山东省师范大学附属中学2019届高三数学上学期第二次模拟考试试卷文(含解析)

山东师范大学隶属中学2019 届高三上学期第二次模拟考试数学（文）
试题
一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）
1.已知会合，,则（）
A. B. C. D.
【答案】 A
【分析】
由已知得，故，应选A．
考点：会合的运算．
【此处有视频，请去附件查察】
2. 已知点 A（ 1， 1）， B（ 2， 3），向量=（ -4 ，-3 ），则向量=（）
A. B. C. D.
【答案】 A
【分析】
【剖析】
求出，进而依据，即可求出向量的坐标．
【详解】由题意，点，因此，
则，
应选： A．
【点睛】此题主要考察了坐标求向量坐标的方法，向量坐标的减法运算，此中解答中熟记向量的坐标运算是解答的重点，侧重考察了运算与求解能力，属于基础题．
3. 设 a， b∈ R，那么“ ＞ 1”是“ a＞ b＞ 0”的（）
A.充足不用要条件
B.必需不充足条件
C.充要条件
D.既不充足也不用要条件
【答案】 B
【分析】
试题剖析：，但，故是的必需不充足条件.
考点：充要条件．
4. 以下图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β 的极点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆订交于A，B 两点，若点A，B 的坐标为（，）和（-，），则cos （α +β）的值为（）
A. B. C. 0 D.
A
【答案】
【分析】
，应选A。

点睛：利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确立三个量：
(1) 角的终边上随意一个异于原点的点的横坐标；(2)纵坐标y； (3)该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种状况( 点所在象限
不一样)．
5. 设a=log2， b=，，则（）
A. B. C. D.
C
【答案】
【分析】
【剖析】
依据题意获得，进而可得出的大小关系，即可获得答
案．
【详解】由题意，依据对数的运算，可得a=log2，b=，
依据指数幂的运算，可得，则a＜ c＜b．
应选： C．
【点睛】此题主要考察了实数指数幂与对数的运算性质，以及对数函数的单一性的应用，其中解答中熟记指数幂与对数的运算性质是解答的重点，侧重考察了运算与求解能力，属于基础题．
6. 将函数 y=sin （ 2x-）的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】
【剖析】
利用正弦函数的周期性，函数的图象变换规律，求得所得函数的分析式．
【详解】由题意，将函数y=sin （ 2x-）的图象向左平移个周期后，
所得图象对应的函数分析式为y=sin （2x+2?-）=sin（2x+），
应选： C．
【点睛】此题主要考察了正弦函数的周期的定义，以及函数的图象变换，此中解答中熟记三角函数的性质以及三角函数的图象变换是解答的重点，属于基础题，侧重考察了推理与运算能力，属于基础题．
7. 设x， y 知足拘束条件：，则z=x-2y的最大值为（）
A. B. 3 C. 4 D.
【答案】 B
【分析】
试题剖析：
依据拘束条件画出可行域：
直线过点时， z 最大值3，
即目标函数的最大值为 3.
应选B．
考点：线性规划.
8. 已知函数，则的图象大概为( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【分析】
【剖析】
利用特别值，对函数图像进行清除，由此得出正确选项.
【详解】因为，清除B选项.因为，
A.
，函数单一递减，清除C选项 . 因为，清除D选项 . 应
选
【点睛】本小题主要考察已知详细函数的分析式，判断函数的图像，属于基础题.
9. 一个几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为（）
A. B. C.4 D.
【答案】 C
【分析】
由三视图复原几何体可得：它是一个侧放的四棱锥，它的底面是直角梯形，一条侧棱的长垂
直于底面，高为2，这个几何体的体积：. 应选 C.
点睛：依据几何体求体积，主要熟习椎体的计算公式即可.
