2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)
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Ｃ
（Ｉ）设 ｂ ＝口 一２ 证 明数列 ｛ 是 等比数列 ； ａ， ｂ｝
（Ⅱ）求数列 ｛ 的通项公式． 。｝
。
（Ｏ 本小题 满分 １ ２ ）（ ２分）某车间 甲组有 ｌ ０名工人 ， 中有 ４名 女工 人 ； 其 乙组有 ５名工人 ， 中有 ３ 女工人． 其 名
现采用分层抽样方法 （ 内采用 不放 回简单随机抽样 ）从 甲、 层 乙两组 中共抽取 ３名工人进行技术考核．
） 的展开式 中 ｘｙ 的系数为 ３
１ ・ ３
（ ）西 ｃ
பைடு நூலகம்
（ Ｄ）下
二、 填空题 ： 本大题 共 ４小题 ， 每小题 ５分 ， ２ 共 Ｏ分． 把答案填在题 中横线上． （３ ｘ 一 １）
・
（设差列 前项为． ５则 ＝ １ 等数｛的ｎ ｓ ｎ 妻 ４ ） 。 ｝ 和 ＝， 若
（Ｉ）求从甲 、 乙两组 各抽 取的人数 ； （Ⅱ）求从甲组抽取的工人 中恰有 １ 名女工人 的概 率 ；
（ｌ）记 表示抽取 的 ３名工人 中男 工人 数 ； 的分布列及数学期望． １ Ｉ 求
：
４ ， Ｃ 赢 则 的离心率为
（ ）７ Ｂ （ ）８ ｃ 了 （ ）９ Ｄ 了
（ ）６ Ａ 了
（２ １ ）纸制 的正方体 的六个 面根据其方位分别标记为上 、 、 、 、 、 现在沿该正方体 的 下 东 南 西 北．
一
些棱将正方体剪 开 、 外面朝上展平 ， 得到右侧 的平 面图形 ， 则标“ △”的面 的方 位是 （ Ａ）南 （ ）北 Ｂ
（ Ａ ）
（ Ａ）
（÷ Ｂ ）
（） Ｂ
（ Ｃ ）
（） ｃ５
（÷ Ｄ ）
’
（ ２ ’ ５ Ｄ）
（） ６ 已知向量 口＝（ ，）口・ ２ １ ， ６＝１， ｎ＋ｂ ＝５ 贝 西ｌ ０ｌ Ｉ √ ，０ Ｉ ＝
（ ） ａ＝ｌ ３ ， ７ 设 ｏ ￣ ｂ＝ｌ ２／ ｇｒ ｏ ， ， ｏ３ 一， ｇ — ｃ＝ｌ ２ 则 ３ — ｇ４
（） ｃ ２＋４
（ ２—４ Ｄ）
（） ２ 设集合 Ａ ＝ ｛ Ｉ ＞３ ， ＝ Ｉ ｝口
（ Ａ） （ ）已知 ＡＡ Ｃ ３ Ｂ （ ） ３ ４ Ｂ （ ，） ＇０ ＝一 测 ｃ ｓ ＝ ｃ ｏＡ
。 ＜ｏｔ则 Ａ ｎ Ｂ ＝ ，
（ ） 一２ １ ｃ （ ，） （ （ ＋ ） Ｄ） ４，
三、 解答题 ： 大题 共 ６小题 ， ７ 本 共 ０分． 解答应写 出文字说 明， 证明过程或演算步骤．
（） 小 满 ｌ ） △ ｃ内 Ａ、 对 长 别 。，ｏ —）ｃ ： ， １（ 题 分０ 设 Ａ 的 角、ｃ 边 分 为、，（ ｃ＋ｓ ÷ ７本 分 曰的 ６ｃＡ ｃｓ 。 Ｂ
ｂ ＝ ａ 。 Ｂ ｃ求 ．
（ ） 种 Ａ６
（孚 Ｂ ）
（ ）２ Ｂ １ 种
（ ｃ ）
（ ）ｏ Ｃ ３ 种
