湖北省黄石市2016届高三九月调研考试数学(理科)试题

黄石市2016届高三年级九月调研考试
数 学（理工类）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．
3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝2{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<，则A B = A ．(1，3) B ．(1，4) C ．(2，3) D ．(2，4) 2．复数z =
31i
i
-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
3．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是
4．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S 为
A ．119
B ．719
C ．4949
D ．600
5．抛物线218
y x =的焦点到双曲线2213x y -=的一条渐近线的
距离为 A ．1
B ．2
C
D
．6．已知||＝1，||＝2，与的夹角为
60，则＋在上的投影为
A ．2
B ．1
C ．
772 D ．7
7
7．如果将函数()2sin 3f x x =的图象向左平移(0)3
ϕ
ϕ>个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)的图
象关于直线4
x π
=对称，则ϕ的最小值是 A ．
34π
B ．
2
π
C ．
3
π
D ．
6
π 8．下列四个结论：
A
B C D （第3题图）
①命题“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”．
②设,a b 是两个非零向量，则“//a b ”是“a b a b ⋅=⋅”成立的充分不必要条件．
③某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样．
④设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，回归方程为71.8585.0ˆ-=x y
，则可以得出结论：该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ． 其中正确的结论个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有f (x ＋6)＝f (x )＋2f (3)，且f (0)＝3，则f (2016)＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．黄石市为办好“矿冶文化旅游节”，组委会特向全市招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2
号、…、19号、20号．现从中任意选取4人，再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是 A ．16 B ．21 C ．24 D ．90
11．已知实数x ，y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥-+≥+-1010
3x y x y x ，若直线01=-+ky x 将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为 A ．－3
B ．3
C ．
3
1 D ．－
3
1 12．在正项等比数列{a n }中，存在两项a m 、a n ，使得n m a a ＝4a 1，且a 7＝a 6＋2a 5，则
n
m 5
1+的最小值是 A ．
4
7
B ．1＋35
C ．
6
25
D ．
3
5
2 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题—第21题为必考题，每个试题考生必须作答。

第22题—第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．(x －2)(x －1)5的展开式中所有项的系数和等于 ． 14．如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(3，9)，函数f (x )＝x 2
，
若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等 于 ．
15．定义在R 上的函数f (x )，若对任意的实数a 、b 都有f (a )＋f (b )＝f (a ＋b )－
3ab (a ＋b )，则称f (x )是“负3倍韦达函数”，则f (x )＝
时，f (x )是一个“负3倍韦达函数”(只须写出一个)．
16．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝60°，动点E
和F 分别在线段BC 和DC 上，且1
,9BE BC DF DC λλ
==
，则A EA F 的最小值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知(cos 3cos )b A C -＝
(3)cos c a B -.
⑴求
sin sin A
C
的值； ⑵若1
6
cosB ＝，△ABC 的周长为14，求b 的长．
18．（本小题满分12分）某校为了响应《中共中央国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见》精
f (x )＝x 2 C
D A B O x
y
神，落实“生命—和谐”教育理念和阳光体育行动的现代健康理念，学校特组织“踢毽球”大赛，某班为了选出一人参加比赛，对班上甲乙两位同学进行了8次测试，且每次测试之间是相互独立的.成绩
⑵从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加比赛合适，请说明理由；
⑶若将频率视为概率，对甲同学在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩高于79个/分钟的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望ξE .
（参考数据：
316217610111222222222=+++++++ 344345521211022222222=+++++++）
19．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -，
底面A B C D 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点． ⑴证明：AE PD ⊥；
⑵若AB ＝2，P A ＝2，求二面角E —AF —C 的余弦 值．
20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，且12||A A =P 为椭圆上异于1A ，2A 的点，1PA 和2PA 的斜率之积为1
3
-．以)2,3(-M 为圆心，r 为半径的圆与
椭圆C 交于A ，B 两点． ⑴求椭圆C 的方程；
⑵若A ，B 两点关于原点对称，求圆M 的方程； ⑶若点A 的坐标为(0，2)，求△ABM 的面积． 21．（本小题满分12分）已知函数)0,(1)1ln()(≠∈+-
+=a R a x
x
x x f . ⑴求f (x )的单调区间； ⑵证明：*
N n ∈∀，有n
n n 1)11ln(11
<+<+； ⑶若n n
a n ln 1
211-+⋅⋅⋅++
=，证明：*N n ∈∀，有01>>+n n a a .
请考生从第22、23、24题中任选一题作答，多答，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点.
