实验中学2012-2013学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案

山东省实验中学2013届高二期终考试理科数学试卷
一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.) 1.在复平面内,复数i
z +=
31
对应的点位于 （ D ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知a R ∈，则“2a >”是“2
2a a >”的 （ A ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必
要条件
3.直线(1)y k x =+与圆2
2
1x y +=的位置关系是 （ C ） A.相离 B.相切 C.相交 D.与k 的取值有关 4.函数b x A x f +ϕ+ω=)sin()((0,0,)22
A π
π
ωϕ>>-
<<的图象如图，则)(x f 的解析式可以为 （ D ）
A. 3
()sin 12f x x π=+
B. 1
()sin 12
f x x =+
C. 1()sin 124
f x x
π
=+
D.12
sin 21)(+π
=
x x f 5.正四棱锥P －ABCD 的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为，则此球的表面积为 （ B ）
A. 18π
B. 36
π C. 72π D. 9π
6．的直线l
与双曲线22
221x y a b
-=交于不同的两点，且这两个交点在x
轴上的射
影恰好是双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率为 （ ）
A.
B. C.
D.
7．已知函数4
()1||2
f x x =
-+的定义域为[a,b ] (,)a b ,值域为[0,1]，那么满足条件的有序对(,)a b 共有（ ）A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 9对
8.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、
4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2009个数是 （ ）A. 3948 B. 3953 C. 3955 D.3958
9.已知：奇函数)(x f 的定义域为R ，且是以2为周期的周期函数，数列}{n a 是首项为1，
公差为1的等差数列，则)()()(1021a f a f a f +++ 的值等于（ ） A 0 B 1 C －１ D 2 10. 如果关于x 的方程21
3ax x
+=有且仅有一个正实数解，那么实数a 的取值范围为 （ ）
A. {|0}a a ≤
B. {|0a a ≤或2}a =
C. {|0}a a ≥
D. {|0a a ≥若
2}a =-
二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.若椭圆22
21615x y p
+=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为_________． 12.双曲线 22a x －22
b
y ＝1的左右焦点分别为F 1 ﹑F 2，在双曲线上存在点P ，满足︱PF 1︱＝5
︱PF 2︱。

则此双曲线的离心率e 的最大值为 .
13.已知()
3,3A ，O 为原点，点(),P x y 的坐标满足303200
x y x y y ⎧-⎪-+⎨⎪⎪⎩
≤≥≥，则OA OP OA ⋅的最大
值是
14.某种股票今天的股价是2元/股，以后每一天的指数都比上一天的股价增加0.2%，则100
天以后这种基金的股价约是__________元/股（精确到0.01）.
15.设函数(),()f x g x 的定义域分别为D J ,D E ．且D J D E ，若对于任意x ∈D J ,都有()(),g x f x =则称函数()g x 为()f x 在D E 上的一个延拓函数.设()ln (0),()f x x x x g x =>为()f x 在
(,0)(0,)-∞⋃+∞上的一个延拓函数，且()g x 是奇函数，则
()g x =________________________；设()21(0)x f x x =-≤,
()g x 为()f x 在R 上的一个延拓函数，且且()g x 是偶函数，则()g x =________________________.
三．(解答题本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)
某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。

（1）若上午某一时段A 、B 、C 三位教师需要使用电脑的概率分别是
41、32、5
2
，求这一时段A 、B 、C 三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率；
（2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是
3
1
，求在这一时段该办公室电脑使用的平均台数和无法满足需求的概率。

解：（1）甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为A 、B 、C ，因为各位教师是否使用电脑是相互独立的，所以甲、乙、丙三位教师中恰有2位使用电脑的概率是：
3
1
5232)411(52)321(41)521(3241)()()(=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=
++=BC A P C B A P C AB P p
……6分
（2）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，记有4位教师同时需要使用电脑的事件为M ，有5位教师同时需要使用电脑的事件为N ，
4455121()C ()(),()()333
P M P N ==……………………………………8分
所以，所求的概率是：P=P （M ）+P （N ）=243
11
)31()32()31
(5445=
+C 。

