高考数学压轴专题人教版备战高考《平面解析几何》易错题汇编含答案

【最新】数学《平面解析几何》期末复习知识要点
一、选择题
1．如图，12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线
C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．23y x =±
B ．2y x =±
C ．3y x =
D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b
y x a
=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，
由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =
+=13c ⇒=
因为2521a x a =-=⇒=，所以23b = 所以双曲线的渐近线方程为23b
y x x a
=±=±. 【点睛】
本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
2．设抛物线E ：26y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( ) A ．3B ．3C ．163D ．3【答案】C 【解析】 【分析】
由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之
和及两根之积，进而求出弦长AB ，由抛物线的性质可得梯形的上下底之和求出，求出
A ，
B 的纵坐标之差的绝对值，代入梯形的面积公式即可求出梯形的面积． 【详解】
解：由抛物线的方程 可得焦点3
(2F ，0)，准线方程：32
x =-，
由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，
设直线AB
的方程为：3
2x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
联立直线与抛物线的方程：2326x my y x
⎧
=+
⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2690y my --=，
所以126y y m +=，129y y =-，21212()363x x m y y m +=++=+， 因为||3||AF BF =，所以3AF FB =uu u r uu r
，
即13(2x -，123
)3(2
y x -=-，2)y ，可得：123y y =-， 所以可得：22
22639y m y -=⎧⎨
-=-⎩
即2
13m =， 由抛物线的性质可得： 212331
66668223
AA BB AB x x m ''+==++
+=+=+=g ， 221212121
||()436363636433
y y y y y y m -=+-=+=+=g ，
由题意可知，四边形AA B B ''为直角梯形，
所以1211
()||84316322
AA B B S AA BB y y ''''=+-==g
g g ， 故选：C ．
【点睛】
本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的相交弦长，梯形的面积公式，属于中档题．
3．如图所示，已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上
一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线
C 的离心率是( )
A ．
27
B ．
52
C ．
7 D ．7
【答案】C 【解析】 【分析】
利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】
解：双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于
原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，
60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得22221
4962
c a a a =+-⨯，
2247c a =，
所以双曲线的离心率为：72
e =． 故选：C ．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
4．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若||3MN ≥k 的取值范围是（ ）
A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．33⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【答案】A
【解析】 【分析】
可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解 【详解】
如图所示，设弦MN 中点为D ，圆心C(3,2),330y kx kx y =+⇒-+=Q
∴弦心距2
2
2
(1)
1
CD k k =
=
+-+，又2||23||
33MN DN DN ⇒⇒厖?，
∴由勾股定理可得2
22222
231DN CN CD k ⎛⎫
=-=- ⎪+⎝⎭
…，22223
1|31|
1(31)1(43)004
1
k k k k k k k k ⇒++⇒++⇒+⇒-+剟剟剟
答案选A 【点睛】
圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。

处理过程中，直线需化成一般式
5．在矩形ABCD 中，已知3AB =，4=AD ，E 是边BC 上的点，1EC =，
EF CD ∥，将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，直线AB 绕AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是（ ）
A ．圆
B ．双曲线
C ．椭圆
D ．抛物线
【答案】D 【解析】 【分析】
利用圆锥被平面截的轨迹特点求解 【详解】
由题将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，则平面α⊥平面ABEF ,，又直线AB
绕AE 旋转一周，则AB 直线轨迹为以AE 为轴的圆锥，且轴截面为等腰直角三角形，且面AEF 始终与面EFDC 垂直，即圆锥母线AF ⊥平面EFDC 则 则与平面α相交形成的点的轨迹是抛物线 故选：D
【点睛】
本题考查立体轨迹，考查圆锥的几何特征，考查空间想象能力，是难题
6．已知P 是双曲线C 上一点，12,F F 分别是C 的左、右焦点，若12PF F ∆是一个三边长成等差数列的直角三角形，则双曲线C 的离心率的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】A 【解析】 【分析】
设直角三角形三边分别为3,4,5x x x ，分23c x =，24c x =和25c x =三种情况考虑，即可算得双曲线离心率的最小值. 【详解】
如图，易知该直角三角形三边可设为3,4,5x x x .
①若23c x =，则254a x x x =-=，得232c
e a =
=； ②若24c x =，则2532a x x x =-=，得222c
e a
==； ③若25c x =，则243a x x x =-=，得252c
e a
==. 故选：A
【点睛】
本题主要考查双曲线的离心率的求法，体现了分类讨论的数学思想.
7．在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
试题分析：渐近线的方程为
，而
，因此渐近线的方程为
，选D.
考点：双曲线渐近线
8．如图，12,F F 是双曲线2
2
1:13
y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一
象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）
A ．
1
3
B ．
15
C ．
23
D ．
25
【答案】C 【解析】
由2
2
1:13
y C x -=知2c =，1124F A F F ==
∵122F A F A -= ∴22F A =
∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+= ∴2
3,3
c a e a === 故选C
9．已知椭圆2
2
:12
y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，
则m 的取值范围是( )
A ．33⎛- ⎝⎭
B ．,44⎛- ⎝⎭
C ．⎛ ⎝⎭
D ．⎛ ⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得
002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可.
【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.
又因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211
12y x +=，2
2
2212
y x +=，
两式相减可得
1212
1212
2y y y y x x x x -+⋅=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =.
因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得m ⎛∈ ⎝⎭
. 故选：C 【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.
