高中数学人教版选修2-2全套教案

第一章 导数及其应用
§1.1.1变化率问题
教学目标：
1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33
4)(r r V π=
如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3
43)(π
V V r = 分析: 3
43)(π
V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀
率为
)/(62.00
1)
0()1(L dm r r ≈--
⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(16.01
2)
1()2(L dm r r ≈--
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?
1
212)
()(V V V r V r --
h
t
o
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= ++10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度
在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)
0()5.0(s m h h v =--=
；
在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)
1()2(s m h h v -=--=
探究：计算运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h (t )= ++10的图像，结合图形可知，)0()49
65
(
h h =， 所以)/(0049
65)
0()49
65
(
m s h h v =--=， 虽然运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非
静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子
1
212)
()(x x x f x f --表示,
称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率
2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3． 则平均变化率为
=
∆∆=∆∆x
f
x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=
∆∆x f
1
212)()(x x x f x f --
直线AB
三．典例分析
例1．已知函数f (x )=x x +-2
的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则
=∆∆x
y
． 解：)1()1(22
x x y ∆+-+∆+--=∆+-， ∴x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2
x y =在0x x =附近的平均变化率。

解：2
020)(x x x y -∆+=∆，所以
x x x x x y ∆-∆+=∆∆2
20)(x x x
x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 所以2
x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02
四．课堂练习
1．质点运动规律为32
+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s (t )=3t 2
+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率. 3.过曲线y =f (x )=x 3
上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =时割线的斜率. 五．回顾总结：1．平均变化率的概念；2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业
导数与导函数的概念
教学目标：
1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义； 理解导函数的概念和意义；
2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化
问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力
3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。

教学重点： 1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用 教学难点： 1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用 教学过程： 一、情境引入
在前面我们解决的问题： 1、求函数2
)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。

x x
x f x f x y ∆+=∆-∆+=∆∆4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12
-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。

253t
∆+
t t t
t v t t v t V o o o ∆+=∆-∆+=∆∆2)
()(，故斜率为4 二、知识点讲解
上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ∆(t ∆)无限趋近于0时，t V ∆∆(x
V
∆∆)都无限趋近于一个常数。

归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，
x
x f x x f x y o o ∆-∆+=
∆∆)
()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('，上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('=
三、几何意义：我们上述过程可以看出)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。

四、例题选讲
例1、求下列函数在相应位置的导数
（1）1)(2
+=x x f ，2=x （2）12)(-=x x f ，2=x （3）3)(=x f ，2=x 例2、函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，
（1）
=-+x f x f 2)1()1( （2）=-+x
f x f )
1()21(
变式:设f(x)在x=x 0处可导，（3）
x
x f x x f ∆-∆+)
()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=___________
（4）
x
x f x x f ∆-∆-)
()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=________________
（5）当△x 无限趋近于0，
x
x x f x x f ∆∆--∆+)
2()2(00所对应的常数与)(0x f '的关系。

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。

例3、若2
)1()(-=x x f ，求)2('f 和((2))'f 注意分析两者之间的区别。

例4：已知函数x x f =)(，求)(x f 在2=x 处的切线。

导函数的概念涉及：)(x f 的对于区间（a ,b ）上任意点处都可导，则)(x f 在各点的导数也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数被称为)(x f 的导函数，记作)('x f 。

