数学_2014年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(文科)(含答案)

2014年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 已知集合M ={x|x 2−x ≤0, x ∈R}，集合N =(0, 1]，则集合M 与N 的关系（ ）
A M ⊊N
B N ⊊M
C M =N
D N ⊈M 且M ⊈N
2. 复数2i 1−i 的虚部为（ ）
A i
B −i
C 1
D −1
3. 按照如图的程序运行，则输出的K 值为（ ）
A 2
B 3
C 4
D 5
4. 直线l:x +√3y −4=0与圆C:x 2+y 2=4的位置关系是（ ）
A 相交过圆心
B 相交不过圆心
C 相切
D 相离
5. 已知a ，b ∈R ，则“a +b >0且ab >0”是“a >0且b >0”成立的（ ）
A 充分不必要
B 必要不充分
C 充要条件
D 既不充分也不必要
6. 下列函数中，与函数y =x 的奇偶性，单调性均相同的是（ ）
A y =x 2
B y =sinx
C y =lnx
D y =e x −e −x 3
7. 甲、乙两棉农，统计连续五年的面积产量（千克∕亩）如下表：
则平均产量较高与产量较稳定的分别是（ ）
A 棉农甲，棉农甲
B 棉农甲，棉农乙
C 棉农乙，棉农甲
D 棉农乙，棉农乙
8. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)，(ω>0, φ∈(0, π2
)的部分图象如图所示，其中点P 是图象的最高点，则f(0)=( ) A √3 B √2 C 1 D √32
9. 设a →，b →
是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（ ）
A 若|a →+b →|＝|a →|−|b →|，则a →⊥b →
B 若a →⊥b →，则|a →+b →|＝|a →|−|b →|
C 若|a →+b →|＝|a →|−|b →|，则存在实数λ，使得b →=λa →
D 若存在实数λ，使得b →=λa →，则|a →+b →|＝|a →|−
|b →
| 10. 如图，有16个格点，每个格点小正方形的面积为1，给图中间的小正方形内任意投点P ，则点P 落在图中阴影部分的概率是（ ）
A 56
B 78
C 910
D 1112
二、填空题（本大题共50分，每小题5分，共25分．请将正确答案写在答题纸的指定区域内）
11. 若抛物线C:y 2=2px(p >0)与双曲线C:x 23−y 2=1的一个焦点相同，则抛物线C 的方
程为________．
12. 观察下列等式：照此规律，第n 个等式可为________．
2=1×2
2+4=2×3
2+4+6=3×4
2+4+6+8=4×5
…
13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
14. 已知f(x)={x 12，x ∈(0,+∞)|sinx|,x ∈(−π2，0)，若f(a)=12，则a =________．
（考生注意：请在下列15~17三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）【不等式选做题】
15. 若不存在实数x 使|x −3|+|x +1|≤a 成立，则实数a 的取值范围是________．
【几何证明选做题】
16. （几何证明选做题）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，
E是AB延长线上一点，且DF=CF=√2，AF:FB:BE=4:2:1，若CE与圆相切，则线段CE 的长为________．
【坐标系与参数方程选做题】
17. 以直线坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l:y=x与圆C:ρ=4cosθ相交于A、B两点，则以AB为直径的圆的面积为________．
三、解答题（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
18. 已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3−1的等差中项，
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足b n=n+a n(n∈N∗)求数列{b n}的前n项和S n．
19. (1)证明两角差的余弦公式C
（α−β）
:cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ；
(2)若cosα=−3
5，α∈(0, π)，求cos(α−π
4
)的值．
20. 已知在长方体ABCD−A′B′C′D′中，点E为棱上CC′上任意一点，AB=
BC=2，CC′=1．
（1）求证：平面ACC′A′⊥平面BDE；
（2）若点P为棱C′D′的中点，点E为棱CC′的中点，求三棱锥P−BDE的体积．
21. 某学校高二年级共有1000名学生，其中男生650人，女生350人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了200名学生．
（1）完成下面的2×2列联表；
（2）在喜欢运动的女生中调查她们的运动时间，发现她们的运动时间介于30分钟到90分
钟之间，右图是测量结果的频率分布直方图，若从区间段[40, 50)和[60, 70)的所有女生中
随机抽取两名女生，求她们的运动时间在同一区间段的概率．
22. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上的一点．