…………11分 15533ξE =⨯= ,即平均使用台数为5
3
台。

……………………12分
17．(本小题满分12分)
已知角α、β满足：53sinα＋5cosα＝8
2ββ=且α∈(0，π3)，β∈(π
6，π2)，
求cos(α＋β)的值.
解：∵53sinα＋5cosα＝8，∴sin(α＋π6)＝4
5．………………3分
∵α∈(0，π3)，∴α＋π6∈(π6，π2)，∴cos(α＋π6)＝3
5．………………5分 又∵
2sinβ＋6cosβ＝2，∴sin(β＋π3)＝2
2 ，………………8分
∵β∈(π6，π2)，∴β＋π3∈(π2，5π6)，∴cos(β＋π3)＝－2
2，………………10分 ∴sin[(α＋π6)＋(β＋π3)]＝sin(α＋π6)cos(β＋π3)＋cos(α＋π6)sin(β＋π3)＝－2
10，
∴cos(α＋β)＝－2
10．………………12分
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面△ABC 为等腰直角三角形，∠B = 900，D 为棱BB 1上一点，且面DA 1 C ⊥面AA 1C 1C .
1）求证：D 点为棱BB 1的中点；
2）若二面角A －A 1D － C 的平面角为600，求
AB
AA 1
的值。

A 1
C 1
B 1
D
解：1）过点D 作DE ⊥ A 1 C 于E 点，取AC 的中点F ，连BF ﹑EF 。

∵面DA 1 C ⊥面AA 1C 1C 且相交于A 1 C ，面DA 1 C 内的直线DE ⊥ A 1 C
∴直线DE ⊥面AA 1C 1C ………3分 又∵面BA C ⊥面AA 1C 1C 且相交于AC ，易知BF ⊥AC ， ∴BF ⊥面AA 1C 1C
由此知：DE ∥BF ，从而有D ，E ，F ，B 共面，
又易知BB 1∥面AA 1C 1C ，故有DB ∥EF ，从而有EF ∥AA 1，
又点F 是AC 的中点，所以DB ＝ EF ＝
21 AA 1 ＝ 2
1
BB 1， 所以D 点为棱BB 1的中点； ………6分
2）解法1：延长A 1 D 与直线AB 相交于G ，易知CB ⊥面AA 1B 1B ，
过B 作BH ⊥A 1 G 于点H ，连CH ，由三垂线定理知：A 1 G ⊥CH ，
由此知∠CHB 为二面角A －A 1D － C 的平面角； ………9分 设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝BC ＝a ；
在直角三角形A 1A G 中，易知 AB ＝ BG 。

在直角三角形DB G 中，BH ＝
DG
BG
BD ⋅ ＝
2
2
b
a a
b +⋅，
A 1
C 1
B 1
A C
B
D H
E
F G
在直角三角形CHB 中，tan ∠CHB ＝ BH BC
＝
b
b a 2
2+， 据题意有：b
b a 2
2+ ＝ tan 600 ＝
3 ，解得：
22=a
b
， 所以
AB
AA 1
＝2 。

………12分
2）解法2：建立如图所示的直角坐标系，设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝BC ＝a ，
则D （0,0,b ）, A 1 (a ,0,2b ), C (0,a ,0)
所以，
,,0(),,0,(1a b a DA ==
设面DA 1C 的法向量为),,(z y x =
则 0
0,00=-+⋅=+⋅+bz ay x bz y ax
可取),,(a b b --= 又可取平面AA 1DB 的法向量
)0,,0(a ==
cos 〈m n ,〉2
2
2
2
2
2200a
b b a
a b a ba b +-
=⋅+⋅--⋅=
=
………10分
据题意有：
21
22
2=
+a b b
，解得： AB AA 1＝22=a
b ………12分 19．（本小题满分13分） 已知()ln f x x x =．
⑴ 求函数()f x 在区间[,2](0)t t t +>上的最小值；
⑵ 对一切实数(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； ⑶ 证明对一切(0,)x ∈+∞， 12
ln x x e ex
>
-恒成立． 解：⑴ '()ln 1f x x =+，当1
(0,)x e
∈，'()0f x <，()f x 单调递减，当1(,)x e
∈+∞，'()0f x >，
()f x 单调递增．………………………………………………………………1分
① 1
02t t e
<<+<
，t 无解；………………………………………………2分 ② 102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11
()()f x f e e ==-；………………………………3分
③ 12t t e ≤<+，即1
t e
≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；
所以min 1
10()1ln t e e
f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥
⎪⎩
， ，．………………………………………………………………5分
⑵ 22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x ≤++
，设3
()2ln (0)h x x x x x
=++>，则
2
(3)(1)
'()x x h x x +-=
，(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递增，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()
h x 单调递减，所以min ()(1)4h x h ==，因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以
min ()4a h x ≤=；………………9分
⑶ 问题等价于证明2
ln ((0,))x x x x x e e
>
-∈+∞，由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1
x e
=时取到，设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1'()x x m x e -=，易得
max 1()(1)m x m e ==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12
ln x x e ex
>-成
立．………………13分 20．（本小题满分13分）
设正项数列｛n a ｝的前项和为S n ，q 为非零常数。

