北师大版高中数学选修1-1-高二上学期期末统考.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
江西省宜春市2011-2012学年高二上学期期末统考
数学(文科)试题
（注意：请将答案填在答题卡上）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若x x x f cos sin )(+=,则()2
f π
'等于（ ）
A. 1-
B. 0
C. 1
D. 2
2．下列命题中的真命题是( )
A ．若d c b a >>,,则bd ac >
B ．若,b a >则2
2
b a > C ．若,b a >则22b a > D ．若,b a >则2
2b a > 3. 命题“存在x R ∈，使得2
250x x ++=”的否定是( )
A ．存在x R ∈，使得2
250x x ++≠ B ．不存在x R ∈，使得2
250x x ++≠ C ．对任意x R ∈，都有2
250x x ++≠ D ．对任意x R ∈，都有2
250x x ++= 4. 已知A 是ABC ∆的内角,命题p :2
1
sin =
A ；命题q :23cos =A ，则q 是p 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,051=+a a ,且209=a ,则=11S ( )
A ．260
B ．220
C ．130
D ．110
6. 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形
7． 已知12,F F 是双曲线C ：22
1x y -=的左、右焦点，点P 是双曲线上一点，且
01260F PF ∠=，则=⋅21PF PF （ ）
A ．4
B ．2
C ．8
D ．6
8. 已知函数1)(2
3--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．),3[]3,(+∞--∞
B ．
]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 9. 若实数y x ,满足不等式⎪⎩
⎪
⎨⎧≥--≤-≥0
2240
y x y x y ，则11+-=x y ω的取值范围是（ ）
A. ]31,1[-
B. ]31,21[-
C. )2,21[-
D. ),2
1
[∞+- 10.已知M 是面积为1的ABC ∆内的一点，，若MB C ∆,MCA ∆MAB ∆的面积分别为
y
x y x 4
1,,,21+则的最小值为 ( ) A ．20 B ．18 C ．16 D ．9
二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中横线上）
11. 抛物线x y 42
=上一点A 的横坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 . 12．函数x x x f ln 2)(2
-=的单调递增区间是 .
13. 若不等式62<+ax 的解集为)2,1(-，则实数a 的值为 .
14. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若,3,1200
==∠c A 面积
,4
3
15=
S 则=a . 15. 数列{}n a 满足11a =，11
n n n a a n λ
+-=
+，其中R ∈λ，12n =，，．给出下列命题：
①存在R ∈λ，对于任意i ∈*
N ，0i a >；
②存在R ∈λ，对于任意2()i i ≥∈*
N ，10i i a a +<；
③存在R ∈λ，m ∈*N ，当i m >（i ∈*
N ）时总有0i a <. ④存在R ∈λ，m ∈*N ，当i m >（i ∈*
N ）时总有0i a =.
其中正确的命题是 .（写出所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）
16．（本小题满分12分）已知函数c bx ax x x f +++=2
3)(,曲线)(x f y =在点1=x 处的
切线为,013:=+-y x l 若3
2
=x 时，)(x f y =有极值. （1）求c b a ,,的值；
（2）求)(x f y =在]1,3[-上的最大值和最小值.
17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3a =
，
2223b c bc +-=.
（1）求角A ； （2）设4
cos 5
B =
，求边c 的大小. 18．（本小题满分12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量
y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：
)0(160039202>++=v v v v
y .
