通信电子线路研讨报告(北京交通大学)汇编

电磁场与电磁波教学研讨报告
——静电场特性研究
2、针对以下给定的电荷分布，用matlab 仿真画出对应的电位和电场分布。

并对结果进行分析。

（1）电荷为Q 、相距d 的电偶极子放置在真空中。

（2）两个接地的半无限大导体板分别放置在x 轴和y 轴上，形成900夹角，正电荷04πε放置在点（a ，a ）处。

（3）一个两维的电位分布近似用二次方表示如下：
)(4220
y x V v +-=ερ v ρ为电荷分布。

证明上述V 函数满足泊松方程。

画出电荷图形和电
位分布。

解：
（1）由真空中静电场点电荷公式：
)11()11(421210r r kQ r r Q V -=-=
πε V E -∇=→ 其中：20201)()(y y x x r -+-=
20202)()(y y x x r +++=
分析：
Matlab 源程序：
1)用streamline()函数实现
close all; clear; clc;% 在二维平面上绘制一对电偶极子的电场线图。

k = 8.9875e+9; % 比例系数
e_p = 1.602e-19; % 正点电荷带电量
e_n = -e_p; % 负点电荷带电量
e_r = 2.8e-15; % 电荷的半径
% 指定区间：d=<x,y<=d，并生成网格数据
d = -e_r*40:e_r:e_r*40;
[x, y] = meshgrid(d);dt = (max(d) - min(d)) / 10;
% 设定两个电子间的距离
x_n = -dt / 2; y_n = 0; % 设定负电子的坐标值
x_p = dt / 2; y_p = 0; % 设定正电子的坐标值
% 分别计算正负电荷在周围一点的电势
V1_min = k * e_n / e_r;
V2_max = k * e_p / e_r;
V1 = k * e_n ./ sqrt((x-x_n).^2 + (y-y_n).^2); % 负电荷
V2 = k * e_p ./ sqrt((x-x_p).^2 + (y-y_p).^2); % 正电荷
V1(V1==-Inf) = V1_min;
V1(V1<V1_min) = V1_min;
V2(V2==Inf) = V2_max;
V2(V2>V2_max) = V2_max;
% 利用叠加原理计算电势
V = V1 + V2;
[E_x, E_y] = gradient(-V);
hold on; grid on;
% 电偶极子一部分电场线从正点电荷出发，并汇聚到负点电荷
% 绘制从正电荷发出的电场线，这些电场线一部分汇聚到负点电荷,还有一部分射向无穷远t = linspace(-pi, pi, 25);
sx = e_r * cos(t) + x_p;
sy = e_r * sin(t) + y_p;
streamline(x, y, E_x, E_y, sx, sy);
% 为负电荷补充5条射向无穷远的电场线
sx = [min(d)/3*2, min(d), min(d), min(d), min(d)/3*2];
sy = [min(d), min(d)/3*1, 0, max(d)/3*1, max(d)];
streamline(x, y, E_x, E_y, sx, sy);
contour(x, y, V, linspace(min(V(:)), max(V(:)), 100)); % 绘制等势线plot(x_n, y_n, 'ro', x_n, y_n, 'r-', 'MarkerSize', 10); % 标出负电荷plot(x_p, y_p, 'ro', x_p, y_p, 'r+', 'MarkerSize', 10); % 标出正电荷axis([min(d), max(d), min(d), max(d)]);
h=legend('E',1);
title('E-field of an electric dipole');
hold off;
运行结果：
2)用quiver()函数实现
clear;clf;
q = 2e-6;k = 9e9;
a = 2;
b = 0;
% 设置坐标网点
x = -6:0.6:6;y = x;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
% 计算电势、场强
r1 = sqrt((X-a).^2+(Y-b).^2); r2 = sqrt((X+a).^2+(Y+b).^2); V = q*k*(1./r1-1./r2);
[E_x,E_y] = gradient(-V);
AE = sqrt(E_x.^2+E_y.^2);
% 场强归一化，使箭头等长
%E_x = E_x./AE;
%E_y = E_y./AE;
% 产生 49 个电位值，并用红线画填色等位线图
U = linspace(min(V(:)),max(V(:)),49);
%用鼠标选择性的标注等势线上的电势值，单击灰色外沿结束。

