配套K12内蒙古太仆寺旗宝昌一中2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题

2017-2018学年度宝昌一中高二期末理科数学试卷
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题(12×5=60)
1．已知复数34,z i i =+为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则
i
z
=（） A. 4355i -+ B. 4355i -- C. 432525i -+ D. 432525
i --
2．对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体（）
A. 各正三角形内的点
B. 各正三角形某高线上的点
C. 各正三角形的中心
D. 各正三角形各边的中点
3．用反证法证明命题“若220a b +=，则,a b 全为()0,a b R ∈”，其反设正确的是（ ） A. ,a b 至少有一个不为0 B. ,a b 至少有一个为0 C. ,a b 全不为0 D. ,a b 中只有一个为0 4．函数()()21e x f x x =-的递增区间为（） A. (),-∞+∞ B. 1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
C. 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
D. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
5.若函数y=f(x)的导函数
的图像如下图所示，则y=f(x)的图像可能为（）
6.函数y=f(x)的图像在x=5处的切线方程是y=-2x+8,则f(5)-f’(5)等于（ ） A.1 B.0 C.2 D.
7.先后投掷同一枚骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x 、y,设事件A 为“x+y 为偶数”，事件B 为“x ≠y ”,则P(B|A)=( )
A. B. C. D.
8.如图所示，阴影部分的面积（ ）
A. 12
B. 23
C. 1
D. 76
9.某班有的学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生人数X ～B(5，),则E （2X+1）= ( ) A. B. C. 3 D.
10．已知()1n
x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）
A. 92
B. 102
C. 112
D. 122
11．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山。

现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成宝昌一中“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（） A. 14种 B.24种 C. 20种 D.16种
12．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足()13f =，且()f x 的导数()f x '在R 上恒有
()()2f x x R '<∈，则不等式()21f x x <+的解集为（）
A. ()1,+∞
B. (),1-∞-
C. ()1,1-
D. ()(),11,-∞-⋃+∞
第II 卷（非选择题）
二、填空题(4×5=20)
13．⎰+30
)sin 2(π
dx x x ＝。