⑴证明：EF ∥BC ； ⑵若AG 等于⊙O 的半径，且AE MN ==四边形EBCF
的面积． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴 为极轴的极坐标系中，曲线C ：2sin 4cos ρθθ=，
直线l 的参数
方程：⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+-=+-=t y t x 22422
2
(t 为参数)，两曲线相交于M ，N 两点．
G
A
E
F
O
N
D
B C
M
P
B E
C
D
F
A
⑴写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； ⑵若)4,2(--P ，求PN PM +的值. 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数34)(-+-=x x x f ，)(x f 的最小值为m ．
⑴求m 的值；
⑵当),,(32R c b a m c b a ∈=++时，求222c b a ++的最小值．
黄石市2016届高三年级九月调研考试
数学（理工类）答案
大冶一中 黄俊峰
1．C 2．D 3．A 4．B 5．C 6．A 7．A 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 13．0 14．
2714 15．3
x 16．589
17．解：(1)由正弦定理，及A ＋B ＋C ＝π，
得：(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ，
化简可得：sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )．所以sin C ＝3sin A ，因此sin sin A C ＝1
3
． ………6分
(2)由
sin sin A C ＝13
得c ＝3a ．由余弦定理及cos B ＝1
6
得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋9a 2－6a 2×
1
6
＝9a 2． 所以b ＝3a ．又a ＋b ＋c ＝14．从而a ＝2，因此b ＝6．
……………………………6分
18．解：⑴
……………………………4分
⑵828
84
83758872938180=+++++++=
甲x
828
85
78877784709382=+++++++=乙x
5.398
2176101112222222222
=+++++++=甲S
438
3455212110222222222
=+++++++=乙S
由于甲乙的平均成绩相等，而甲的方差较小，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适 …8分
注：本小题的结论及理由不唯一，如果考生从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分；如派甲比较合适，理由如下：甲获得79个/分钟以上的概率为43
861==
P ，乙获得79个/分钟以上的概率为8
52=P ．∵P 1>P 2，所以派甲参赛比较合适．
⑶由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3
由表格可知，高于79个/分钟的频率为43，则高于79个/分钟的概率为4
3
，则 P(ξ=0)=(1－43)3=641，P(ξ=1)=64
9)431(43213=-⨯⨯C ， P(ξ=2)=64
27)431()43(22
3=
-⨯⨯C ，P(ξ=3)=6427)43(3=． ……………………10分 分布列如下：
∴ 4
64364264916410=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………………………12分 19．解：⑴证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形．
因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．
甲 乙 3 9 3 8 4 3 1 0 8 2 4 5 7
5 2 7 0 7 8
又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．
因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD A =，
所以AE ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD ， 所以AE PD ⊥． ……………………………6分 ⑵解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ． 过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面P AC ，过O 作OS ⊥AF 于S ，连接ES ，
则∠ESO 为二面角E —AF —C 的平面角，在Rt △AOE 中，3
·
sin 30EO AE ==， 3
·cos30AO AE ==
，又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，
32
·sin 45
SO AO =
=
又
SE ==
= 在Rt ESO
△中，
cos SO ESO SE ∠=== ． …………12分
解法二：由⑴知AE ，AD
，AP 两两垂直，以A
为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，又E ，F 分别为BC ，PC 的中点， 所以(000)10)
(020)A B C D -，，，，，，，，，，
1(002)0)12P E F ⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，，所以31(300)12AE AF ⎛⎫
== ⎪⎪⎝⎭
，，，，，． 设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，则·0
·0AE AF ⎧
=⎪
⎨=⎪⎩，，m m 因此11
1101
02
y z =++=，
．
令11z =-，则(021)=-，
，m ，因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，
PA AC A =， 所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量．又(0)BD =，，
所以·cos 5·BD BD BD