10. 在三棱锥P-ABC中， |PA|=|AB|=|BC|=1，|AC|=|PB|=，|PC|=，则异面直线PC与 AB 所成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】 B
【分析】
【剖析】
由三视图可知：该几何体为四棱锥P-ABCD，此中 PA⊥底面ABCD，底面AD∥BC， AD=2， BC=4，AD⊥AB， AP=2， AB=2．即可得出．
【详解】由题意，在三棱锥P-ABC中， PA=AB=BC=1， AC=PB= ， PC=
ABCD为直角梯形，，
222222222
则 AB+BC=AC，PA +AB=PB， PA+AC=PC，
因此 AB⊥ BC， PA⊥ AB， PA⊥ AC，∵ AB∩AC=A，∴ PA⊥平面 ABC，
以 A 为原点，在平面 ABC中，过 A 作 AC的垂线为 x 轴， AC为 y 轴， AP为 z 轴，成立空间直角坐标系，
则 A（ 0， 0， 0）， B（=（，，0），
，
=（ 0，
， 0）， C（ 0，
，-1 ），
， 0）， P（0， 0， 1），
设异面直线PC与 AB所成角为θ，
则
cos θ =，则sin．
∴异面直线PC与 AB所成角的正弦值
为
．
应选： B．
【点睛】此题考察了几何体的三视图及线面角的求解，在由三视图复原为空间几何体的实质
形状时，要依据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不行见轮廓线在三视图中为虚线，同时关于立体几何中角的计算问题，常常能够利用空间向量法，经过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
11. 已知 f （ x） =，不等式 f （ x+a）＞ f （ 2a-x ）在 [a ， a+1] 上恒成立，则实数 a 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
试题剖析：二次函数的对称轴为，则该函数在上单一递减，则，相同函数在上单一递减，
在 R 上单一递减；由获得，即；则在
上恒成立；则，实数的取值范围是，应选A；
考点：1. 分段函数的单一性； 2. 恒成立问题；
12.定义在 R 上的函数 f （ x）知足： f （x）＞ 1-f' （ x），f （ 0） =0， f' （ x）是 f （ x）的导函数，则不等式e x f （ x）＞ e x-1 （此中 e 为自然对数的底数）的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】
由知，, 结构函数
，则
相应点的斜率大，又，易知
，知
在 R上单一递加，且
0，故作出及
任一点处斜率比
的草图，以下：
经过图像剖析的解集为，应选A
点睛：结构函数，经过剖析与的图像关系，作出图像，是解决本题的重点 .
二、填空题（本大题共
13. 已知向量，，此中||=4 小题，共20.0 分）
， ||=2 ，且（ - ）⊥，则向量和的夹角是______．
【答案】
【分析】
【剖析】
利用向量垂直的数目积为0 列出方程，利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数目积公式将方程用模与夹角表示求出夹角．
【详解】由题意，设两个向量的夹角为θ ，
因为| |=，||=2，且（-）⊥，
因此（- ）? =| | 2- ? =| | 2-| |?| |cos θ =3-2cos θ =0，
解得 cos θ=，因为0≤ θ ≤ π ，因此，
故答案为：．
【点睛】此题主要考察了向量垂直的充要条件、考察向量模的平方等于向量的平方、考察向量的数目积公式，此中解答中熟记向量的运算公式，正确计算是解答的重点，侧重考察了运算与求解能力，属于基础题．
14. 曲线 y=x+lnx 在（ 1， f （1））处的切线方程为______
【答案】 y=2x-1
【分析】
【剖析】
求出函数的导数，计算的值，即可求出切线方程．
【详解】由题意，函数，则，且，
故切线方程是： y-1=2 （ x-1 ），即 y=2x-1，
故答案为： y=2x-1 ．
【点睛】此题主要考察了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，此中熟记导数的几何意义，合理利用导数的几何意义求解是解答的重点，侧重考察了运算与求解能力，属于基础题．
15. 若 sin （ - α） = ，则 cos（+2α）的值为 ______．
【答案】
【分析】
因为,所以,而
.
点睛 : 此题主要考察三角函数引诱公式以及二倍角公式, 属于中档题 .此题注意拆角技巧,, 这是解答此题的重点 .
