新北师大版高中数学必修1课件：第四章 §2 2.1 实际问题的函数刻画

题型一 题型二 题型三
题型三 易错辨析 易错点:应用问题中因题意理解不准确而致误 【例3】 WAP手机上网每月使用量在500 min以下(包括500 min), 按30元计费;超过500 min的部分按0.15元/min计费.假如上网时间过 短,即在1 min以下,则不计费,在1 min以上(包括1 min)60 min以下按 0.5元/min计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费. (1)写出上网时间x min与所付费用y元之间的函数关系式. (2)12月份小王WAP上网使用量为20 h,要付多少钱? (3)小王10月份付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多 少?
以f(x)也要分段求出,分别求出f(x)在各段中的最大值,通过比较,就
能确定f(x)的最大值.
题型一 题型二 题型三
解:(1)设月产量为 x 台,则总成本为(20 000+100x)元,
即
f(x)=
-
1 2
������2
+ 300������-20
000,0
≤
������
≤4Leabharlann 0,60 000-100������,������ > 400.
§2 实际问题的函数建模
2.1 实际问题的函数刻画
1.体会解决实际问题中建立函数模型的过程,进一步掌握常用的 函数模型.
2.能运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
1.实际问题的函数刻画 在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系,许多联系可以用函 数刻画.用函数的观点看实际问题,是学习函数的重要内容. 2.常用函数模型
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2已知一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如 图,则图像所对应的函数模型是( )
A.分段函数 B.二次函数 C.指数函数 D.对数函数 解析:根据图像知,在不同的时间段内,行驶路程关于时间变化的图 像不同,故对应函数模型应为分段函数. 答案:A
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3已知A,B两地相距150 km,某人开汽车以60 km/h的速度从A地到 达B地,在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地,把汽车离开A 地的距离x(km)表示为时间t(h)的函数关系式是( )
故每月生产300台仪器时,利润最大,最大利润为25 000元.
反思在函数建模中,二次函数模型占有重要的地位,利用二次函数
求最值时特别要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
题型一 题型二 题型三
【变式训练2】 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂 单价定为60元.该厂为鼓励经销商订购,决定当一次订购量超过100 个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价降低0.02元,但实际 出厂单价不能低于51元.
30 + 0.15(������-500),������ > 500.
(2)当x=20×60=1 200(min)时,x>500,
应付y=30+0.15×(1 200-500)=135(元).
(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500 min,由解析式可得上
网时间为900 min.
题型一 题型二 题型三
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好为51元? (2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数 P=f(x)的表达式. (3)当经销商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如 果订购1 000个,那么利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润= 实际出厂单价-成本)
【做一做】 某种产品每件定价80元,每天可售出30件,如果每件
定价120元,那么每天可售出20件.如果售出件数y(件)是定价x(元)的
一次函数,那么这个函数解析式为
.
解析:设解析式为y=kx+b(k≠0),
由
30 20
= =
������ ������
× ×
80 + ������, 120 + ������,
������ .
50
当 x≥550,且 x∈N 时,P=51.
60,0 < ������ ≤ 100,且������∈N,
所以 P=f(x)=
62-
������ 50
,100
<
������
<
550,且������∈N,
51,������ ≥ 550,且������∈N.
题型一 题型二 题型三
(3)设经销商的一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,
(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500 min,由解析式可得上
网时间为600 min.
错因分析:此题错解主要是对“超过500 min的部分按0.15元/min
计费”中的“超过部分”理解出错,产生了与事实相违的结论,如第(2)
小题上了1 200 min的网,要180元,是30元包月用500 min的6倍,而时
解析:从A地到达B地,用时150÷60=2.5(h),即0≤t≤2.5时,x=60t.在B 地停留1 h,即2.5<t≤3.5时,x=150.返回时用时150÷50=3(h),即
3.5<t≤6.5时,x=150-50(t-3.5),故选D. 答案:D
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4某水果市场规定,批发苹果不少于100 kg时,批发价为每千克2.5元,
题型一 题型二 题型三
解:(1)设零件的实际出厂单价恰好为51元时的订购量为x0个,
则
x0=100+
60-51 0.02
=
550,
因此,当一次订购量为
550
个时,零件的实
际出厂单价恰好为51元.
(2)当0<x≤100,且x∈N时,P=60.
当
100<x<550,且
x∈N
时,P=60-0.02(x-100)=62−
设拋物线对应函数的解析式为y=a(x-6)2+3(a≠0),
把 x=0,y=0 代入得 a=− 112,
∴y=−
1 12
(������
−
6)2
+
3.
当
x=10
时,y=−
1 12
(10
−
6)2
+
3
=
5 3
<
2.44.
∴球能射进球门.
题型一 题型二 题型三
题型二 分段函数模型
【例2】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生
(2)当 0≤x≤400 时,f(x)=-12(x-300)2+25 000,
所以当x=300时,f(x)在x∈[0,400]上有最大值25 000;
当x>400时,f(x)=60 000-100x是随x增大而减少的,f(x)<60 000-
100×400<25 000.
