2022年新高考数学一轮复习3.1函数的概念及其表示(讲)原卷版

专题3.1 函数的概念及其表示
【知识清单】
1．函数的概念
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
【考点分类剖析】
考点一 函数的概念
【典例1】【多选题】（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中，()f x 与g()x 不表示同一函数．．．．．．．的是（ ） A ．()
1f x x ，21()1
x g x x -=+
B ．()|1|f x x =+，1,1
()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨
--<-⎩
C ．()1f x =，0()(1)g x x =+
D ．()f x x =，2()g x =
【规律方法】
函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 【变式探究】
（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数1y x =+是相等函数的是（ ）
A ．2
y =
B ．1y =
C ．2
1x y x
=+
D ．1y =
【易混辨析】
1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．
2.从图象看，直线x=a 与图象最多有一个交点. 考点二：求函数的定义域
【典例2】（2019·江苏高考真题）函数y =_____.
【典例3】（2021·全国高一课时练习）（1）已知()y f x =的定义域为[0,1]，求函数2(1)y f x =+的定义域； （2）已知(21)y f x =-的定义域为[0,1]，求()y f x =的定义域； （3）已知函数()y f x =的定义域为[0,2]，求函数(2)
()21
f x
g x x =-的定义域． 【规律方法】
1.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 【变式探究】
1.函数1
()lg(1)
f x x =+ ）
A ．[2,2]-
B ．[2,0)(0,2]-
C ．(1,0)(0,2]-⋃
D ．(-1,2]
2．（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]- ，则(21)y f x =-的定义域是（ ） A ．[0,
5
2
] B ．[1,4]- C ．[5,5]- D ．[3,7]-
【特别提醒】
求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达． 高频考点三：求函数的解析式
【典例4】（2021·全国高一课时练习）已知f 1-
x x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭=x 2+21
x
，则函数f (x )=_______，f （3）=_______． 【典例5】（2021·全国高三专题练习）如图所示，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函数()f x 的解析式．
【规律方法】
1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．
2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．
3.已知求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求，用代入法、换元法或配凑法．
4.若与1
()f x
或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解． 【变式探究】
1.已知单调函数f(x)，对任意的x ∈R 都有f[f(x)−2x]=6，则f(2)=( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2．（2021·全国高一课时练习）已知二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=，()01f =．
()f x ()f x ()f x
（1）求()f x 的解析式．
（2）求()f x 在[]1,1-上的最大值． 考点四：求函数的值域 【典例6】函数()()1
0f x x x x
=+<的值域为（ ） A ．[)2,+∞
B ．(][),22,-∞+∞
C ．(],2-∞-
D ．R
【典例7】【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为(1,)+∞，值域为R ，则（ ）
A ．函数()
2
1f x +的定义域为R
B ．函数()
2
11f x +-的值域为R
C ．函数1x x e f e ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的定义域和值域都是R D ．函数(())f f x 的定义域和值域都是R
【典例8】（2021·浙江高一期末）函数y =_________，函数
23)y x x =>的值域为__________．
【规律方法】
函数值域的常见求法： (1)配方法
配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2
＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法
若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法． (3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性
①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即
若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )； 若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．
②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．
③形如y ＝x ＋k
x
(k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋
k x (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋k
x
(k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．
*(5)导数法
利用导函数求出最值，从而确定值域． 高频考点五：分段函数及其应用
【典例9】（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形ABCD 中，2AB =点M 从点A 出发，沿
A B C D A →→→→向，以每2个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动；点N 从点B 出发，沿B C D A →→→方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动.点M 与点N 同时出发，运动
时间为t (单位：秒)，AMN 的面积为()f t (规定,,A M N 共线时其面积为零，则点M 第一次到达点A 时，
()y f t =的图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【典例10】（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数2
1,0,
(),0.
x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩若()()12f x f x =，则12x x -的取值范围是__________．
【典例11】（2021·全国高一课时练习）对于任意的实数12,x x ，{}12min ,x x 表示12,x x 中较小的那个数，若
()22f x x =-，()g x x =，则集合()(){}x f x g x ==_______；()(){}min ,f x g x 的最大值是_______.
【典例12】（江苏高考真题）已知实数0a ≠，函数2,1
()2,1
x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若(1)(1)f a f a -=+，则a
的值为________ 【总结提升】
1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；
2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”. 【变式探究】
1.（2021·全国高一课时练习）已知a >1
2
，则函数f (x )=x 2+|x -a |的最小值是（ ） A ．a 2+1 B ．a +
34 C ．a -
12
D ．a -14
2.（2021·全国高一课时练习）已知函数f (x )2
32,1,
,1,
x x x ax x +≤⎧=⎨->⎩则f （1）=_______，若f (f (0))=a ，则实数a =_______.。