八年级上册第五章相交线与平行线单元测试卷达标检测(Word版 含解析)

八年级上册第五章相交线与平行线单元测试卷达标检测（Word 版 含解析）
一、选择题
1．给出下列4个命题：①同旁内角互补；②相等的角是对顶角；③等角的补角相等；④两直线平行，同位角相等．其中，假命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．下列命题是真命题的是（ ）
A ．直角三角形中两个锐角互补
B ．相等的角是对顶角
C ．同旁内角互补，两直线平行
D ．若a b =，则a b =
3．如图，AD ∥CE ，∠ABC ＝95°，则∠2﹣∠1的度数是（ ）
A ．105°
B ．95°
C ．85°
D ．75° 4．如图，AB CD ∥，154FGB ∠︒＝，FG 平分EFD ∠，则AEF ∠的度数等于
（ ）．
A ．26°
B ．52°
C ．54°
D ．77°
5．如下图，下列条件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5，能判定AB ∥CD 的条件为（ ）
A ．①②③④
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③
6．如图，//,AD BC D ABC ∠=∠,点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ，点F 是边AB 上一点，使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线EG 交BH 于点G ，若100DEH ︒∠=，则BEG ∠的度数是（ ）
A．30︒B．40︒C．50︒D．60︒
7．两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（）
A．一对邻补角的平分线互相垂直 B．一对同位角的平分线互相平行
C．一对内错角的平分线互相平行 D．一对同旁内角的平分线互相平行
8．如图，直线l1∥l2∥l3，等腰Rt△ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠
ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则AB:BD的值为（）
A．4
2
5
B．
34
C．
5
2
8
D．
3
2
20
9．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（）
A．∠1+∠2−∠3=90°B．∠1−∠2+∠3=90°C．∠1+∠2+∠3=90°D．∠2+∠3−∠1=180°10．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°11．如图，A是直线l外一点，过点A作AB l
⊥于点B，在直线l上取一点C，连接AC，使2
AC AB
=，P在线段BC上，连接AP．若3
AB=，则线段AP的长不可能是（）
A．4B．5C．2D．5.5
12．如图，△ABC经平移得到△EFB，则下列说法正确的有（）
①线段AC 的对应线段是线段EB ；
②点C 的对应点是点B ；
③AC ∥EB ；
④平移的距离等于线段BF 的长度．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．如图，已知AD //BC ，BD 平分∠ABC ，∠A ＝112°，且BD ⊥CD ，则∠ADC ＝_____．
14．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ ∥MN ． 如图所示，灯A 射线从AM 开始顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线从BP 开始顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是每秒2度，灯B 转动的速度是每秒1度． 若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．
15．如图，在△ABC 中，6BC cm =，将△ABC 以每秒2cm 的速度沿BC 所在直线向右平移，所得图形对应为△DEF ，设平移时间为t 秒，若要使2AD CE =成立，则t 的值为_____秒．
16．如图,AB ∥CD,BF 平分∠ABE,DF 平分∠CDE,∠BFD=35°，那么∠BED 的度数为_______.
17．如图，AB //CD BED 110BF ，，∠=平分ABE DF ∠，平分CDE ∠，则BFD ∠= ______ ．
18．探究题：
(1)如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有_____对，同旁内角有_____对；
(2)如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有____对，内错角有___对，同旁内角有___对；
(3)根据以上探究的结果，n(n 为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有______对，内错角有_______对，同旁内角有______对．(用含n 的式子表示)
19．如图，AB ∥CD ，∠B ＝75°，∠E ＝27°，则∠D 的度数为_____．
20．如图，ABC ∆沿着由点B 到点E 的方向，平移到DEF ∆．若10BC =，6EC =，则平移的距离为__________．
三、解答题
21．感知与填空:如图①，直线//AB CD ，求证:B D BED ∠+∠=∠.
阅读下面的解答过程，并填上适当的理由，
解:过点E 作直线//EF CD ,
2D ∴∠=∠（ ） //AB CD (已知)，//EF CD ,
//AB EF ∴（ ）
1B ∴∠=∠（ ）
12BED ∠+∠=∠,
B D BED ∴∠+∠=∠（ ）
应用与拓展:如图②，直线//AB CD ，若22,35,25B G D ∠=︒∠=∠=︒.