五、小结与作业
§1.1.2导数的概念
教学目标：
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率
（二）探究：计算运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h (t )= ++10的图像，结合图形可知，)0()49
65
(
h h =， 所以)/(0049
65)0()4965
(
m s h h v =--=
， 虽然运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非
静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
二．新课讲授 1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：
思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？
结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．
从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，
运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -
为了表述方便，我们用0(2)(2)
lim
13.1t h t h t
∆→+∆-=-∆
表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念
从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000
0()()lim
lim x x f x x f x f
x x
∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'
|x x y =，即
0000
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率
（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000
()()
()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-
三．典例分析
例1．（1）求函数y =3x 2
在x =1处的导数.
分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2
再求6f x x
∆=+∆∆再求0
lim 6x f x
∆→∆=∆
解：法一（略）
法二：222211113313(1)
|lim
lim lim3(1)611
x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f(x)=x x +-2
在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32
)1()1(2 200(1)(1)2
(1)lim
lim (3)3x x y x x f x x x
∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，
如果第xh 时，原油的温度（单位：C o
）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'
(6)f
根据导数定义，0(2)()f x f x f
x x +∆-∆=
∆∆22(2)7(2)15(27215)3x x x x +∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00
(2)lim
lim(3)3x x f
f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=
在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h o 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h o 的速率上升．
注：一般地，'
0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．
四．课堂练习 1．质点运动规律为32
+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．
2．求曲线y =f (x )=x 3
在1x =时的导数．
3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
五．回顾总结：1．瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．导数的概念
六．布置作业
§1.1.3导数的几何意义
教学目标：
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程： 一．创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？ 二．新课讲授
（一）曲线的切线及切线的斜率：如图，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？
我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.
问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？ 容易知道，割线n PP 的斜率是00
()()
n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近
于切线PT 的斜率k ，即0000
()()
lim
()x f x x f x k f x x
∆→+∆-'==∆
说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.
图
如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
（二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000
()()
()lim
x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P 点的坐标;
②求出函数在点0x 处的变化率0000
()()
()lim x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())
x f x 的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：
由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，
即: 0
()()
()lim
x f x x f x f x y x
∆→+∆-''==∆
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数
3）函数()f x 在点0x 处的导数'
0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点
0x 处的导数的方法之一。

三．典例分析
例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程. （2）求函数y =3x 2
在点(1,3)处的导数.
解：（1）222
100[(1)1](11)2|lim
lim 2x x x x x x y x x
=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -= （2）因为222211113313(1)
|lim
lim lim3(1)611
x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=
（2）求函数f(x)=x x +-2
在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x
→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆V V 例2．（课本例2）如图，它表
示跳水运动中高度随时间变化的函数2
() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．
解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几
乎没有升降．
（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即
函数2
() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．
（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即
函数2
() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．
从图可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢． 例3．（课本例3）如图，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：
min ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()f t 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率．
如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作0.8t =处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：
0.480.91
1.41.00.7
k -=
≈-- 所以 (0.8) 1.4f '≈-
四．课堂练习
1．求曲线y =f (x )=x 3
在点(1,1)处的切线； 2．求曲线y =
在点(4,2)处的切线．
五．回顾总结 1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义 六．布置作业
§1.2.1几个常用函数的导数
教学目标：
1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2
y x =、1
y x
=的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2
y x =、1
y x =
的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数y c =、y x =、2
y x =、1y x
=的导数公式
教学过程： 一．创设情景
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这
一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授
1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为
()()0y f x x f x c c
∆+∆--=== 所以00
lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===
0y '=表示函数y c =图像（图）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函
数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数
因为()()1y f x x f x x x x x
∆+∆-+∆-===∆， 所以00lim lim11x x y y x ∆→∆→∆'===∆
1y '=表示函数y x =图像（图）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函
数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数2
()y f x x ==的导数
因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆222
2()2x x x x x x x x
+∆+∆-==+∆∆ 所以00
lim
lim(2)2x x y
y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆
2y x '=表示函数2y x =图像（图）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另
一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2
y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2
y x =增加得越来越快．若2
y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．
4．函数1()y f x x ==的导数因为11
()()y f x x f x x x x
x x x
-
∆+∆-+∆==
∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x -+∆=
=-+∆∆+⋅∆
所以220011lim lim()x x y y x x x x x
∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆
（2）推广：若()()y f x x n Q ==
∈，则()f x nx =
三．课堂练习：1．课本P 13探究1 2．课本P 13探究2
3．求函数y =
四．回顾总结 五．布置作业
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
教学目标：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景
四种常见函数y c =、y x =、2
y x =、1y x
= 的导数公式及应用
二．新课讲授
（一）基本初等函数的导数公式表
（二）导数的运算法则
三．典例分析
例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）
有如下函数关系0()(15%)t
p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10
(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为元/年的速度上涨．
例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）3
23y x x =-+ （2）y ＝
x
x --+11
11； （3）y ＝x · si n x · ln x ； （4）y ＝
x
x 4； （5）y ＝
x x ln 1ln 1+-． （6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x
（7） y ＝x
x x x x x sin cos cos sin +-
【点评】
① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已
知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 5284
()(80100)100c x x x
=<<-
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
''
'
'2
52845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==--
20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=
-2
5284
(100)
x =- （1）因为'
2
5284
(90)52.84(10090)c =
=-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是元/吨．
（2）因为'
2
5284
(98)1321(10090)
c =
=-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨． 函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，'
'
(98)25(90)c c =．它
表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快． 四．课堂练习 1．课本P 92练习
2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2
＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8） 五．回顾总结 （1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则 六．布置作业
§1.2.2复合函数的求导法则
教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．
教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 一．创设情景
（一）基本初等函数的导数公式表
（2）推论：[]'
'
()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
二．新课讲授
复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。