综上可知,当x=300时,f(x)的最大值为25 000.
【变式训练3】 国家规定个人稿费纳税办法是:不超过800元的
不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;
超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税.已知某人出版一本书,共纳
税420元,这个人应得稿费(扣税前)为
元.
解析:设扣税前应得稿费为x元,则应纳税额为分段函数,由题意,得
间上才2倍多,与事实不符;又如第(3)小题,用了90元,几乎是30元的3
倍,而上网时间才多了100 min,与事实不符.
题型一 题型二 题型三
正解:(1)设上网时间为x min,
由已知条件知所付费用y关于x的函数关系式为
0,0 < ������ < 1,
y=
0.5������,1 ≤ ������ < 60, 30,60 ≤ ������ ≤ 500,
0,������ ≤ 800, y= (������-800) × 14%,800 < ������ ≤ 4 000,
11%·������,������ > 4 000,
如果稿费为4 000元,那么应纳税为448元,现知某人共纳税420元, 所以稿费应在800~4 000元之间,
所以(x-800)×14%=420,所以x=3 800.
解得
1 ������ = - 4 , ������ = 50,
∴y=−
1 4
������
+
50(0
<
������
<
200).
答案:y=-14x+50(0<x<200)
题型一 题型二 题型三
题型一 二次函数模型的应用 【例1】 某商店购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30 元销售,那么可售出400件.如果销售单价每提高一元,那么销售量 Q(件)会减少20件.设每件商品售价x(元). (1)请将销售量Q表示成关于每件商品售价x的函数; (2)请问当售价x为多少时,才能使这批商品的总利润最大? 分析:(1)这是一次函数问题,由题意可得Q(x)的表达式为Q(x)=1 000-20x; (2)由题意可得y=(x-20)(1 000-20x),然后根据二次函数的性质求 最值.
则 L=(P-40)x=
20������,0 < ������ ≤ 100,且������∈N, 22������- ������2 ,100 < ������ < 550,且������∈N,
50
11������,������ ≥ 550,且������∈N.
当x=500时,L=6 000;当x=1 000时,L=11 000. 因此,当经销商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6 000元; 当经销商一次订购1 000个零件时,该厂获得的利润是11 000元.
题型一 题型二 题型三
错解:(1)设上网时间为x min,
0,0 < ������ < 1,
由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为 y=
0.5������,1 ≤ ������ < 60, 30,60 ≤ ������ ≤ 500,
0.15������,������ > 500.
(2)当x=20×60=1 200(min)时,x>500,应付y=0.15×1 200=180(元).
小王携带现金3 000元到市场采购苹果,并以批发价买进.如果购买
名称 一次函数模型
二次函数模型
解析式
y=kx+b
一般式:y=ax2+bx+c
顶点式:y=������
x+ b
2a
2 + 4ac -b2
4a
交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(抛物线与 x
轴的交点为(x1,0),(x2,0))
条件 k≠0
a≠0
名师点拨一次函数的函数模型,直线上升或下降,单位长度内增 长或减少量固定不变.二次函数的函数模型,当a>0时,先减后增;当 a<0时,先增后减.
答案:3 800
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1已知某自行车存车处某天的存车量为4 000辆次,存车费为:变速车 0.3元/辆次,普通车0.2元/辆次.若当天普通车存车数为x辆次,存车费 的总收入为y元,则y关于x的函数关系式为( ) A.y=0.2x(0≤x≤4 000) B.y=0.5x(0≤x≤4 000) C.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000) D.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000) 解析:由题意得y=0.2x+0.3(4 000-x)=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000). 答案:C
产一台仪器需增加投入100元,已知总收入满足函数:
R(x)=
400������-
1 2
������
2,0
≤ ������
≤
400,
80 000,������ > 400,
其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数f(x).
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大,最大利润为多少元?
分析:由已知可得“利润=总收入-总成本”.由于R(x)是分段函数,所
A.x=60t
B.x=60t+50t
C.x=
60������,0 ≤ ������ ≤ 2.5, 150-50������,������ > 3.5
60������,0 ≤ ������ ≤ 2.5,
D.x= 150,2.5 < ������ ≤ 3.5,
150-50(������-3.5),3.5 < ������ ≤ 6.5
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 在一场足球比赛中,一球员从球门正前方10 m处
将球踢起射向球门,当球飞行的水平距离是6 m时,球到达最高点,此
时球高3 m,已知球门高2.44 m,通过计算,试说明足球能否被踢进球
门.
解:建立如图所示的直角坐标系,由题意知,拋物线经过点(0,0),顶
点坐标为(6,3).
题型一 题型二 题型三
解:(1)当商品的售价为x元时,销售量为400-20(x-30)=1 000-20x, 则Q(x)=1 000-20x,x∈[30,50]. (2)总利润y=(x-20)(1 000-20x) =-20(x2-70x+1 000) =-20[(x-35)2-225](30≤x≤50), 当x=35时,y取得最大值4 500, 故当x=35时总利润最大. 反思这类问题,一般先根据题意建立函数关系,再利用一次函数 和二次函数的性质来解决实际问题.