则E F ∠+∠= 度
方法与实践:如图③，直线//AB CD ，若60,80E B F ∠=∠=︒∠=︒,则D ∠= 度.
22．如图，//AB CD ，EG 平分DEF ∠，FG 平分BFE ∠．
（1）求证：90EFG GEF ∠+∠=︒；
（2）在（1）问的条件下，过点G 作GH AB ⊥，垂足为H ，FGH ∠的平分线GI 交AB
于点I ，EGH ∠的平分线GJ 交AB 于点J ，求IGJ ∠的度数．
23．如图1，//PQ MN ，点A ，B 分别在MN ，QP 上，2BAM BAN ∠=∠射线AM 绕A 点顺时针旋转至AN 便立即逆时针回转，射线BP 绕B 点顺时针旋转至BQ 便立即逆时针回转．射线AM 转动的速度是每秒2度，射线BQ 转动的速度是每秒1度．
（1）直接写出QBA ∠的大小为_______；
（2）射线AM 、BP 转动后对应的射线分别为AE 、BF ，射线BF 交直线MN 于点F ，若射线BP 比射线AM 先转动30秒，设射线AM 转动的时间为t ()0180t <<秒，求t 为多少时，直线//BF 直线AE ？
（3）如图2，若射线BP 、AM 同时转动m ()090m <<秒，转动的两条射线交于点C ，作120ACD ∠=︒，点D 在BP 上，请探究BAC ∠与BCD ∠的数量关系．
24．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．
(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角： ；所有与∠C 相等的角： ．
(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ．
① 求∠B 的度数；
②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．
25．AB ∥CD ，点P 为直线AB ，CD 所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC 、∠A 、∠C 之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC 、∠A 、∠C 之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E 在射线BA 上，过点E 作EF ∥PC ，作∠PEG ＝∠PEF ，点G 在直线CD 上，作∠BEG 的平分线EH 交PC 于点H ，若∠APC ＝30°，∠PAB ＝140°，求∠PEH 的度数．
26．直线AB ∥CD ，点M ，N 分别在直线AB ，CD 上，点E 为平面内一点．
(1)如图①，探究∠AME ，∠MEN ，∠ENC 的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，∠AME =30°，EF 平分∠MEN ，NP 平分∠ENC ，EQ ∥NP ，求∠FEQ 的度数； （3）如图③，点G 为CD 上一点，∠AMN =m ∠EMN ，∠GEK =m ∠GEM ，EH ∥MN 交AB 于点H ，直接写出∠GEK ，∠BMN ，∠GEH 之间的数量关系(用含m 的式子表示)．
27．如图`，已知：直线AD BC ∥，且直线AB 、CD 与AD 、BC 分别交于A 、D 和B 、C 两点，点P 在直线AB 上．
(1)如图1,当点P 在A 、B 两点之间时(点P 不与点A 、B 重合)，探究ADP 、DPC ∠、BCP ∠之间的关系，并说明理由.
(2)若点P 不在A 、B 两点之间，在备用图中画出图形，直接写出ADP 、DPC ∠、BCP ∠之间的关系，不需说理．
28．将一副三角板中的两个直角顶点C 叠放在一起（如图①），其中30A ∠=︒，60B ∠=︒，45D E ∠=∠=︒.
（1）猜想BCD ∠与ACE ∠的数量关系，并说明理由；
（2）若3BCD ACE ∠=∠，求BCD ∠的度数；
（3）若按住三角板ABC 不动，绕顶点C 转动三角DCE ，试探究BCD ∠等于多少度时//CE AB ，并简要说明理由.
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据平行线的判定方法对①进行判断；据对顶角的定义对②进行判断；根据平行线的性质对④进行判断；根据补角的定义对③进行判断．
【详解】
两直线平行，同旁内角互补，所以①错误;
相等的角不一定是对顶角，所以②错误；
等角的补角相等，所以③正确；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以④正确；；
故选B.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质及判定，对顶角的性质等，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
分别利用直角三角形的性质、对顶角和平行线的判定方法以及绝对值的性质分析得出答案．
【详解】
解：A 、直角三角形中两个锐角互余，故此选项错误；
B 、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
C 、同旁内角互补，两直线平行，正确；
D 、若|a|=|b|，则a=±b ，故此选项错误；
故选C ．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．
3．C
解析：C
【分析】
直接作出BF ∥AD ，再利用平行线的性质分析得出答案．
【详解】
解：作BF ∥AD ，
∵AD ∥CE ，
∴AD ∥BF ∥EC ，
∴∠1=∠3，∠4+∠2=180°①，
∵∠3+∠4=95°，
∴∠1+∠4=95°②，
①-②，得
∠2-∠1=85°．
故选C ．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠1+∠4=95°，∠2+∠4=180°是解题关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质可得26GFD ︒∠= ,再根据角平分线的性质可得52ECD ︒∠=,因此可计算的AEF ∠的度数.
