江苏高一高中数学期中考试带答案解析

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江苏高一高中数学期中考试
班级:___________ 姓名:___________ 分数:___________
一、填空题
1.已知集合,则.
2.已知幂函数的图象过点,则幂函数的解析式.
3.设函数的值域为,则该函数的定义域为.
4.已知函数,则函数图像恒过定点.
5.已知函数,则的值为.
6.已知函数,则.
7..
8.已知,则的大小关系为.(用“<”连结)
9.已知f(x)=mx2-2nx是定义在[m-1,n+2]上的偶函数,那么m+n的值是.
10.函数在区间上的最大值和最小值之和为.
11.函数的定义域为.
12.已知函数的一个零点比大,一个零点比小,则实数的取值范围.
13.若方程在区间上有解,则所有满足条件的的值的和为.
14.几位同学在研究函数时,给出了下面几个结论:
①函数的值域为;
②若,则一定有;
③在是增函数;
④若规定,,则对任意恒成立.
上述结论中正确的个数有________个.
二、解答题
1.求值:(1);
(2)已知,求.(用表示)
2.已知函数.
(1)证明:函数是常数函数;
(2)判断的奇偶性并证明.
3.已知集合.
(1)写出集合的所有真子集;
(2)当时,求;
(3)当时,求的取值范围.
4.高一某班共有学生人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元。

若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水,经测算和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其它费用元,其中,纯净水的销售价(元桶)与年购买总量(桶)之间满足如图直线所示关
系.
(1)求关于的函数关系式,并写出函数的定义域;
(2)若该班每年需要纯净水桶,请你根据提供的信息比较,该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用,哪一个更少?说明你的理由.
5.已知函数是定义在上的奇函数,当时,.
(1)求函数的解析式;
(2)①证明函数在上是单调递减函数;
②判断函数在上的单调性(不要证明);
(3)根据你对该函数的理解,作出函数的图像.(不需要说明理由,但要有关键特征,标出关键点)(本题可能使用到的公式:)
6.已知函数(为实常数).
(1)若,求的单调区间(直接写结果);
(2)若,设在区间的最小值为,求的表达式;
(3)设,若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.
江苏高一高中数学期中考试答案及解析
一、填空题
1.已知集合,则.
【答案】
【解析】集合A的补集为全集中不在集合A中的元素构成的集合,所以
【考点】集合的补集
2.已知幂函数的图象过点,则幂函数的解析式.
【答案】
【解析】设
【考点】幂函数
3.设函数的值域为,则该函数的定义域为.
【答案】
【解析】当时对应的的取值分别为,所以定义域为
【考点】函数定义域值域
4.已知函数,则函数图像恒过定点.
【答案】
【解析】令,定点为
【考点】指数函数性质
5.已知函数,则的值为.
【答案】6
【解析】
【考点】分段函数求值
6.已知函数,则.
【答案】
【解析】
【考点】函数解析式
7..
【答案】
【解析】
【考点】指数式运算
8.已知,则的大小关系为.(用“<”连结)
【答案】
【解析】
【考点】比较大小
9.已知f(x)=mx2-2nx是定义在[m-1,n+2]上的偶函数,那么m+n的值是.
【答案】-1
【解析】函数是偶函数,所以
【考点】函数奇偶性
10.函数在区间上的最大值和最小值之和为.
【答案】
【解析】函数在区间上是增函数,所以最小值为,最大值为
所以最大值和最小值之和为11
【考点】函数单调性与最值
11.函数的定义域为.
【答案】或
【解析】要使函数有意义,需满足或,所以定义域为或
【考点】函数定义域
12.已知函数的一个零点比大,一个零点比小,则实数的取值范围.【答案】
【解析】由函数图像可得
【考点】二次方程根的分布
13.若方程在区间上有解,则所有满足条件的的值的和为.
【答案】
【解析】由方程可令,y=lg|x|,y=-|x|+5,画出图象,
两个函数都是偶函数,所以函数图象的交点,关于y轴对称,因而方程lg|x|=-|x|+5在区间(k,k+1)
(k∈Z)上有解,一根位于(-5,-4),另一根位于(4,5),k的值为-5和4,则所有满足条件的k的值的和:-1
【考点】1.根的存在性及根的个数判断;2.函数与方程的思想;3.数形结合思想
14.几位同学在研究函数时,给出了下面几个结论:
①函数的值域为;
②若,则一定有;
③在是增函数;
④若规定,,则对任意恒成立.
上述结论中正确的个数有________个.
【答案】4
【解析】:①|x|<1+|x|,故,函数f(x)的值域为(-1,1),①正确;②函数是一个奇函数,当x≥0时,,判断知函数在(0,+∞)上是一个增函数,由奇函数的性质知,函数(x∈R)是一个增函数,故若,则一定有,此命题正确;③由②已证,故此命题正确;④当n=1,假设n=k时,成立,则n=k+1时,成立,由数学归纳法知,此命题正确
【考点】1.数学归纳法;2.函数的定义域及其求法;3.函数单调性的判断与证明
二、解答题
1.求值:(1);
(2)已知,求.(用表示)
【答案】(1)3 (2)
【解析】(1)指数式运算先将根式转化为分数指数幂,利用指数运算公式求解;(2)将所求对数式变形,进而将真数转化为2,3表示
试题解析:(1);
注:每化对一个根式得一分.
(2).
【考点】指数运算与对数运算
2.已知函数.
(1)证明:函数是常数函数;
(2)判断的奇偶性并证明.
【答案】(1)详见解析;(2)奇函数
【解析】(1)将函数解析式代入整理化简即可得证;(2)判断函数奇偶性首先判断定义域是否对称,在定义域对称的前提下判断哪一个正确
试题解析:(1);
(2)为奇函数.
证明:由题意,定义域为,
注:判断2分,定义域交代2分,证明4分
【考点】1.函数奇偶性;2.函数式化简
3.已知集合.
(1)写出集合的所有真子集;
(2)当时,求;
(3)当时,求的取值范围.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】(1)解一元二次方程求得集合A的元素,从而得到其真子集;(2)将代入集合B得到集合B的
范围,从而求解;(3)分两种情况求得集合B,由可得到关于的不等式,求解其范围试题解析:(1)因为,所以集合的所有真子集为;
(2)当时,,所以;
(3)因为,显然不满足题意;
当时,,所以,解得,
所以的取值范围是.
注:第(3)问少等号扣两分.
【考点】1.集合的子集;2.集合的交集运算;3.集合的子集关系
4.高一某班共有学生人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元。