<>=
=
=
，m m m ． 因为二面角E AF C --． ……………………12分 20．⑴由题意可知2a =43，即a =23，设P (x 0，y 0)，A 1(－23，0)，A 2(23，0)
3112
3
2322
020
00
00
21-=-=
-⋅
+=
⋅x y x y x y K K PA PA ， 即12－
2
20
3y x = 1
4122020=+y x 又P (x 0，y 0)在椭圆112222=+b y x 上，故b 2
=4，即椭圆C 的方程为141222=+y x ．
……………………………4分
⑵因为A ，B 两点关于原点对称，所以O 是AB 的中点，由垂径定理可知MO ⊥AB ，又M (－3,2)，所以直线MO 的斜
率为－32，故直线AB 的斜率为23，则直线AB 的方程为y =23x ，联立⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==+x
y y x 2314122
2解得31108,314822
=
=A A y x ，由勾股定理得r 2=MA 2=MO 2+OA 2=9+4+31559
311083148=
+
，
所以圆M 的方程为(x +3)2+(y －2)2=
31
559
． ……………………………8分
⑶显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =kx +2，联立⎪⎩
⎪⎨⎧+==+
214
122
2kx y y x 得(1+3k 2)x 2+12kx =0， 则B (22
23162,
3112k k k k
+-+-
)，线段AB 的中点为E (22
312
,316k k k
++-
)，直线ME 的斜率为
1232)3(3162
312
2
222
+--=--+--+k k k k
k k ，∵AB ⊥ME ，∴123222+--k k k ·k =－1 ∴∴=-+-012322
3k k k (k －1)(2k 2－k +1)=0，解得k =1，所以直线AB 的方程为y =x +2，
B (－3,－1)，所以|AB|=32，点M 到直线AB 的距离为22
3，
故△ABM 的面积为
2
9
2232321=⨯⨯．
………………………………12分 21．⑴2
2)
1()1(111)(x x
x x x f +=+-+='
令)(x f '>0，又x ＞－1，则x ＞0，令)(x f '<0，又x ＞－1，则－1<x <0 故f (x )的递减区间是(－1,0)，递增区间是(0，+∞)
……………………4分
⑵设x =
]1,0(1
∈n ，则
x x x x n n n <+<+⇔<+<+)1ln(11)11ln(11，
由⑴知：f (x )=l n (1+x )－1+x x
，f (0)＝0，当x ∈(0，1)时，f (x )单调递增，∴f (x )＞0，即)1ln(1+<+x x x ．
再来证明：当x ∈(0，1)时l n (1+x )<x ．
构造函数m (x )=l n (x +1)－x x ∈(0，1)，则01111)(<+-=-+=
'x x
x x m ，
故m (x )在(0，1)上递减 ∴当x ∈(0,1)时，m (x )<m (0)=0，即l n (1+x )<x ， 综上可知：*
N n ∈∀有
n
n n 1
)11ln(11<+<+．
……………………8分 ⑶由⑵的结论知，*
N n ∈∀有n n n 1)11ln(11<
+<+
所以0)11ln(11ln )1ln(111<+-+=++-+=-+n n n n n a a n n 所以a n >a n +1
又n n n n a n ln )1
1ln()211ln()11ln(
ln 1211-++⋅⋅⋅++++>-+⋅⋅⋅++= =l n 2+l n n
n n ln 1
ln 23-++⋅⋅⋅+
0ln )1ln(ln ]ln )1[ln()2ln 3(ln 2ln >-+=--++⋅⋅⋅+-+=n n n n n
综上，*
N n ∈∀有a n >a n +1>0 ……………………12分
22．解：⑴由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线，
又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF ， 从而EF ∥BC ． ……………………5分 ⑵由⑴知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线．又EF 为 ⊙O 的弦，所以O 在AD 上，连结OE ，OM ，则OE ⊥AE ， 由AG 等于⊙O 的半径，得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°， 因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形，
因为AE =AO ＝4，OE ＝2， 因为OM ＝OE ＝2，32
1
==MN DM ，所以OD ＝1， 于是AD ＝5，3
3
10=
AB ， 所以四边形EBCF
的面积为
221122⨯⨯
……………………10分
23．⑴曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ，直线l 的普通方程为x －y －2＝0，
……………………5分
⑵直线l 的参数方程⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+-=+-=t y t
x 2
2422
2（t 为参数）代入y 2=4x ，得到t 2－122t ＋48＝0，得M ，N 对应的参数分别为t 1
，
t 2，则t 1+t 2=122，t 1t 2=48>0． ∴|PM |+|PN |=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=122
……………………10分
另解：由⎪⎩⎪⎨⎧=--=0
242y x x
y 联立解得： )322,324(),322,324(--++N M ．由两点间距离公式，得：|PM |＋|PN |
＝122． ……………………10分
24．⑴f (x )=|x －4|+|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|=1 (3≤x ≤4时取等号)
故f (x )的最小值为1，即m =1 ……………………5分 ⑵(a 2+b 2+c 2)·(12+22+32)≥(a +2b +3c )2=1
故a 2+b 2+c 214
1
≥
当且仅当a =141，b =71，c =143时取等号．
∴a 2＋b 2＋c 2的最小值为14
1
……………………10分。