【详解】
解：∵AB CD ∥，
∴180FGB GFD ∠+∠=︒，
∴18026GFD FGB ∠=︒-∠=︒，
∵FG 平分EFD ∠，
∴252EFD GFD ∠=∠=︒，
∵AB CD ∥，
∴52AEF EFD ∠=∠=︒．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质.平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等；2.两直线平行，内错角相等；3.两直线平行，同旁内角互补. 角平分线的性质: 角平分线可以得到两个相等的角.
5．C
解析：C
【详解】
解：①∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB ∥CD ；
②∵∠1=∠2，
∴AD ∥BC ；
③∵∠3=∠4，
∴AB ∥CD ；
④∵∠B=∠5，
∴AB ∥CD ；
∴能得到AB ∥CD 的条件是①③④．
故选C ．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定，解题关键是合理利用平行线的判定，确定同位角、内错角、同旁内角. 平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行； 同位角相等，两直线平行.
6．B
解析：B
【分析】
AD ∥BC ，∠D=∠ABC ，则AB ∥CD ，则∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β，在△AEF 中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．
【详解】
解：设FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，
∠FEH 的角平分线为EG ，设∠GEH=∠GEF=β，
∵AD ∥BC ，∴∠ABC+∠BAD=180°，
而∠D=∠ABC ，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB ∥CD ，
∠DEH=100°，则∠CEH=∠FAE=80°，
∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，
在△AEF 中，
在△AEF 中，80°+2α+180-2β=180°
故β-α=40°，
而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，
故选：B ．
【点睛】
此题考查平行线的性质，解题关键是落脚于△AEF 内角和为180°，即100°+2α+180°-2β=180°，题目难度较大．
7．D
解析：D
【解析】试题分析：A 、两条平行线被第三条直线所截，一对邻补角的平分线互相垂直，故本选项正确；
B 、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，故本选项正确；
C 、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，故本选项正确；
D 、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，故本选项错误； 故选：D ．
8．A
解析：A 【解析】解：
如图，作3BF l ⊥， 3AE l ⊥，
∵090ACB ∠=，
∴090BCF ACE ∠+∠=，
∵090BCF CFB ∠+∠=，
∴ACE CBF ∠=∠，
在ACE ∆和CBF ∆中，
{BFC CEA
CBF ACE BC AC
∠=∠∠=∠=
∴ACE CBF ∆≅∆，
∴3,4CE BF CF AE ====，
∵1l 与2l 的距离为1， 2l 与3l 的距离为3，
∴1,7AG BG EF CF CE ===+=，
∴AB =
∵23//l l ， ∴14
DG AG CE AE ==， ∴1344DG CE =
=， ∴325744BD BG DG =-=-
=，
∴255
4
AB BD ==， 故选A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理等，构造全等三角形是解决本题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE ，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．
【详解】
∵EF ∥CD
∴∠3=∠COE
∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE
∵AB ∥EF
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补． 10．B
解析：B
【分析】
根据平行线的判定定理逐项判断即可．
【详解】
A 、当∠1＝∠3时，a ∥b ，内错角相等，两直线平行，故正确；
B 、∠2与∠3不是同位角，也不是内错角，无法判断，故错误；
C 、当∠4＝∠5时，a ∥b ，同位角相等，两直线平行，故正确；
D 、当∠2+∠4＝180°时，a ∥b ，同旁内角互补，两直线平行，故正确．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，熟记判定定理是解题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
根据题意计算出AC 的长度，由垂线段最短得出AP 的范围，选出AP 的长度不可能的选项即可．
【详解】
3AB =，
26AC AB cm ∴==，
结合垂线段最短，得：36AP ≤≤．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，熟记概念并求出对应线段的范围是解题关键．
12．D
解析：D
【分析】
根据平移的特点分别判断各选项即可．