若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水,经测算和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其它费用元,其中,纯净水的销售价(元桶)与年购买总量(桶)之间满足如图直线所示关
系.
(1)求关于的函数关系式,并写出函数的定义域;
(2)若该班每年需要纯净水桶,请你根据提供的信息比较,该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用,哪一个更少?说明你的理由.
【答案】(1)(2)饮用桶装纯净水的年总费用比购买饮料的年总费用少
【解析】(1)设出直线方程,根据题目中两组数据直接求出参数k,b,从而可得y关于x的函数关系式;
(2)分别比较两种方式花钱数量,判断哪一种花钱更少
试题解析:(1)设,
因为时,时,。

所以,解之得,,
所以关于的函数关系式为
由,得,所以定义域为;
注:定义域不写或错误扣2分
(2)该班学生买饮料每年总费用为(元),
当时,,
则该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为(元),
所以饮用桶装纯净水的年总费用少;
答:(1)关于的函数关系式为,其定义域为;
(2)饮用桶装纯净水的年总费用比购买饮料的年总费用少.
注:没有答扣1分
【考点】函数模型的选择与应用
5.已知函数是定义在上的奇函数,当时,.
(1)求函数的解析式;
(2)①证明函数在上是单调递减函数;
②判断函数在上的单调性(不要证明);
(3)根据你对该函数的理解,作出函数的图像.(不需要说明理由,但要有关键特征,标出关键点)(本题可能使用到的公式:)
【答案】(1)(2)①详见解析②单调递增(3)详见解析
【解析】(1)可设x<0,从而-x>0,从而可求出,再根据f(0)=0便可用分段函数写出f(x)的解析式;(2)①x∈(0,1)时,,求导数,从而根据导数符号便可得出f(x)
在(0,1)上为单调递减函数;②根据导数符号判断f(x)在[1,+∞)上的符号,从而得出其在[1,+∞)上的单
调性;(3)f(x)为奇函数,从而图象关于原点对称,并且图象过原点,根据f(x)在(0,+∞)上的单调性画
出其在(0,+∞)上的图象,再画出关于原点的对称图象即可
试题解析:(1);
(2)①证明:设,,
则,
因为,所以,
,则,
所以,即函数在上是单调递减函数.
②单调递增.
注:证明4分,判断2分,
(3)如图
注:其中点空圈,实圈1分,
(少一个或错一个不给分);
其中区间递减,区间递增2分,
(少一个或错一个不给分);
点为第一象限的最低点,点为第三象限的最高点.
(少一个或错一个不给分
【考点】1.函数奇偶性的性质;2.函数单调性的判断与证明
6.已知函数(为实常数).
(1)若,求的单调区间(直接写结果);
(2)若,设在区间的最小值为,求的表达式;
(3)设,若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.
【答案】(1)增区间为,,减区间为,(2)
(3)
【解析】(1)由a=1,将函数转化为分段函数,进而每一段转化为二次函数,用二次函数法求得每段的单调区间即可;(2)受(1)的启发,用二次函数法求函数的最小值,要注意定义域,同时由于a不具体,要根据对称轴分类讨论;(3)由“函数h(x)在区间[1,2]上是增函数”要转化为恒成立问题.可用单调性定义,也可用导数法
试题解析:(1)的单调增区间为,
的单调减区间为,…2分
注:区间除正,负无穷大外,其余端点可开可闭;有任何错误都不给分
(2)由于,当时,
当,即时,在为增函数,
当,即时,
当,即时,在为减函数,
综上可得
(3)在区间上任取、,且

(*)
∵在为增函数,∴
∴(*)可转化为对任意、且都成立,

当时,上式显然成立,
当时,,由,得,解得,
当时,,,得,
所以实数的取值范围是
【考点】1.函数的单调性及单调区间;2.函数单调性的性质;3.函数的最值及其几何意义。

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