14．的展开式中，3x 的系数是____________.（用数字填写答案）
15．函数
有3个不同的零点，则实数的取值范围为是__________________
16.关于正态分布密度函数性质的叙述：
①.曲线关于直线x=x 轴上方；
②.曲线关于直线x=x ∈(-3σ,3σ)时才在x 轴上方；
③.曲线关于y 轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；
④.曲线在x=时，处于最高点并由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤.曲线的对称轴由确定，曲线的形状由σ确定； ⑥.σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦” 上述说法正确的是_______________________
三、解答题
17．已知点P 和点Q 是曲线y=-x-3上的两点，且点P 的横坐标是1，点Q 的横坐标是4，求：⑴割线PQ 的斜率；(5分)
⑵在点P 处的切线方程.（5分）
18.设a 为实数，函数f （x ）=x 3﹣x 2
﹣x+a ，若函数f （x ）过点A （1，0） ，求函数在区间 [﹣2，3]上的最值．（10分）
19．某公司甲、乙、丙三位员工独立参加某项专业技能测试，根据平时经验，甲、乙、丙能 达标的概率分别为，，；
⑴若甲、乙两位员工各自参加两次测试，各自测试达标与否互不影响，求甲、乙两位员工恰好都只有一次达标的概率；（6分）
⑵若三位员工各自参加一次测试，记达标的人数为X,求X 的分布列和数学期望.（6分） 20.数列{}n a 满足*153618,n n a a n n N ++=+∈，且14a =. （1）写出{}n a 的前3项，并猜想其通项公式；（6分）
（2）用数学归纳法证明你的猜想.（6分）
21.期末考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学成绩进行统计，规定：大于或等于120分的为
优秀120分以下的为非优秀.统计结束后，得到如下2×2列联表.已知在甲、乙两个文科班的110人中随机抽取1人为优秀的概率为.
附表：
)
(1) 请完成2×2列联表.(答题卡中作答)（6分）
(2)是否有99.9％的把握认为“成绩优秀与班级有关”？（6分）
22．已知函数()2x f x e x a =-+，x R ∈，曲线()y f x =的图象在点()()
0,0f 处的切线方程为y bx =.
（1）求函数()y f x =的解析式；（4分）
（2）当x R ∈时，求证：()2f x x x ≥-+；（5分）
（3）若()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.（5分）
2018数学理科试卷答案：
1. C
2.C
3.A
4.D
5.C
6.B
7.D
8.B
9.D 10.A 11.B 12.A 13.
9
2
π
+
2
1
14. 360 15. (-2，2) 16. ①④⑤⑥ 17. (1) P(1，-3) Q(4，9) k=4
(2) y ’=2x-1 切线斜率k=1 切点P(1，-3) 在点P 处的切线方程为：x - y - 4=0
18.函数f （x ）的最大值为16，最小值为-9． 【解析】
试题分析：由题意可得f （1）=1﹣1﹣1+a=0，从而化简f （x ）=x 3﹣x 2﹣x+1，f′（x ）=3x 2
﹣2x ﹣1=（3x+1）（x ﹣1），从而判断函数的单调性再求最值即可． 解：∵函数f （x ）过点A （1，0）， ∴f（1）=1﹣1﹣1+a=0， ∴a=1，
∴f（x ）=x 3﹣x 2﹣x+1，f′（x ）=3x 2
﹣2x ﹣1=（3x+1）（x ﹣1）， ∴f（x ）在[﹣2，﹣]上是增函数，在[﹣，1]上是减函数， 在[1，3]上是增函数； 而f （﹣2）=-9， f （﹣）=﹣
﹣++1=1+
=
，
f （1）=0，
f （3）=27﹣9﹣3+1=16，
故函数f （x ）的最大值为16，最小值为-9．
19.(1)甲员工连续两次测试恰好只有一次达标的概率为
c
1
2
×41×（1 - 43）=8
3
乙员工连续两次测试恰好只有一次达标的概率为
)321(311
2-⨯⨯c =9
4 所以甲、乙两次员工恰好都只有一次达标的概率为
6
19483=⨯ （2）易知X=0,1,2,3
P(X=0)=(1-43)×(1-32)×(1-53)=60
2 60
13
533141523241523143)1(=
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==X P 209
6027533241533143523243)2(==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==X P
10
3
6018533243)3(==⨯⨯==X P
601216018360272601316020)(=⨯+⨯+⨯+⨯
=X E
20. （1）62n a n =-（2）见解析
【解析】试题分析:（1）由1234,10,16a a a ===，猜想62n a n =-;
试题解析:解：（1）1234,10,16a a a ===，猜想62n a n =-；（2）①验证1n =时成立;②假设,n k k N +
=∈时，猜想成立，即有62k a k =-，由153618k k a a k ++=+，，及62k a k =-，证得1n k =+时成立,故命题成立.
（2）①当1n =时，14612a ==⨯-成立；
②假设,n k k N +
=∈时，猜想成立，即有62k a k =-， 由153618k k a a k ++=+，，及62k a k =-，
得()164612k a k k +=+=+-，即当1n k =+时猜想成立， 由①②可知，62n a n =-对一切正整数n 均成立.
21.(1) （2）
828.10486.750
608030110)
20503010(2
2
<≈⨯⨯⨯⨯=
=⨯-⨯k K
所以没有99.9%的把握认为“成绩优秀与班级有关” 22. （1）()2
1x
f x e x =--；（2）见解析；（3）(),2e -∞-.
【解析】试题分析：
(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为()2
1x
f x e x =--.
(2)构造新函数()()2
1x g x f x x x e x =+
-=--
.结合函数的最值和单调性可得
()2f x x x ≥-+.
(3)分离系数，构造新函数()()f x x x
ϕ=，0x >，结合新函数的性质可得实数k 的取值范围
为(),2e -∞-. 试题解析：
（1）根据题意，得()'2x
f x e x =-，则()'01f b ==.
由切线方程可得切点坐标为()0,0，将其代入()y f x =，得1a =-， 故()2
1x
f x e x =--.
（2）令()()2
1x
g x f x x x e x =+-=--.
由()'10x
g x e =-=，得0x =，
当(),0x ∈-∞，()'0g x <，()y g x =单调递减； 当()0,x ∈+∞，()'0g x >，()y g x =单调递增. 所以()()min 00g x g ==，所以()2
f x x x ≥-+.
（3）()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立等价于
()f x k x
>对任意的()0,x ∈+∞恒成立.
令
()()f x x x
ϕ=
，
x >，
得
()(
)()2
''x f x f x
x x ϕ-=
=
()(
)2
2
21
x x x e x e x x ----=()()2
11x
x e
x x ---.
由（2）可知，当()0,x ∈+∞时，10x e x -->恒成立， 令()'0x ϕ>，得1x >；令()'0x ϕ<，得01x <<.
所以()y x ϕ=的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1，故()()m i n 12x e ϕϕ==-，所以()min 2k x e ϕ<=-.
所以实数k 的取值范围为(),2e -∞-.。