【详解】
∵△ABC 经平移得到△EFB
∴点A 、B 、C 的对应点分别为E 、F 、B ，②正确
∴BE 是AC 的对应线段，①正确
∴AC ∥EB ，③正确
平移距离为对应点连线的长度，即BF 的长度，④正确
故选：D
【点睛】
本题考查平移的特点，注意，在平移过程中，一定要把握住对应点，仅对应点的连线之间才有平行、相等的一些关系．
二、填空题
13．124°
【分析】
先由平行线的性质求得∠ABC，然后根据角平分线的定义求得∠DBC，然后再根据平行线的性质求得∠ADB，最后结合BD⊥CD 即可求得∠ADC．
【详解】
解：∵AD//BC
解析：124°
【分析】
先由平行线的性质求得∠ABC，然后根据角平分线的定义求得∠DBC，然后再根据平行线的性质求得∠ADB，最后结合BD⊥CD即可求得∠ADC．
【详解】
解：∵AD//BC
∴∠ABC=180°-∠A=180°-112°=68°，
∵BD平分∠ABC，
∠ABC=34°
∴∠DBC=1
2
∵AD//BC
∴∠ADB=∠DBC=34°
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC=90°+34°=124°．
故答案为124°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、垂直的性质，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．
14．30或110
【分析】
分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B射线到达BQ之前）平行，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】
解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，
①当
解析：30或110
【分析】
分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B射线到达BQ之前）平行，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】
解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，
①当0＜t≤90时，如图1所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，则∠CAM＝∠BDA，
∴∠PBD＝∠CAM
有题意可知：2t＝30＋t
解得：t＝30，
②当90＜t＜150时，如图2所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＋∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，则∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD＋∠CAN＝180°，
∴30＋t＋（2t－180）＝180
解得：t＝110
综上所述，当t＝30秒或t＝110秒时，两灯的光束互相平行．
故答案为：30或110
【点睛】
本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分两种情况谈论．
15．2或6.
【解析】
【分析】
分两种情况：（1）当点E在C的左边时；（2）当点E在C的右边时.画出相应的图形，根据平移的性质，可得AD=BE，再根据AD=2CE，可得方程，解方程即可求解．
【详解】
解析：2或6.
【解析】
【分析】
分两种情况：（1）当点E在C的左边时；（2）当点E在C的右边时.画出相应的图形，根据平移的性质，可得AD=BE，再根据AD=2CE，可得方程，解方程即可求解．
【详解】
解：分两种情况：
（1）当点E在C的左边时，如图
根据图形可得：线段BE和AD的长度即是平移的距离，
则AD=BE，
设AD=2tcm，则CE=tcm，依题意有
2t+t=6，
解得t=2．
（2）当点E在C的右边时，如图
根据图形可得：线段BE和AD的长度即是平移的距离，
则AD=BE，
设AD=2tcm，则CE=tcm，依题意有
2t-t=6，
解得t=6．
故答案为2或6．
【点睛】
本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离．注意分类讨论．
16．70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥A
解析：70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥AB，
∴∠5=∠ABE，∠3=∠1，
又∵AB∥CD，
∴EG∥CD，FH∥CD，
∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=35°．
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，
∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×35°=70°．
故答案为70°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，根据题中的条件作出辅助线EG∥AB，FH∥AB，再灵活运用平行线的性质是解本题的关键．
17．【解析】
【分析】
首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得
EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED=110°，即可求得∠ABE+∠CDE=25
解析：125
【解析】
【分析】
首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED=110°，即可求得∠ABE+∠CDE=250°，又由BF