10．设P 为椭圆C ：22
x y 173
+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，
使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )
A ．22(x 2)y 28-+=
B ．22(x 2)y 7++=
C ．22(x 2)y 28++=
D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】 【分析】
推导出12PF PF 2a +==2PQ PF =，从而11PF
PQ FQ +==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程． 【详解】
P Q 为椭圆C ：22
x y 173
+
=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点， 延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，
12PF PF 2a ∴+==2PQ PF =，
11
PF PQ FQ ∴+==， Q ∴
的轨迹是以()1F 2,0-为圆心，为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别
为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为
A ．3
B
C ．
3
D ．
13
【答案】A 【解析】
以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为
222x y a +=，
直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
d a =
=，
整理可得223a b =，即(
)2
22
3,a a c
=-即2
223a
c =，
从而22
22
3
c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===
， 故选A.
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于
,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
12．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若
121
cos 4
F MF ∠=
,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A
．y = B
．y x = C ．y x =± D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】
Q 双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 1212
22MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:
∴ 1212
122
2
122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅
可得:2
2
2
1
(2)(4)(2)2424
c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =
由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-= 可得
:b =
Q 双曲线渐近线方程为:b y x a
=±
则双曲线渐近线方程为
: y = 故选:A. 【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.
13．若A ，B 分别是直线20x y --=与x 轴，y 轴的交点，圆C ：
()()
22
448x y -++=上有任意一点M ，则AMB ∆的面积的最大值是（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
【答案】C 【解析】
【分析】
先求出AB ，再求出M 到直线的最大距离为点M 到直线20x y --=加上半径，进而可得面积最大值. 【详解】
由已知()2,0A ，()0,2B -
则AB =
=，
又点M
=
所以最大面积为1
102
⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查圆上一点到直线的最大距离问题，是基础题.
14．过点(11)M ， 的直线与椭圆22
143
x y += 交于A ，B 两点，且点M 平分AB ，则直
线AB 的方程为（ ） A ．3470x y +-= B ．3410x y -+=
C ．4370x y +-=
D ．4310x y --=
【答案】A 【解析】
设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的方程可得2222
1122
1,14343
x y x y +=+=，
两式相减可得12121212()()()()
044
x x x x y y y y +-+-+=，
又12
1212
12
2,2,y y x x y y k x x -+=+==-， 即为12123()3
4()4
x x k y y +=-
=-+，
则直线AB 的方程为：3
1(1)4
y x -=-
-，化为3470x y +-=，故选A ． 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，注意运用“点差法”的应用，考查了学生的推理与计算能力，试题比较基础，属于基础题，解答此类问题的关键在于把握弦的中点，恰当的选择“点差法”是解答的关键．
15．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则
POF V 的面积为
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】 由抛物线的标准方程24y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及
抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1||2
S y OF =
可得. 【详解】
由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为1x =-,
如图:过点P 作准线1x =- 的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,
设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x = 代入24y x =可得23y =±, 所以△POF 的面积为
1||2y OF ⋅=123132
⨯⨯=. 故选B .
【点睛】
本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.
16．已知1F ，2F 是双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点A 是双曲线上
第二象限内一点，且直线1AF 与双曲线的一条渐近线b y x a
=平行，12AF F ∆的周长为9a ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2
B
C ．3 D
．【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出1AF 和2AF 的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可.
【详解】 由题意知212AF AF a -=，2192AF
AF a c +=-， 解得21122a c AF -=，1722
a c AF -=， 直线1AF 与
b y x a =平行，则12tan b AF F a ∠=，得12cos a AF F c
∠=， 222121214cos 22AF c AF a AF F c AF c
+-∠==⋅， 化简得22280c ac a +-=，即2280e e +-=，解得2e =.
故选：A
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.
17．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】 先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点. 由24y x y x ⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，
∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r
.
故选B
【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线32p y x =-与C 交于A ，B 两点，若43||3AH =，则||AF =（ ） A ．3
B ．83
C ．2
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 注意到直线32p y x =-过点H ，利用||||AM AH =tan 3,AHM ∠=43||AH =，可得||2AM =，再利用抛物线的定义即可得到答案.
【详解】
连接AF ，如图，过A 作准线的垂线，垂足为M ，易知点0,
,0,22p p F H ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．易知直
线32p y x =-过点H ，tan 3,3AHM AHM π∠=∠=，则||3,||AM AH =又43||AH =， 所以||2AM =，由抛物线的定义可得||AF =||2AM =.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到利用抛物线的定义求焦半径，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
19．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )
A ．a
B ．2a
C ．2a
D ．22
a 【答案】D
【解析】
【分析】 设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.
【详解】
解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，
则ABEG 四点共面，
且平面1//A BGE 平面1B HI ，
又1//B F Q 面1A BE ，
F ∴落在线段HI 上，
Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，
1122HI CD a ∴==， 即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是
22
a ． 故选D ．
【点睛】
本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.
20．过双曲线()22
22100x y a b a b
-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于
A B ，两点，OAB ∆，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】
令x c =，代入双曲线方程可得2b y a
=±，由三角形的面积公式，可得,a b 的关系，由离心率公式计算可得所求值．
【详解】
右焦点设为F ，其坐标为(),0c
令x c =，代入双曲线方程可得2b y a
=±=±
OAB V 的面积为2122b c a ⋅⋅= b a ⇒=
可得3
c e a ==== 本题正确选项：D
【点睛】
本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．。