复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦
三．典例分析
例1求y ＝sin （tan x 2
）的导数． 【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
例2求y ＝
ax
x a x 22
--的导数．
【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．
例3求y ＝sin 4x ＋cos 4
x 的导数．
【解法一】y ＝sin 4
x ＋cos 4
x ＝(sin 2
x ＋cos 2
x )2
－2sin 2
cos 2
x ＝1－2
1sin 2
2 x ＝1－
41（1－cos 4 x ）＝43＋4
1
cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4
x )′＋(cos 4
x )′＝4 sin 3
x (sin x )′＋4 cos 3
x (cos x )′＝4 sin 3
x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】
解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．
【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2
＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2
－2 x －1＝0，解得 x ＝－3
1
或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－
31，－27
14）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2
|
12714
31|++-＝22716
．
四．课堂练习
1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3
+sin 3
3x ；（2）1
22sin -=x x y ;(3))2(log 2
-x a 2.求)132ln(2
++x x 的导数 五．回顾总结
六．布置作业
§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）
教学目标：
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授
1．问题：图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2
() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图
（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'
()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：
（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相
应地，'
()()0v t h t =>．
（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相
应地，'
()()0v t h t =<．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图，导数'
0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．
在0x x =处，'
0()0f x >，切线是“左下右上”式的，时，函数()f x 在0x 附近单调递增；
在1x x =处，'
0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'
()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'
()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减． 说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：
（1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'
'
()y f x =； （3）解不等式'
()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．
三．典例分析
例1．已知导函数'
()f x 的下列信息：
当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'
()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．
解：当14x <<时，'
()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；
当4x >，或1x <时，'
()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；
当4x =，或1x =时，'
()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）3()3f x x x =+； （2）2
()23f x x x =--
（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32
()23241f x x x x =+-+
解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22
()333(1)0f x x x =+=+>
因此，3
()3f x x x =+在R 上单调递增，如图（1）所示．
（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'
()2221f x x x =-=-，当'()0f x >，即1x >时，函
数2
()23f x x x =--单调递增；
当'
()0f x <，即1x <时，函数2
()23f x x x =--单调递减； 函数2
()23f x x x =--的图像如图（2）所示．
（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'
()cos 10f x x =-<
因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图（3）所示． （4）因为3
2
()23241f x x x x =+-+，所以 ．
当'
()0f x >，即 时，函数2
()23f x x x =-- ； 当'
()0f x <，即 时，函数2
()23f x x x =-- ； 函数3
2
()23241f x x x x =+-+的图像如图（4）所示．
注：（3）、（4）生练
例3 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请
分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．
分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些． 如图所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”， 在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．
例4 求证：函数32
23121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数． 证明：因为()
()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+
当()2,1x ∈-即21x -<<时，'
0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数． 说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：
（1）求导函数()'f x ； （2）判断()'
f x 在(),a b 内的符号；
（3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'
0f x <为减函数．
例5 已知函数 2
32()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．
解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'
()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒
成立，即2
20x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤ 所以实数a 的取值范围为[]1,1-．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即
“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'
()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 四．课堂练习
1．求下列函数的单调区间
(x )=2x 3－6x 2
+7 (x )=x
1
+2x 3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ 4. y=xlnx 2．课本 练习 五．回顾总结
（1）函数的单调性与导数的关系
（2）求解函数()y f x =单调区间
（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性 六．布置作业。