2019新版高中数学人教A版选修1-2习题：第二章推理与证明检测

第二章检测
(时间:90分钟满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线;已知直线b?平面α,a?平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”,这个结论显然是错误的,这是因为()
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
解析“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线”是错误的,即大前提是错误的.故选A.答案 A
2.已知f(x+1)∈N*),猜想f(x)的表达式为()
A.f(x)
C.f(x)
解析当x=1时,f(2)
当x=2时,f(3)
当x=3时,f(4)
故可猜想f(x)应选B.
答案 B
3.如图所示,4只小动物换座位,开始时鼠,猴,兔,猫分别坐1,2,3,4号座位,如果第1次前后排动物互换
座位,第2次左右列动物互换座位,第3次前后排动物互换座位……这样交替进行下去,那么第 2 018次互换座位后,小兔坐在()号座位上.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析由题意得第4次互换座位后,4只小动物又回到了原座位,即每经过4次互换座位后,小动物回到原座位,而2 018=4×504+2,所以第 2 018次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同,故小兔坐在2号座位上,应选B.
答案 B
4.已知x∈(0,+∞),不等式x≥2,x≥3,x≥4,…,可推广为x≥n+1,则a的值为()
A.2n
B.n2
C.22(n-1)
D.n n
解析∵第一个不等式中a=11,第二个不等式中a=22,第三个不等式中a=33,∴第n个不等式中a=n n.答案 D
5.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则()
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形
解析因为正弦值在(0°,180°)内是正值,所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,因此△A1B1C1是锐角三角形.
由于△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,因此△A2B2C2不可能为直角三角形,故假设△A2B2C2也是锐角三角形,并设cos A1=sin A2,
则cos A1=cos(90°-A2),
所以A1=90°-A2.
同理设cos B1=sin B2,cos C1=sin C2,
则有B1=90°-B2,C1=90°-C2.
又A1+B1+C1=180°,
则(90°-A2)+(90°-B2)+(90°-C2)=180°,
即A2+B2+C2=90°.
这与三角形内角和等于180°矛盾,
所以原假设不成立.故选D.
答案 D
6.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10等于()
A.28
B.76
C.123
D.199
解析利用归纳
法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8 +b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.
规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.
答案 C
7.对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:
22=1+3
32=1+3+5
42=1+3+5+7
23=3+5
33=7+9+11
43=13+15+17+19
根据上述分解规律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n等于()
A.10
B.11
C.12
D.13
解析∵m2=1+3+5+…+11
∴m=6.
∵23=3+5,33=7+9+11,
43=13+15+17+19,
∴53=21+23+25+27+29.
又n3的分解中最小的正整数是21,
∴n3=53,n=5,∴m+n=6+5=11.
答案 B
8.对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},……,依此类推,则每组内奇数之和S n与其组的编号数n(n∈N*)的关系是()
A.S n=n2
B.S n=n3
C.S n=n4
D.S n=n(n+1)
解析当n=1时,S1=1;
当n=2时,S2=8=23;
当n=3时,S3=27=33.
归纳猜想S n=n3.故选 B.
答案 B
9.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:
图(1)
图(2)
他们研究过图(1)中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图(2)中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是()
A.289
B.1 024
C.1 225
D.1 378
解析根据图形的规律可知,第n个三角形数为a n第n个正方形数为b n=n2,由此可排除选项
D(1 378不是平方数),将选项A,B,C代入到三角形数与正方形数的表达式中检验可知,符合题意的是选项C,故选C.
答案 C
10.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲所示,在平行四边形ABCD中,有
AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在图乙所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
等于
A.2(AB2+AD2+
C.4(AB2+AD2+
解析如图,连接A1C1,AC,
则四边形AA1C1C是平行四边形,
故A1C2+
连接BD,B1D1,
则四边形BB1D1D是平行四边形,
故
又在?ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2),
则
故选C.
答案 C
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:我没去过C城市;
丙说:我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为.
解析由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B 城市,因此甲一定去过A城市和C城市.又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是 A.
答案 A
12.已知函数f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值一定比零
(填“大”或“小”).
解析∵f(x)=x3+x是R上的奇函数,且是增函数,
又由a+b>0可得a>-b,
∴f(a)>f(-b)=-f(b),∴f(a)+f(b)>0.
同理,得f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0.
三式相加,整理得f(a)+f(b)+f(c)>0.