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精
确到1.0千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
19．（本小题满分12分）设命题p ：方程01)2(442
=+-+x a x 无实数根； 命题q ：函
数
2ln(1)y x ax =++的值域是R ．如果命题q p 或为真命题，q p 且为假命题，求实数a
的取值范围．
20．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的公差d 大于0,且35a a 、是方程
045142=+-x x 的两根,数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且*1()2
n
n b S n N -=
∈． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）若n n n b a c ⋅=求数列{}n c 的前n 项和n T ．
21．（本小题满分14分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>经过点(2, 1)A ，离心率为22,
16、
（本小题12分） 过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k 为定值．
江西省宜春市2011-2012学年高二上学期期末统考
数学（文科）答题卡
一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）
11． ；12． ；13． ； 14． ；15． ．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 座位号
17、（本小题12分）
18、（本小题12分）
19、（本小题12分）
20、（本小题13分）
21、（本小题14分）
参考答案与评分标准
一、1—5 ADCAD 6—10 DABCB
二、11．5 ；12．),2
1
(∞+ ；13．－4 ；14． 7 ； 15．①③④ ．
16．解：（1）由c bx ax x x f +++=23)(,得,23)(2
b ax x x f ++=' ………………1分 当1=x 时，切线l 的斜率为3，可得02=+b a ① …………………………2分
当32=
x 时，)(x f y =有极值，则032=⎪⎭
⎫ ⎝⎛'f ,可得0434=++b a ② …………3分
由①②解得:.4,2-==b a ……………………………………4分 由于切点的横坐标为,1=x .4)1(=∴f .41=+++∴c b a 5=∴c ．
∴.5,4,2=-==c b a …………………………………………6分
（2）由（1）可得542)(23+-+=x x x x f ,∴,443)(2
-+='x x x f
令0)(='x f ,得3
2
,221=-=x x ．………………8分
当x 变化时，y ,y ′的取值及变化如下表：
x
-3
)2,3(--
-2
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-32,2
3
2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,32 1 y ′
+
- 0 + y
8
单调递增 ↗ 13
单调递减
↘
27
95
单
调递增 ↗
4
∴)(x f y =在]1,3[-上的最大值为13，最小值为
.27
95
………………12分 17．解：（1）,3=a 由322
2=-+bc c b 得：,2222bc a c b =
-+………3分
,2
22cos 222=-+=∴bc a c b A 045=∴A ………………6分
（2）由,054cos >=B 知B 为锐角，所以,5
3sin =B
10
2
753225422sin cos cos sin )sin(sin =
⨯+⨯=
+=+=∴B A B A B A C ……9分
由正弦定理得：.5
3
7sin sin ==
A C a c ………………………………………12分 18．解：（1）依题意，,
83920160023920)1600(3920=+≤++=v
v y ………………4分
当且仅当v
v 1600
=,即40=v 千米/小时时,上式等号成立, ………………5分
所以 1.1183920
max ≈=
y (千辆/小时). …………………………6分 （2）由条件得,101600
39202>++v v v
………………8分
整理得,01600892<+-v v 即0)64()25(<--v v ………………10分
解得: .6425<<v ………………………11分
答：当40=v 千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时. 如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．………………………………………………12分
19．解：若p 为真命题，则
()()
03416162162
2
<+-=--=∆a a a …………………2分
解得31<<a ……………………………………………3分 若q 为真命题，则
042≥-=∆a 恒成立，………………………………………5分 解得.22≥-≤a a 或 …………………………………………6分 又由题意知p 和q 有且只有一个是真命题，
若p 真q 假：⎩⎨⎧<<-<<223
1a a 此时求得a 的范围为: 21<<a ………………8分
若p 假 q 真：⎩⎨⎧≥-≤≥≤2
23
1a a a a 或或 此时求得a 的范围为:32≥-≤a a 或 ……10分
综上所述：),3[)2,1(]2,(∞+⋃⋃--∞∈a ……………………………12分
20．解：（1）∵53,a a 是方程045142
=+-x x 的两根，且数列}{n a 的公差d >0，
∴,9,553==a a 公差.23
53
5=--=
a a d
∴.12)5(5-=-+=n d n a a n ………………………………………………3分
又当n =1时，有11112b b S -== 11
3
b ∴=
当).2(3
1
),(21,2111≥=∴-=-=≥---n b b b b S S b n n n n n n n n 有时
∴数列{n b }是首项113b =，公比13q =等比数列， ∴111.3
n n n b b q -== …………………………………………………………6分 （2）由（1）知 n
n n n n b a c 312-=
= ..........................................7分 设数列{}n c 的前n 项和为n T ， 12313521.. (3333)
n n n T -=
++++ (1) 13n T ∴=23411352321 (33333)
n n n n +--+++++ (2) ………………9分 (1)(2)-：2312122221.....333333n n n n T +-=++++-=2311111212(.....)33333
n n n +-++++- 化简得：113
n n n T +=- …………………………………………………13分 21．解：（1）由题意得22222411,,2.2a b a b c c a
⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得6a =，3b =．
故椭圆C 的方程为22
163
x y +=． ……………………………………5分 （2）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(3)y k x =-， 由22(3),1,6
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)121860k x k x k +-+-=. …………………7分 因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，
所以42221444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->，解得11k -<<.
设M ，N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ， 则21221212k x x k +=+，212218612k x x k
-=+，11(3)y k x =-，22(3)y k x =-．… 9分 ∴ AM AN k k +12121122
y y x x --=+-- ………………………………………………10分 122112(31)(2)(31)(2)(2)(2)
kx k x kx k x x x ---+---=-- 121212122(51)()1242()4
kx x k x x k x x x x -++++=-++
2222222(186)(51)12(124)(12)186244(12)
k k k k k k k k k --+⋅+++=--++ 2244222
k k -+==--． 所以AM AN k k +为定值2-．………………………………………………………14分。