（1）若△PF 1F 2周长为6，离心率e =12，求椭圆C 的方程； （2）过右焦点F 2做斜率为k 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，交Y 轴与点M ，且MB →=BF 2→
，若|k|≤√142，求椭圆C 的离心率e 的取值范围． 23. 已知f(x)=1−x +lnx ，g(x)=mx −1(m >0)
(1)求函数y =f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤g(x)恒成立，求m 的取值范围；
(3)当m =2时，令b =f(a)+g(a)+2，求证：b −2a ≤1．
2014年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（文科）答案
1. B
2. C
3. B
4. C
5. C
6. D
7. B
8. A
9. C
10. D
11. y 2=8x
12. 2+4+6+...+2n =n(n +1)
13. 8π
14. −π6或14 15. (−∞, 4)
16. √72
17. 2π
18. 解：(I)∵ a 1=1，a 2是a 1和a 3−1的等差中项，
∴ 2a 2=a 1+a 3−1=a 3；
又{a n }为等比数列，2a 1q =a 1q 2，解得q =2，
∴ a n =2n−1．
(II)∵ a n =2n−1，b n =n +a n (n ∈N ∗)，
∴ b n =n +2n−1，
∴ S n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =(1+2+3+⋯+n)+(20+2+22+⋯2n−1) =n(n +1)2+1−2n
1−2
=n(n+1)2+2n −1．
19. 解：(I)如图，在直角坐标系xoy 中作单位圆O ，当α、β为锐角时， 作出角α、β，其终边分别交单位圆于A 、B 两点，
则A(cosα, sinα)，B(cosβ, sinβ)，
∵ OA →⋅OB →=|OA →|⋅|OB →
|cos(α−β)=cos(α−β)，
再根据两个向量的数量积公式可得OA →⋅OB →=cosαcosβ+sinαsinβ，
∴ cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ．
由诱导公式可以得到α、β为任意角时上式也成立．
(II)∵ α∈(0, π)，cosα=−35，∴ sinα=45． ∴ cos(α−π4)=cosαcos π4+sinαsin π4=−35×√22+45×√22=√210
． 20. （1）证明：∵ ABCD 为正方形，∴ AC ⊥BD ，
∵ CC′⊥平面ABCD ，∴ BD ⊥CC′，
又CC′∩AC =C ，∴ BD ⊥平面ACC′A′，
∵ BD ⊂平面BDE ，
∴ 平面BDE ⊥平面ACC′A′．
（2）解：∵ V P−BDE =V B−PDE ，
由ABCD −A′B′C′D′是长方体，∴ BC ⊥平面CC′D′D ，
即三棱锥B −PDE 的高BC =2，
底面三角形△PBE 面积
S △PBE =S CC ′D ′D −S △DCE −S △EC ′P −S △PD ′D
=1×2−12×1×1−12×2×12−12×1×12=3
4， ∴ V P−BDE =V B−PDE =13×2×34=1
2． 21. 两名女生的运动时间在同一区间段的概率为7
15．…
22. 解：（1）∵ △PF 1F 2周长为6，离心率e =12， ∴ {2a +2c =6c a =12
，解得a =2，c =1，∴ b =√3， ∴ 所求椭圆C 的方程为x 24+
y 2
3=1−−−−−−−−−−−−− （2）由已知设直线AB 方程为y =k(x −c)，则M(0, −kc)，F 2(c, 0)， ∵ MB →=BF 2→，∴ B(c 2，−kc
2)．-------------
∵ 点B在椭圆C上，
∴ c2
4a2+k2c2
4b2
=1，
则k2=(1−c2
4a2)4b2
c2
=4a2−c2
4a2
⋅4(a2−c2)
c2
≤7
2
−−−−−−−−−−−−−
∴ 8a4−17a2c2+2c4≤0，
即2e4−17e2+8≤0(2e2−1)(e2−8)≤0，∴ 1
2
≤e2≤8，
∵ 椭圆的离心率小于1
∴ √2
2
≤e<1−−−−−−−−−−−−−
23. 解：(I)求导f′(x)=1
x −1=1−x
x
，
由f′(x)=0，得x=1．
当x∈(0, 1)时，f′(x)>0；
当x∈(1, +∞)时，f′(x)<0．
∴ 函数y=f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是减函数．(II)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=lnx−(1+m)x+2，
则ℎ′(x)=1
x
−(m+1)，
∵ m>0，
∴ m+1>0，由ℎ′(x)=0得x=1
1+m
，
当x∈(0, 1
1+m )时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, 1
1+m
)上是增函数；
当x∈(1
1+m , +∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1
1+m
, +∞)上是减函数．
∴ ℎ(x)在(0, +∞)上的最大值为：ℎ(1
1+m
)=1−ln(1+m)≤0，
解得：m≥e−1；
所以当m≥e−1时f(x)≤g(x)恒成立．
(III)由题意知，b=lna+a+2．
由(I)知：f(x)=lnx−x+1≤f(1)，即有不等式lnx−x+1≤0(x>0)．于是：b=lna+a+2=lna−a+1+2a+1≤2a+1，
即：b−2a≤1．。