（２ ＤＡ ）－ 丁
（ ）６ Ｄ ３ 种
（０ １ ）甲、 乙两人从 ４门课程 中各 选修 ２门， 甲 、 则 乙所选 的课 程中至少有 １门不 相同的选法共有
（１ 已 １） 知双曲 ： 一 ＝１ａ＞０ｂ ） 右焦点为Ｆ过Ｆ 线ｃｘ 鲁 ，＞０ 的 ， 且斜率为 的 √ 直线交Ｃ 、两点． 于ＡＢ 若
重合 ， ｃ 的最小值为 则 ｃ ，
（吉 Ａ ）
则 ｋ＝
（÷ Ｂ ）
（了 ｃ１
（１ Ｄ
ｆ－２ｆ ＢＩ Ｆ ，
（ ）已知直线 Ｙ＝ｋ ｘ＋２ （ ＞０ ９ （ ） ）与抛物线 Ｇ ＝８ ： ｘＮ￣ － ａ、 ７ Ｂ两点 ， ， ： ，为 Ｃ的焦点． ｆ 若
（了 Ａ１ ）
（５ 设 Ｏ １） Ａ是球 ０的半径 ， Ｍ是 Ｏ Ａ的中点， Ｍ且与 ｏ 过 ａ成 ４ 。 ５ 角的平面截球 ０的表面得到圆 ｅ若圆 Ｃ的
面积等 于 ， 则球 。的表 面积等 于 （６ １ ）已知 Ａ Ｂ Ｃ、Ｄ为圆 ０： ＋ ＝４的两条相互垂直 的弦 ， 垂足为 Ｍ（ ， ） 则 四边形 Ａ Ｃ １ ， Ｂ Ｄ的面积的最大 值 为
（８ 本小题满分 ｌ 分 ） 图 ， １ ）（ ２ 如 直三棱柱 Ａ Ｃ—Ａ Ｂ Ｃ 中，Ｂ上Ａ Ｄ、 Ｂ 。。 Ａ Ｃ， Ｅ分别为 Ａ 。 Ａ、 ｃ
的 中点 ， Ｅ上 平 面 Ｂ Ｃ ． Ｄ Ｃ １
（Ｉ）证 明 ：Ｂ ＝ Ａ ； Ａ Ｃ
Ｃ
（ Ⅱ）设二面角 Ａ—Ｂ Ｄ—Ｃ为 ６ 。求 Ｂ Ｃ与平 面 Ｂ Ｄ所成 的角 的大小． ０， ． Ｃ （９ 本小题满分 ｌ ） １ ）（ ２分 设数列 ｛ ａ Ｉ的前 项和为 Ｓ ． 已知 ａ ＝ｌ Ｓ ：４ ＋２ ， ａ ．
（ Ａ ）
（ ）曲线 ｙ ４
（ ｘ—Ｙ一２ ＝ ０ Ａ）
（丢 Ｂ ）
在点 （ ， ）处的切线 程为 １１
（ ＋Ｙ一２ ＝０ ： Ｂ）
（ 一 ｃ百 ）５
（ 一 Ｄ西 ）１ ２
．
（） Ｃ ｘ＋４ ｙ一５ ＝０ （ ｘ一 ｙ一５ ＝０ Ｄ） ４
（ ）已知 正四棱 柱 Ａ ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 ，Ａ ５ 曰 Ｄ— ｉ 。 Ａ ＝２ Ｂ， Ａ ｅ点 ， 异面直线 Ｂ Ａ Ｅ为 Ａ ｅ 则 Ｅ与 Ｃ Ｄ 所成角的余弦值为
２０ ０９年普通 高等学校招 生全 国统一考试 理科数学 （ 必修 ＋ 选修 Ⅱ）
一
、
选择题 ： 本大题共 １ ２小题 ， 每小题 ５分 ， ６ ， 共 ０分 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题 目要求的。
（墨 ： １ ）
‘ 一 ‘
．
．
（ Ａ）一２＋４ ｉ
（ Ｂ）一２—４
（ 。＞ ｂ＞ｃ Ａ） （） Ｓ ａ＞ｃ＞ｂ
、
（ ） ＞ｃ ｃ ｂ＞ （ ｂ＞ｃ＞ａ Ｄ）
．
（ 若 函 ｙ ａ眦＋ ） ＞）图 向 平 詈个 位 度 ，函 ， ｔ（ 詈）图 ８ 将 数 ｔ（ 詈 （ ｏ的 像 右 移 单 长 后与 数， ａ毗十 的 像 ） ｎ ∞ ：ｎ
