北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 1 正整数指数函数 正整数指数函数》优质课教案_3

正切函数的图像和性质教学设计
教学目标：掌握正切函数的图像及其画法，理解正切函数的性质，并能灵活应用解决相关的问题。

教学重点：正切函数的图像和正切函数的性质。

教学难点：正切函数的画法和正切函数的单调性与值域问题。

教学方法：引导学生完成本节课的目标。

教学过程：如下
1.复习回顾：
⑴ 正切线及其作法：
⑵ 正切函数的定义与周期：
2.课题导入：
前面，我们用正弦线画出了正弦函数的图像，本节课，我们用正切线画正切函数的图像。

（板书标题）
3.正切函数图像的画法：（思想：利用正切线的平移）
⑴ 画平面直角坐标系，并标出 （-2π，2
π）的区域。

⑵ 在坐标系左侧较远处作单位圆O 1 ，并将单位圆的第一和第四象限平分为8等分。

⑶ 作出各等分所对应的正切线，并平移到坐标系中相应的位置上。

⑷ 顺次连接各正切线的终点，得一个周期的正切函数的图像，如下图左。

⑸ 将该段图像向左、右延伸，得到整个定义域上的正切函数。

此时称其为正切曲线，如下图右。

⑹ 从图中可以看出，正切曲线被相互平行的直线 x =
2
π + πk (k ∈Z)所隔开，这些直线叫作正切曲线的渐近线，如下图右。

4.正切函数的性质：
⑴ 定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠
∈Z k k x R x x ,2,ππ ， 原因：正切函数在)(,2Z k k x ∈+=
ππ上无意义。

⑵ 值域：y ∈ R .
原因：当 ππk x +<
2 且 x 无限接近 ππk +2 时，tanx 无限增大； 当 ππk x +>
2 且 x 无限接近 ππk +2 时，tanx 无限减小；
⑶ 周期性：周期为 πk ，最小正周期为 π。

⑷ 奇偶性：
从诱导公式上看： tan(-x) = -tanx , 故为奇函数。

从正切图像上看： 图像关于原点O 对称，故为奇函数。

⑸ 单调性：
正切函数在每一个开区间（-ππ
k +2，ππ
k +2）(k ∈Z) 上是增加的。

思考：正切函数在整个定义域内是增加的吗？为什么？
回答：正切函数在每一个开区间（-
ππk +2，ππk +2）(k ∈Z) 上是增加的，但在整个定义域内不是增加的。

举例：取x 1 =
4
π ,x 2 = 43π ,显然，x 1 < x 2 ,但是 tanx 1 > tanx 2 .
5.学生动手： 请画出函数 y = tan ( x +
4
π) 的图像，并通过图像讨论该函数的性质。

解析：把y = tan x 的图像向左平移4π个单位，即得到y = tan ( x + 4π) 的图像。

⑴ 定义域：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈+≠+-≠∈Z k k x k x R x x ,443,ππππ且。

⑵ 值域：y ∈ R 。

⑶ 周期：π。

⑷ 奇偶性：非奇非偶函数。

⑸ 单调性：在每一个开区间（-ππk +43，ππk +4
）(k ∈Z) 上是增加的。

6.课堂练习：P39 练习（当堂做完并检查）
7.作业巩固：P39 第1题、第4题。