[C,h] = contourf(X,Y,V,U,'r-');
clabel(C,'manual');
hold on
% 用箭头画出场强
quiver(X,Y,E_x,E_y,0.7);
%画出正负电荷位置
plot(a,b,'wo',a,b,'k+')
plot(-a,-b,'wo',-a,-b,'k-')
title('\fontname{宋体}电偶极子','fontsize',18)
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off
运行结果：
箭头矢量归一化后：(去掉程序红色部分前%，为更形象看出分布而处理一下图形)
(2)利用镜像法：
真空中静电场镜像法可将模型等效为空间四个点电荷在第一象限产生的电势叠加和电场矢量和。

Q 2(-a,a) Q 1(a,a)
Q 3(-a,-a) Q 4(a,-a)
图形定性分析：
由于电荷对称，电场应垂直与x = 0 和 y = 0 轴。

)1111()1111(4432143210r r r r r r r r Q V -+-=-+-=πε
V E -∇=→
其中：
221)()(a y a x r -+-=
222)()(a y a x r -++= 223)()(a y a x r +++= 224)()(a y a x r ++-=
电场矢量归一化后图形：
截取第一象限内的电场和电势分布，得如题电势分布：
电场幅度归一化后图形：
从图中可以看出：
（1）靠近点电荷Q 附近的电场箭头长，远离Q 较短，说明场强大小向递减，方向向外。

（2）在x = 0和y = 0 时，电场方向垂直于轴。

总体效果与理论分析的符合不错。

(3)证明：
)(20
y a x a y V x V V y x v →→+-=∂∂+∂∂=∇ερ 022222
-ερv y V x V V =∂∂+∂∂=∇ ∴ 满足泊松方程
02-
ερv V =∇。

正视图：
从图中可以看出：
电场由原点向四周发散，说明在原点处有一个正电荷。

周围电势为负值，且逐渐减小，说明零电势点选在原点处。

程序源代码：
clear;
pv=1.6e-15;
t=8.85e-12;
[X,Y]=meshgrid(-3:0.3:3,-3:0.3:3);
V=-pv.*sqrt(X.^2+Y.^2)./(2*t);
[E_x,E_y] = gradient(-V);
AE = sqrt(E_x.^2+E_y.^2);
% 产生 49 个电位值，并用红线画填色等位线图
U = linspace(min(V(:)),max(V(:)),11);
%画等势线，并标注电势值
[C,h] = contourf(X,Y,V,U,'r-');
clabel(C,'manual');
hold on
% 用箭头画出场强
quiver(X,Y,E_x,E_y,0.7);
figure(1)
mesh(X,Y,V);
% 场强归一化，使箭头等长
E_x = E_x./AE;
E_y = E_y./AE;
plot(0, 0, 'ro', 0, 0, 'k--', 'MarkerSize', 10); % 标出负电荷
text(0,0,'--');
text(0,0.2,'--Q');
%figure(2)为正视图
figure(2)
surf(X,Y,V);
view(0,0);
xlabel('y(x)')
text(-3.5,-4,'V');
心得和体会：
选择这么一道题，是想借此机会将matlab与电磁场与电磁波这门课程结合起来。

Matlab对于一些模型的仿真，图形的绘制，图形的处理有着强大的优势。

在深入学习过程中，很多不太清楚的问题都可以通过matlab进行问题的验证，同时可以有助于抽象虚拟电场电势的理解。

体会最深的还是从发现一个问题到最后通过各种途径解决后的成就感。

有些问题虽然仍然没有解决，也没达到预期效果，但是也从中受益匪浅。

在查找资料的过程中，发现了许多有趣的将matlab应用于电磁场中的例子。

还有很大的提升空间，我希望能够让图形能够富有动感，是三维图形，就像老师上课讲义演示动画一样，精美、具体而又形象。

这些也只能在日后的学习过程中逐步提升了。

研究中发现的问题：
在研究点电荷镜像法时，可以将四个电荷看成是两组电偶极子，我尝试用电势叠加，将两组点偶极子放在同一图形中。

但似乎得出的图形与理想的不同。

从图中还是可以得到一些正确的结论，绿色的线代表等势线，蓝色的线为电场线，都符合理想情况。

而对于那些丢失的电场线，初步分析原因是对streamline （）函数的了解还不够深，程序代码有些许偏差，导致部分曲线重合或是其他原因而丢失，在此就不再写出源代码。

待日后对matlab 有了更深入的研究，再逐步完善图形。

参考文献：
1.敬照亮. MATLAB 教程与应用. 北京. 清华大学出版社 北京交通大学出版社 ,2011。