平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的性质，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两只线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数．
【详解】
过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD∥FN，
∴∠ABE+∠BEM=180°，∠CDE+∠DEM=180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，
∵∠BED=110°，
∴∠ABE+∠CDE=250°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABF=1
2
∠ABE，∠CDF=
1
2
∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF=1
2
（∠ABE+∠CDE）=125°，
∵∠DFN=∠CDF，∠BFN=∠ABF，
∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=125°．
故答案为125°
【点睛】
此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
18．(1)4，2，2；(2)12，6，6；(3)2n(n-1)，n(n-1)，n(n-1)
【解析】
试题分析：根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都
解析：(1)4，2，2；(2)12，6，6；(3)2n(n-1)，n(n-1)，n(n-1)
【解析】
试题分析：根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案．
试题解析：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有 2对，同旁内角有 2对．
（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有 12对，内错角有 6对，同旁内角有 6对．
（3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n（n-1）对，内错角有 n（n-1）对，同旁内角有n（n-1）对，
点睛：本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正
确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
19．48°
【分析】
将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．
【详解】
解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，
∵AB∥CD，∠B＝75°
解析：48°
【分析】
将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．
【详解】
解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，
∵AB∥CD，∠B＝75°，
∴∠EFC＝∠B＝75°，
又∵∠EFC＝∠D+∠E，且∠E＝27°，
∴∠D＝∠EFC﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，
故答案为：48°．
【点睛】
本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．
20．4
【分析】
观察图象，发现平移前后，B、E对应，C、F对应，根据平移的性质，易得平移的距离为BE=BC-EC=4，进而可得答案．
【详解】
由题意平移的距离为BE=BC-EC=10-6=4，
故答
解析：4
【分析】
观察图象，发现平移前后，B 、E 对应，C 、F 对应，根据平移的性质，易得平移的距离为BE=BC-EC=4，进而可得答案．
【详解】
由题意平移的距离为BE=BC-EC=10-6=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．任何一对对应点所连线段的长度都等于平移的距离．
三、解答题
21．两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；82；20
【分析】
感知与填空：根据平行公理及平行线的性质即可填写；
应用与拓展：根据感知与填空的方法添加辅助线即可得到∠E+∠F=∠B+∠G+∠D ，即可得到答案；
方法与实践：过点F 作平行线，用同样的思路证明即可得到∠D 的度数.
【详解】
感知与填空：
两直线平行，内错角相等；
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
两直线平行，内错角相等；
等量代换，
应用与拓展：如图，作GM ∥AB ，
由感知得：∠E=∠B+∠EGM,
∵AB ∥CD,GM ∥AB,
∴GM ∥CD,
∴∠F=∠D+∠FGM,
∴∠E+∠F=∠B+∠D+∠EGF,
∵22,35,25B EGF D ∠=︒∠=∠=︒,
∴∠E+∠F=82︒,
故答案为：82.
方法与实践：如图：作FM ∥AB ，
∴∠MFB+∠B=180︒,
∵60B ∠=︒,
∴∠MFB=180︒-∠B=120︒,
∵80F ∠=︒,
∴∠MFE=40︒,
∵∠E=∠MFE+∠D, 60E ∠=︒,
∴∠D=20︒,
故答案为：20.
【点睛】
此题考查平行公理的运用及平行线的性质定理，解此题的关键是理解感知部分的作线方法，得到的方法的总结，由此才能正确解答后面的问题.