（Ｉ）设 ｂ ＝口 一２ 证 明数列 ｛ 是 等比数列 ； ａ， ｂ｝
（Ⅱ）求数列 ｛ 的通项公式． 。｝
。
（Ｏ 本小题 满分 １ ２ ）（ ２分）某车间 甲组有 ｌ ０名工人 ， 中有 ４名 女工 人 ； 其 乙组有 ５名工人 ， 中有 ３ 女工人． 其 名
现采用分层抽样方法 （ 内采用 不放 回简单随机抽样 ）从 甲、 层 乙两组 中共抽取 ３名工人进行技术考核．
） 的展开式 中 ｘｙ 的系数为 ３
１ ・ ３
（ ）西 ｃ
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（ Ｄ）下
二、 填空题 ： 本大题 共 ４小题 ， 每小题 ５分 ， ２ 共 Ｏ分． 把答案填在题 中横线上． （３ ｘ 一 １）
・
（设差列 前项为． ５则 ＝ １ 等数｛的ｎ ｓ ｎ 妻 ４ ） 。 ｝ 和 ＝， 若
（Ｉ）求从甲 、 乙两组 各抽 取的人数 ； （Ⅱ）求从甲组抽取的工人 中恰有 １ 名女工人 的概 率 ；
（ｌ）记 表示抽取 的 ３名工人 中男 工人 数 ； 的分布列及数学期望． １ Ｉ 求
：
４ ， Ｃ 赢 则 的离心率为
（ ）７ Ｂ （ ）８ ｃ 了 （ ）９ Ｄ 了
（ ）６ Ａ 了
（２ １ ）纸制 的正方体 的六个 面根据其方位分别标记为上 、 、 、 、 、 现在沿该正方体 的 下 东 南 西 北．
一
些棱将正方体剪 开 、 外面朝上展平 ， 得到右侧 的平 面图形 ， 则标“ △”的面 的方 位是 （ Ａ）南 （ ）北 Ｂ
（ Ａ ）
（ Ａ）
（÷ Ｂ ）
（） Ｂ
（ Ｃ ）
（） ｃ５
（÷ Ｄ ）
’
（ ２ ’ ５ Ｄ）
（） ６ 已知向量 口＝（ ，）口・ ２ １ ， ６＝１， ｎ＋ｂ ＝５ 贝 西ｌ ０ｌ Ｉ √ ，０ Ｉ ＝
（ ） ａ＝ｌ ３ ， ７ 设 ｏ ￣ ｂ＝ｌ ２／ ｇｒ ｏ ， ， ｏ３ 一， ｇ — ｃ＝ｌ ２ 则 ３ — ｇ４
（） ｃ ２＋４
（ ２—４ Ｄ）
（） ２ 设集合 Ａ ＝ ｛ Ｉ ＞３ ， ＝ Ｉ ｝口
（ Ａ） （ ）已知 ＡＡ Ｃ ３ Ｂ （ ） ３ ４ Ｂ （ ，） ＇０ ＝一 测 ｃ ｓ ＝ ｃ ｏＡ
。 ＜ｏｔ则 Ａ ｎ Ｂ ＝ ，
（ ） 一２ １ ｃ （ ，） （ （ ＋ ） Ｄ） ４，
三、 解答题 ： 大题 共 ６小题 ， ７ 本 共 ０分． 解答应写 出文字说 明， 证明过程或演算步骤．
（） 小 满 ｌ ） △ ｃ内 Ａ、 对 长 别 。，ｏ —）ｃ ： ， １（ 题 分０ 设 Ａ 的 角、ｃ 边 分 为、，（ ｃ＋ｓ ÷ ７本 分 曰的 ６ｃＡ ｃｓ 。 Ｂ
ｂ ＝ ａ 。 Ｂ ｃ求 ．
（ ） 种 Ａ６
（孚 Ｂ ）
（ ）２ Ｂ １ 种
（ ｃ ）
（ ）ｏ Ｃ ３ 种
（２ ＤＡ ）－ 丁
（ ）６ Ｄ ３ 种