16. 已知四边形 ABCD中， AB=CD=1， AD=BC=2，∠ B+∠ D=，则 BD的长为 ______
【答案】
【分析】
在和中，两次利用余弦公式，求得3cosA-sinA=1，将，代入求得的值，可求得BD的长，获得答案．
【详解】在△ ABD中由余弦定理可知：
222
BD=AB+AD- 2AB?AD?cosA，
在△ CDB中与余弦定理可知：
222
BD=DC+BC- 2AB?AD?cosC，
将 AB=CD=1， AD= BC=2代入，整理得： 2cosA- cosC=1，
∵∠ B+∠ D=，则∠ A+∠ C= ．∴ 2cosA-cos （ -A ）=1，
整理得： 3cosA-sinA=1 ，两边平方（ 3cosA-sinA ）2=9cos 2A-6cosAsinA+sin2A=cos2A+sin 2A，
整理得： sinA
222
，∴=cosA， cosA= ， BD=AB+AD- 2AB?AD?cosA=
故答案为：．
【点睛】此题主要考察了正弦定理、余弦定理的应用，此中在解相关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，假如式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；假如式子中含有角的正弦或边的一次式时，
则考虑用正弦定理，侧重考察了运算与求解能力，属于基础题．
三、解答题（本大题共 6 小题，共70.0 分）
17.已知数列 {a n} 是公差不为 0 的等差数列， a1=2，且 a2， a3， a4+1 成等比数
列．（Ⅰ）求数列 {a n} 的通项公式；
（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．
【答案】（ 1）（2）
【分析】
试题剖析：（ 1）设数列 {a n} 的公差为d，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，
解方程可得公差，即可获得所求通项；
（2），运用数列的乞降方法：裂项相消乞降，化简即可获得所求
和．
(1)设数列 {a n} 的公差为 d，
由且成等比数列，得(2 ＋ 2d) 2＝ (2 ＋ d)(3 ＋ 3d) ，解得 d＝－ 1 或 d＝2.
当 d＝－ 1 时， a3＝ 0，这与 a2，a3，a4＋ 1 成等比数列矛盾，舍去．因此d＝2，
因此 a n＝ a1＋(n － 1)d ＝2n，
即数列 {a n} 的通项公式为a n＝ 2n，(n ∈N*) ．
(2)，
因此
点睛：裂项抵消法是一种常有的乞降方法，其合用题型主要有：
（1）已知数列的通项公式为，求前项和：；（2）已知数列的通项公式为，求前项和：
；
（3）已知数列的通项公式为，求前项和:.
18. 在△ ABC中，内角 A， B，C的对边分别为a，b， c，已知=．
（1）求的值
（2）若 cosB= ， b=2，求△ ABC的面积 S．
【答案】（ 1） 2 （ 2） S=
【分析】
第一问中利用, 正弦定理化为角的关系式，而后获得比值
因为
第二中，因cosB= ，
合余弦定理和面公式获得。

19.已知数列 {a n} 足 a1=1，且点 P（ a n， a n+1）在函数 f （ x） =x+2 上；数列 {b n} 的前 n 和S n，足
S n=2b n-2 ， n∈N*
（Ⅰ）求数列 {a n} 、 {b n } 的通公式；
（Ⅱ）数列 {c n} 足 c n=a n b n，求数列 {c n} 的前 n 和 T n
n n+1
【答案】（ 1） a n=2n-1 ，b n=2 ；（ 2）T n=6+（ 2n-3 ）?2．
【剖析】
（1）由意可得a n+1-a n=2，由等差数列的定和通公式可得a n，运用数列的推式和等比数列的和通公式可得；
（2）求得 c n=（ 2n-1 ）? ，由数列的位相减法乞降和等比数列的乞降公式，算可得所乞降．
【解】（ 1）点 P（a n，a n+1）在函数 f （ x） =x+2 上，
可得 a n+1-a n=2，即有 {a n} 以 1 首， 2 公差的等差数列，可得
a n=2n-1 ，又 S n=2
b n-2 ，可得 b1=S1=2b1-2 ，即 b1=2，n≥2 ， S n-1
=2b n-1 -2 ，又 S n=2b n-2 ，
两式相减可得b n=2b n-2-2b n-1 +2，即 b n=2b n-1，
可得；
（2） c n=a n b n=（ 2n-1 ）? ，
前 n 和 T n=1?2+3?4+⋯ +（ 2n-1 ）? ，
2T n =1?4+3?8+⋯ +（ 2n-1 ）?2n+1，
作差可得 -T n=1?2+2（ 4+8+⋯ +2n）- （ 2n-1 ）?