22．（1）证明见解析；（2）45IGJ ∠=︒．
【分析】
（1）根据平行线的性质可得180DEF BFE ∠+∠=︒，再利用角平分线的定义即可得证； （2）过点G 作//GK AB ，则////AB GK CD ，根据平行线的性质可得DEG EGK ∠=∠，KGF GFB ∠=∠，再结合（1）的结论易得90EGK KGF ∠+∠=︒，利用角平分线的定义及垂线的定义即可求解．
【详解】
（1）证明：∵//AB CD ，
∴180DEF BFE ∠+∠=︒．
∵EG 平分DEF ∠，FG 平分BFE ∠，
∴22DEF GEF DEG ∠=∠=∠，22BFE EFG GFB ∠=∠=∠，
∴22180GEF EFG ∠+∠=︒，
∴90EFG GEF ∠+∠=︒．
（2）解：过点G 作//GK AB ．
∵//AB CD ，
∴////AB GK CD ，
∴DEG EGK ∠=∠，KGF GFB ∠=∠．
由（1）得90DEG GFB ∠+∠=︒，∴90EGK KGF ∠+∠=︒．
∵GH AB ⊥，
∴GH KG ⊥，即90KGH KGF HGF ∠=∠+∠=︒，
∴EGK HGF ∠=∠．
∵GJ 平分EGH ∠，
∴EGJ HGJ ∠=∠．
又KGJ EGJ EGK ∠=∠-∠，FGJ HGJ HGF ∠=∠-∠，
∴KGJ FGJ ∠=∠，
∴2KGF FGJ ∠=∠．
∵GI 平分HGF ∠，
∴2HGF FGI ∠=∠，
∴2290FGJ FGI ∠+∠=︒，即45FGJ FGI ∠+∠=︒，
∴45IGJ FGJ FGI ∠=∠+∠=︒．
【点睛】
本题考查平行线的性质、角平分线的定义等内容，掌握平行线的性质是解题的关键．
23．（1）60°；（2）当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，2BAC BCD ∠=∠．
【分析】
(1)根据2BAM BAN ∠=∠得到60BAN ∠=︒，再根据直线平行的性质即可得到答案；
(2)设灯转动t 秒，直线//BF 直线AE ，分情况讨论重合前平行、重合后平行即可得到答案；
(3)根据补角的性质表示出BAC ∠，再根据三角形内角和即可表示出BCD ∠，即可得到答案；
【详解】
解：（1）∵2BAM BAN ∠=∠
180BAM BAN ∠+∠=︒，
∴60BAN ∠=︒，
∴QBA ∠60BAN =∠=︒（两直线平行，内错角相等）
故结果为：60︒；
（2）设灯转动t 秒，直线//BF 直线AE ，
①当090t <<时，如图，
//PQ MN ，
PBF BFA ∴∠=∠，
//AE BF ，
EAM BFA ∴∠=∠，
EAM PBF ∴∠=∠，
21(30)t t ∴=⋅+，
解得30t =；
②当90180t <<时，如图，
//PQ MN ，180PBF BFA ∴∠+∠=︒，
//AE BF ，EAN BFA ∴∠=∠
180PBF EAN ∴∠+∠=︒，1(30)(2180)180t t ∴⋅++-=，
解得110t =，
综上所述，当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；
（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，
理由：设射线AM 转动时间为m 秒，
作//CH PQ ，//PQ MN ，////CH PQ MN ∴，
2180QBC ∴∠+∠=︒，1180MAC ∠+∠=︒，
21360QBC MAC ∴∠+∠+∠+∠=︒，
180QBC m ∠=︒-，2MAC m ∠=，
()123601802180BCA m m m ∴∠=∠+∠=---=︒︒-︒，
而120ACD ∠=︒，
()12012018060BCD BCA m m ︒︒∴∠=-∠=--=-︒︒，
1802CAN m ∠=︒-，
()18022120BAC QBA m m ︒︒∴∠=∠--=-，
:2:1BAC BCD ∴∠∠=，
即2BAC BCD ∠=∠，
BAC ∴∠和BCD ∠关系不变．
【点睛】
本题主要考查了补角、角的运算、直线平行的性质和判定以及三角形的内角和定理，结合图形添加辅助线、分类讨论是解题的关键．
24．(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30
【分析】
（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；
（2）①由三角形内角和定理可得90B C ∠+∠=︒，再由50C B ∠∠︒-=根据角的和差计算即可得∠C 的度数，进而得∠B 的度数．
②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x 的代数式表示出∠FDE 、∠DFE 的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x 值即可．
【详解】
（1）由翻折的性质可得：∠E ＝∠B ，
∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，
∴∠DFE ＝90°，
∴180°－∠BAC ＝180°－∠DFE ＝90°，
即：∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠FDE ＝90°，
∴∠C ＝∠FDE ，
∴AC ∥DE ，
∴∠CAF ＝∠E ，
∴∠CAF ＝∠E ＝∠B
故与∠B 相等的角有∠CAF 和∠E ；
∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，
∴∠BAF ＋∠CAF ＝90°, ∠CFA ＝180°－（∠CAF ＋∠C ）＝90°
∴∠BAF ＋∠CAF ＝∠CAF ＋∠C ＝90°
∴∠BAF ＝∠C
又AC ∥DE ，
∴∠C ＝∠CDE ，
∴故与∠C 相等的角有∠CDE 、∠BAF ；
（2）①∵90BAC ∠=︒