（０ １ ）甲、 乙两人从 ４门课程 中各 选修 ２门， 甲 、 则 乙所选 的课 程中至少有 １门不 相同的选法共有
（１ 已 １） 知双曲 ： 一 ＝１ａ＞０ｂ ） 右焦点为Ｆ过Ｆ 线ｃｘ 鲁 ，＞０ 的 ， 且斜率为 的 √ 直线交Ｃ 、两点． 于ＡＢ 若
重合 ， ｃ 的最小值为 则 ｃ ，
（吉 Ａ ）
则 ｋ＝
（÷ Ｂ ）
（了 ｃ１
（１ Ｄ
ｆ－２ｆ ＢＩ Ｆ ，
（ ）已知直线 Ｙ＝ｋ ｘ＋２ （ ＞０ ９ （ ） ）与抛物线 Ｇ ＝８ ： ｘＮ￣ － ａ、 ７ Ｂ两点 ， ， ： ，为 Ｃ的焦点． ｆ 若
（了 Ａ１ ）
（５ 设 Ｏ １） Ａ是球 ０的半径 ， Ｍ是 Ｏ Ａ的中点， Ｍ且与 ｏ 过 ａ成 ４ 。 ５ 角的平面截球 ０的表面得到圆 ｅ若圆 Ｃ的
面积等 于 ， 则球 。的表 面积等 于 （６ １ ）已知 Ａ Ｂ Ｃ、Ｄ为圆 ０： ＋ ＝４的两条相互垂直 的弦 ， 垂足为 Ｍ（ ， ） 则 四边形 Ａ Ｃ １ ， Ｂ Ｄ的面积的最大 值 为
（８ 本小题满分 ｌ 分 ） 图 ， １ ）（ ２ 如 直三棱柱 Ａ Ｃ—Ａ Ｂ Ｃ 中，Ｂ上Ａ Ｄ、 Ｂ 。。 Ａ Ｃ， Ｅ分别为 Ａ 。 Ａ、 ｃ
的 中点 ， Ｅ上 平 面 Ｂ Ｃ ． Ｄ Ｃ １
（Ｉ）证 明 ：Ｂ ＝ Ａ ； Ａ Ｃ
Ｃ
（ Ⅱ）设二面角 Ａ—Ｂ Ｄ—Ｃ为 ６ 。求 Ｂ Ｃ与平 面 Ｂ Ｄ所成 的角 的大小． ０， ． Ｃ （９ 本小题满分 ｌ ） １ ）（ ２分 设数列 ｛ ａ Ｉ的前 项和为 Ｓ ． 已知 ａ ＝ｌ Ｓ ：４ ＋２ ， ａ ．
（ Ａ ）
（ ）曲线 ｙ ４
（ ｘ—Ｙ一２ ＝ ０ Ａ）
（丢 Ｂ ）
在点 （ ， ）处的切线 程为 １１
（ ＋Ｙ一２ ＝０ ： Ｂ）
（ 一 ｃ百 ）５
（ 一 Ｄ西 ）１ ２
．
（） Ｃ ｘ＋４ ｙ一５ ＝０ （ ｘ一 ｙ一５ ＝０ Ｄ） ４
（ ）已知 正四棱 柱 Ａ ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 ，Ａ ５ 曰 Ｄ— ｉ 。 Ａ ＝２ Ｂ， Ａ ｅ点 ， 异面直线 Ｂ Ａ Ｅ为 Ａ ｅ 则 Ｅ与 Ｃ Ｄ 所成角的余弦值为
２０ ０９年普通 高等学校招 生全 国统一考试 理科数学 （ 必修 ＋ 选修 Ⅱ）
一
、
选择题 ： 本大题共 １ ２小题 ， 每小题 ５分 ， ６ ， 共 ０分 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题 目要求的。
（墨 ： １ ）
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．
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（ Ａ）一２＋４ ｉ
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