 0 y 0 Z=600x+900y
法2：算－线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取 得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落 在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。
5)还原成实际问题
(准确作图，准确计算)
第二页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
应用1－有关二元一次代数式取值范围
例1.若实数x,y满足
列表： 设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
消耗量 产品 资源
甲产品 （1t）
乙产品 （1t）
资源限额 （t）
A种矿石（t）
10
4
300
B种矿石（t）
5
4
200
煤（t）
4
9
360
利润（元）
600
1000
第九页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
例题分析 消耗量 产品 列表：资源 A种矿石（t）
作出可行域，可知直 线Z=600x+900y通过点 M时利润最大。
解方程组
2x y 300 x 2y 250
得点M的坐标
x=350/3≈117
y=200/3≈67 答：应生产甲、 乙两种棉纱分别 为117吨、67吨， 能使利润总额达 到最大。
第十八页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。
4、咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖 3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g．已知每天原料的使 用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g 糖3000g,如果甲种饮料每杯 能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额
4 x y 6 2 x y 4
① ②
求2x+y的取值范围。
解：由①、②同向相加可得：
6 2x 10即3 x 5
③
由②得 4 y x 2
将上式与①同向相加得 0 y 2 ④
③+④得 6 2x y 12
以上解法正确吗？为什么？
第三页，编辑于星期日：二十三点 五十三分。