答案大
13.在平面几何中,△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比
为把这个结论类比到空间在三棱锥中如图所示平面平分二面角且与相交于则类比后得到的结论是
解析∵CE平分∠ACB,而平面CDE平分二面角A-CD-B,
可类比成△
△故结论为△
△
答案△
△
14.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c 等于.
解析由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:
(1)当①成立时,则a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立;
(2)当②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;
(3)当③成立时,则a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1,
所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.
故答案为201.
答案201
的所有项按照从大到小的原则写成如下数表
15.把数列
-
1
…
第k行有2k-1个数,第t行的第s个数(从左数起)记为A(t,s),则A(6,10)=.
解析前5行共有20+21+22+23+24=31个数,A(6,10)为数列的第41项.
∵a n
-
答案
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;
②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;
③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
解法一(1)选择②式,计算如下:
sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=130°=1
(2)三角恒等式为
sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)
证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)
=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α·(cos 30°cos α+sin 30°sin α)
=sin2ααcos ααcos α
解法二(1)同解法一.
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)
证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)-°-α(cos 30°cos α+sin 30°sin α) 2α60°cos 2α+sin 60°sin 2α)αcos αsin2α
2α2α2α2α2α)
=12α2α
-
17.(8分)已知函数f(x)=a x
(1)证明函数f(x)在(-1,+∞)内为增函数;
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
分析对第(1)小题,可用定义法证明;对第(2)小题,可按反证法证明命题的步骤加以证明.证明(1)设x1,x2是(-1,+∞)内的任意两个实数,且x1<x2.
∵a>1,
又x1+1>0,x2+1>0,
于是f(x2)-f(x1)--
故函数f(x)在(-1,+∞)内为增函数.
(2)假设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,
则-且0
于是0<-即
这与假设x0<0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.
18.(9分)先解答(1),再通过结构类比解答(2):
(1)求证:ta
-
(2)设x∈R,a为非零常数,且f(x+a)
试问是周期函数吗证明你的结论
-
(1)证明由两角和的正切公式得ta
--
即ta
命题得证.
-
(2)解猜想f(x)是以4a为周期的周期函数.
证明过程如下:
∵f(x+2a)=f[(x+a)+a]
∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]
=
∴f(x)是以4a为周期的周期函数.
故f(x)是周期函数,其中一个周期为4a.
19.(10分)已知0<b<a<e,其中e是自然对数的底数.
(1)试猜想a b与b a的大小关系;
(2)证明你的结论.
(1)解取a=2,b=1可知a b>b a,
又当a=1,b时,a b>b a,
由此猜测a b>b a对一切0<b<a<e成立.
(2)证明要证a b>b a对一切0<b<a<e成立,
需证ln a b>ln b a,需证bln a>a ln b,
需证
设函数f(x)∈(0,e),
-
f'(x)
当x∈(0,e)时,f'(x)>0恒成立.
所以f(x)在(0,e)内单调递增,
所以f(a)>f(b),即所以a b>b a.
20.(10分)已知数列{a n}和{b n}满足:a1=λ,a n+1
其中为常数为正整数
(1)求证:对任意实数λ,数列{a n}不是等比数列;
(2)求证:当λ≠-18时,数列{b n}是等比数列;
(3)设S n为数列{b n}的前n项和,是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有S n>-12?若存在,求实数λ的范围;若不存在,请说明理由.
分析解答本题,需综合运用等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本运算技能,并注意分类讨论思想的应用.
(1)证明假设存在实数λ,使得数列{a n}是等比数列,则有
又因为a2
所以--
即
则9=0,这是不可能的.
所以假设不成立,原结论成立.
故对任意实数λ,数列{a n}不是等比数列.
(2)证明因为λ≠-18,所以b1=-(λ+18)≠0.
又b n+1=(-1)n+1[a n+1-3(n+1)+21]
=(-1)n+-
=
=
所以b n≠0,
所以∈N*).
故当λ≠-18时,数列{b n}是以-(λ+18)为首项,为公比的等比数列.
(3)解当λ≠-18时,由(2)得
-
b n=-(λ+18)·-
所以S n=--
当λ=-18时,b n=0,从而S n=0,(*)式仍成立.
要使对任意正整数n,都有S n>-12,
即
解得λ
--
令f(n)=1-则当n为正奇数时,1<f(n)≤当n为正偶数时≤f(n)<1,
故对任意正整数n,f(n)的最大值为f(1)
所以λ<20
综上所述,存在实数λ,使得对任意正整数n,都有S n>-12,此时实数λ的取值范围是(-∞,-6).。