人教新课标版数学高一数学人教B版必修一 指数函数与对数函数的关系 学案

3.2.3 指数函数与对数函数的关系
自主学习
学习目标
1．理解反函数的定义．
2．知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，a ≠1)．
3．通过描点法作出指数函数、对数函数的图象，掌握它们的性质．
自学导引
1．反函数
(1)互为反函数的概念
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的____________，而把这个函数的自变量作为新的函数的____________．称这两个函数互为反函数．
(2)反函数的记法：函数y ＝f (x )的反函数通常用____________表示．
2．指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x ____________.
(2)指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 的图象关于________对称．
对点讲练
知识点一 求函数的反函数问题
例1 求下列函数的反函数．
(1)y ＝⎝⎛⎭⎫14x ；
(2)y ＝log 2x ，x ∈(1,8)；
(3)y ＝x 2＋1，x ∈(0，＋∞)．
规律方法 求函数y ＝f (x )的反函数的步骤为：
(1)由y ＝f (x )解出x ＝f －1(y )；
(2)由函数y ＝f (x )求y 的范围；
(3)x 、y 互换得y ＝f －1(x )，注明定义域，即函数y ＝f (x )的值域．
变式迁移1 求下列函数的反函数．
(1)y ＝log 2x ； (2)y ＝(13
)x ； (3)y ＝5x ＋1.
知识点二 互为反函数的图象间的关系
例2 设方程2x ＋x －3＝0的根为a ，方程log 2x ＋x －3＝0的根为b ，求a ＋b 的值．
规律方法 根据指数函数与对数函数的图象的关系，利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程的问题．
变式迁移2 本例中若将题干中的两个方程分别改为x ＋lg x ＝3和x ＋10x ＝3，结果怎样？
知识点三 指数函数与对数函数图象及性质的综合应用
例3 设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，(12)b ＝log 12b ，(12
)c ＝log 2c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <a <c
规律方法 比较数的大小问题，方法灵活，就本题而言，把方程的解看作两函数图象交点的横坐标，从而利用数形结合比较简单，若几个数在不同的范围内，亦可通过求这些数的范围来比较大小．
变式迁移3 三个数60.7,0.76，log 0.76的大小关系为( )
A ．0.76<log 0.76<60.7
B ．0.76<60.7<log 0.76
C ．log 0.76<60.7<0.76
D ．log 0.76<0.76<60.7
学习本节内容要发现指数函数与对数函数的对立统一关系，能正确比较指数函数和对数
函数的性质，能以它们为例对反函数进行解释和直观理解，掌握互为反函数的两个函数图象关于y ＝x 对称．在解题中反函数的某个函数值，常转化为求原函数的x 值，注意转化思想和数形结合、分类讨论思想的应用．
求反函数的一般步骤：
(1)将y ＝f (x )看作方程，解出x ＝f －1(y )；
(2)将x 、y 对称，得y ＝f －1(x )；
(3)写出反函数的定义域(即原函数的值域).
课时作业
一、选择题
1．函数f (x )＝3x (0<x ≤2)的反函数的定义域为( )
A ．(0，＋∞)
B ．(1,99，＋∞)
2．下列函数中，反函数是其自身的函数为( )
A ．f (x )＝x 2，x ∈方法一 由函数y ＝2x ，y ＝(12
)x ， y ＝log 2x ，y ＝log 12
x 的图象知：0<a <b <1<c ，故选A. 方法二 ∵a >0，∴2a >1，∴log 12
a >1， ∴0<a <12
. 又∵b >0，∴0<(12
)b <1， ∴0<log 12b <1，∴12
<b <1. 又∵(12
)c >0，∴log 2c >0， ∴c >1，∴0<a <12
<b <1<c .log 0.76<0,0<0.76<1，60.7>1， ∴选D.f (x )的值域即为其反函数定义域．互为反函数图象关于y ＝x 对称，(1,5)点关于直
线y ＝x 对称点为(5,1)，∴选C.∵f (3)＝a 3>0，
由f (3)·g (3)<0，得g (3)<0， ∴0<a <1，∴f (x )与g (x )均为单调递减函数，选C.由f (27)＝3，得a ＝3， ∴f －1(x )＝3x ，
∴f －1(log 92)＝3log 92＝3log 32＝ 2.
选C.
解析 求函数y ＝3＋log 12
x (x ≥1)的反函数的定义域，即求原函数的值域． ∵x ≥1，∴log 12x ≤0.∴3＋log 12
x ≤3. 8．②③
解析 根据题意，得g (x )＝log 12
x ， ∴h (x )＝g (1－|x |)
＝log 12
(1－|x |)(1<x <1)． ∴h (x )是偶函数，h (x )不关于原点对称．
∴①不正确；②正确．
∵h (x )＝log 12(1－|x |)≥log 12
1＝0， ∴③正确．
9．解 ∵y ＝12
x ＋a 的反函数为y ＝2x －2a 应与函数y ＝3－bx 为同一函数， ∴－2a ＝3，且2＝－b ，
∴a ＝－32
，b ＝－2. 10．解 (1)由a x －b x >0，得(a b )x >1＝(a b
)0. ∵a b
>1，∴x >0. ∴函数的定义域为(0，＋∞)．
(2)先证明f (x )是增函数．
对于任意x 1>x 2>0，
∵a >1>b >0，∴ax 1>ax 2，bx 1<bx 2.
∴ax 1－bx 1>ax 2－bx 2.
∴lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)．
∴f (x 1)>f (x 2)．
∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．
假设y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，使直线AB 平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．
∴y ＝f (x )的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x 轴．。