=2+2?- （ 2n-1 ）?，
化可得T n=6+（ 2n-3 ）?．
【点睛】等差数列和等比数列的定和通公式、乞降公式的运用，数列的推式的运用，
数列的错位相减法乞降，考察化简运算能力，属于中档题．
20.已知等腰梯形 ABCE（图 1）中， AB∥ EC， AB=BC=EC=4，∠ ABC=120°， D 是 EC中点，将△ADE沿 AD折起，组成四棱锥 P-ABCD（图 2）．
（Ⅰ）求证： AD⊥ PB
（Ⅱ）当平面PAD⊥平面 ABCD时，求三棱锥C-PAB的体积．
【答案】（Ⅰ）看法析；（Ⅱ） 8
【分析】
【剖析】
（Ⅰ）取 AD中点 K，连结 PK、BK，BD，由已知可得 PK⊥ AD，BK⊥ AD，再由线面垂直的判
断可得 AD⊥平面 PBK，则 AD⊥ PB；
（Ⅱ）由平面 PAD⊥平面 ABCD，利用面面垂直的性质可得PK⊥面 ABCD，分别求出三角形A BC 的面积与PK的长度，再由等积法求三棱锥C-PAB的体积．
【详解】（Ⅰ）证明：取AD中点 K，连结 PK、 BK， BD，
∵PA=PD，K 为 AD中点，∴ PK⊥AD，
又 AD=AB，∠ DAB=60°，∴△ ADB为等边三角形，
则 AB=BD，则 BK⊥ AD，又 PK∩BK=K，
∴AD⊥平面 PBK，则 AD⊥ PB；
（Ⅱ）解：由平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD，
PK? 平面 PAD， PK⊥AD，得 PK⊥平面 ABCD，
由已知 AB=BC=4，∠ ABC=120°，得，
又 PK=，∴ V C-PAB=V P-ABC=．
【点睛】此题主要考察了空间中直线与直线、直线与平面地点关系的判断与应用，考察空间
想象能力与思想能力，训练了利用等积法求多面体的体积，侧重考察了推理与论证能力，及运算与求解能力，属于基础题．
21.已知函数 f （ x）=e x -alnx-e （a∈ R），此中 e 为自然对数的底数．
（1）若 f （ x）在 x=1 处取到极小值，求 a 的值及函数 f （ x）的单一区间；
（2）若当 x∈ [1 ，+∞）时， f （ x）≥0恒成立，求 a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）看法析 ; （Ⅱ）.
【分析】
【试题剖析】（ 1）令可求得的值 . 利用二阶导数求得函数点的单一区间 . （ 2）对求导，并对分红，三类议论函数的最小值，由此求得的取值范围.
【试题分析】
（Ⅰ）由，得
因为，因此，因此
令，则，
当时，，故在单一递加，且
因此当，.
即当时，，当时，.
因此函数在上递减，在上递加.
（Ⅱ）【法一】由，得
（1）当时，，在上递加
（合题意）
（2）当时，，当时，
①当时，因为，因此，.
在上递加，（合题意）
②当时，存在时，知足
在上递减，
不知足时，
综上所述，的取值范围是【法二】由
由在而，
①当时，
上递加，故.
恒成立
.
，发现
恒成立，知其成立的必需条件是
，即
恒成立，此时在上单一递加，
（合题意） .
②当时，在时，有，知，
而在时，，知，
因此在上单一递加，即（合题意）
综上所述，的取值范围是.
22. 设函数 f （ x） =|x-a|+|x-2|
（Ⅰ）若a=1，解不等式 f （x）≤2
（Ⅱ）若存在x∈R 使得不等式 f （ x）≤对随意t＞0恒成立，务实数 a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） [，]；（Ⅱ）- 4≤ a≤8
【分析】
【剖析】
（Ⅰ）分类议论，联合绝对值的意义进行求解即可
（Ⅱ）依据绝对值以及基本不等式的性质求出对应的最值，进行求解即可．
【详解】（Ⅰ）当a=1 时， f （x） =|x-1|+|x-2|
当 x＜ 1 时，不等式 f （ x）≤2等价为 -x+1-x +2≤2，
即 3-2x ≤2，得 x≥，此时≤ x＜ 1，
当 1≤ x≤2时，不等式 f （ x）≤2 等价为 x-1- x+2=1≤2，此时不等式成立，此时1≤ x≤2，当 x＞ 2 时，不等式 f （ x）≤2等价为 x-1+x- 2≤2，
即 2x- 3≤2，得 x≤，此时 2＜ x≤，
综上≤ x≤ ，即不等式的解集为[，]．
（Ⅱ） f （ x） =|x-a|+|x- 2| ≥|x-a-x+2|=|a-2|，即f（x）的最小值为|a-2|，=t++4≥4+2=4+2=6，当且仅当t=，即t=1时，取等号，
要使存在x∈ R 使得不等式 f （x）≤对随意t ＞0 恒成立，
则|a- 2| ≤6，得 - 4≤ a≤8．
【点睛】此题主要考察绝对值不等式的求解，联合绝对值的意义，表示成分段函数性质，以及求出函数值的最值是解决此题的重点．。