已知对任意正整数n , m ，当n ＞ m
时，m n m
m n S q S S -⋅=-总成立。

1）求证数列｛n a ｝是等比数列； 2）若正整数n , m , k 成等差数列，求证：
n S 1＋k S 1≥m
S 2。

解： 1）因为对任意正整数n , m ，当n ＞ m 时，m n m
m n S q S S -⋅=-总成立。

所以当n ≥2时：111S q S S n n n --=-，即1
1-⋅=n n q a a ，且1a 也适合，又n a ＞0，
故当n ≥2时：
q a a n n
=-1
（非零常数），即｛n a ｝是等比数列。

………5分 2）若1=q ，则111,,ka S ma S na S k m n ===。

所以
11211nka m nka k n S S k n =+=+≥m
S ma a m m a k n m 222)2(21121
2===⋅+。

………7分 若1≠q ，则q q a S n n --=1)1(1，q q a S m m --=1)1(1，q
q a S k k --=1)
1(1。

………8分
所以k n S S 11+≥21
2
)1)(1()1(212a q q q S S k n k n ---=。

………10分 又因为k
n k
n
k
n
q q q q q +++-=--)(1)1)(1(
≤22)1(2121m m m k n k
n q q q q q
-=+-=+-++。

所以
k n S S 11+≥212)1)(1()1(212a q q q S S k n k n ---=≥m m S a q q 2)1()1(221
22=⋅--。

综上可知：若正整数n , m , k 成等差数列，不等式
n S 1＋k S 1≥m
S 2
总成立。

当且仅当k m n ==时取“＝”。

………13分
21．（本小题满分13分）
已知椭圆C ：22a x ＋22b
y ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为36，过右焦点F 且斜率为1的直线
交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点。

1）求直线ON （O 为坐标原点）的斜率K ON ；
2）对于椭圆C 上任意一点M ，试证：总存在角θ（θ∈R ）使等式：＝cos θ＋sin θ成立。

解： 1）设椭圆的焦距为2c ,因为36=a c ，所以有322
22=-a
b a ，故有2
23b a =。

从而椭圆C 的方程可化为：2
2
2
33b y x =+ ① ………2分 易知右焦点F 的坐标为（0,2b ）， 据题意有AB 所在的直线方程为：b x y 2-
= ② ………3分
由①，②有：032642
2
=+-b bx x ③
设),(),,(2211y x B y x A ，弦AB 的中点),(00y x N ，由③及韦达定理有：
.4
2
2,423200210b b x y b x x x -=-==+=
所以3
1
00-==
x y K ON ，即为所求。

………5分 2）显然OA 与OB 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM ，有且只有一对实数μλ,，使得等式μλ+=成立。

设),(y x M ，由1）中各点的坐标有：),(),(),(2211y x y x y x μλ+=，
所以2121,y y y x x x μλμλ+=+=。

………7分 又点在椭圆C 上，所以有2
2
212
213)(3)(b y y x x =+++μλμλ整理为
2212122222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ。

④
由③有：4
3,2232
2121b x x b x x =⋅=+。

所以 0
6936)(234)2)(2(332
222212*********=+-=++-=--+=+b b b b x x b x x b x b x x x y y x x ⑤
又A ﹑B 在椭圆上，故有2
2
22
222
12
13)3(,3)3(b y x b y x =+=+ ⑥
将⑤，⑥代入④可得：12
2=+μλ。

………11分 对于椭圆上的每一个点M ，总存在一对实数，使等式OB OA OM μλ+=成立，而
122=+μλ
在直角坐标系y o x --中，取点P （μλ,），设以x 轴正半轴为始边，以射线OP 为终边的角为θ，显然 θμθλsin ,cos ==。

也就是：对于椭圆C 上任意一点M ，总存在角θ（θ∈R ）使等式：＝cos θ＋sin θOB 成立。

………13分。