∴90B C ∠+∠=︒
又∵50C B ∠∠︒-=，
∴∠C ＝70°，∠B ＝20°;
②∵∠BAD ＝x °, ∠B ＝20°则160ADB x ∠︒︒=-,20ADF x ∠︒︒=+,
由翻折可知：∵160ADE ADB x ∠∠︒︒==-, 20E B ∠∠︒==,
∴1402FDE x ∠︒︒=-, 202DFE x ∠︒︒=+,
当∠FDE ＝∠DFE 时，1402202x x ︒︒︒︒-=+, 解得：30x ︒︒=；
当∠FDE ＝∠E 时，140220x ︒︒︒-=，解得：60x ︒︒=（因为0＜x ≤45，故舍去）； 当∠DFE ＝∠E 时，20220x ︒︒︒+=，解得：0x ︒＝（因为0＜x ≤45，故舍去）； 综上所述，存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．且30x =．
【点睛】
本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．
25．（1）∠A +∠C +∠APC ＝360°，证明详见解析；（2）∠APC ＝∠A −∠C ，证明详见解析；（3）55°．
【分析】
（1）首先过点P 作PQ ∥AB ，结合题意得出AB ∥PQ ∥CD ，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC ＝360°；
（2）作PQ ∥AB ，结合题意得出AB ∥PQ ∥CD ，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC ＝∠A −∠C ；
（3）由（2）知，∠APC ＝∠PAB −∠PCD ，先利用平行线性质得出∠BEF ＝∠PQB ＝110°，然后进一步得出∠PEG ＝12∠FEG ，∠GEH ＝12
∠BEG ，最后根据∠PEH ＝∠PEG −∠GEH 即可得出答案．
【详解】
（1）∠A+∠C+∠APC ＝360°，证明如下：
如图1所示，过点P 作PQ ∥AB ，
∴∠A+∠APQ ＝180°，
又∵AB ∥CD ，
∴PQ ∥CD ，
∴∠C+∠CPQ ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ ＝360°，
即∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：
如图2所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，
∴∠APC＝∠A−∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝1
2
∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝1
2
∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH
＝1
2
∠FEG−
1
2
∠BEG
＝1
2
∠BEF
＝55°．
【点睛】
本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
26．（1）∠MEN=∠AME+∠ENC，见解析；（2）∠FEQ=15°；（3）∠BMN+∠GEK-
m∠GEH=180°．
【分析】
（1）过点E作l∥AB，利用平行线的性质可得∠1=∠BME，∠2=∠DNE，由∠MEN=∠1+∠2，等量代换可得结论；
（2）利用角平分线的性质可得∠NEF=1
2
∠MEN，∠ENP=
1
2
∠END，由EQ∥NP，可得
∠QEN=∠ENP=1
2
∠ENC，由（1）的结论可得∠MEN=∠AME+∠ENC，等量代换得出结论；
（3）由已知可得∠EMN=1
m
∠BMN，∠GEN=
1
m
∠GEK，由EH∥MN，可得
∠HEM=∠ENM=
1
m
∠AMN，因为∠GEH=∠GEM-∠HEM，等量代换得出结论．【详解】
解：(1)过点E作l∥AB，
∵AB∥CD，∴l∥AB∥CD
∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE．
∵∠MEN=∠1+∠2，
∴∠MEN=∠AME+∠ENC；
（2）∵EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，
∴∠NEF=1
2
∠MEN，∠ENP=
1
2
∠ENC．
∵EQ∥NP，∴∠QEN=∠ENP=1
2
∠ENC．
由（1）可得∠MEN=∠AME+∠ENC，∴∠MEN-∠ENC=∠AME=30°．
∴∠FEQ=∠NEF-∠NEQ=1
2
（∠MEN-∠ENC）=
1
2
×30°=15°；
(3)∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．理由如下：∵∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，
∴∠EMN=1
m
∠AMN，∠GEM=
1
m
∠GEK．
∵EH∥MN，∴∠HEM=∠EMN=1
m
∠AMN．
∵∠GEH=∠GEM-∠HEM=1
m
∠GEK-
1
m
∠AMN，
∴m∠GEH=∠GEK-∠AMN．∵∠BMN+∠AMN=180°，
∴∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，平行公理以及角平分线的定义等知识点，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．
27．（1）∠ADP+∠BCP=∠DPC，理由见解析；（2）∠ADP=∠DPC+∠BCP，理由见解析【分析】
（1）过P作直线PQ∥AD，交CD于点Q，根据平行线的性质进行推理；
（2）过P作直线PQ∥AD，交CD于点Q，根据平行线的性质进行推理；
【详解】
解：（1）过P作直线PQ∥AD，交CD于点Q，
∵AD∥BC，
∴PQ∥AD∥BC，
∴∠ADP=∠DPQ，∠BCP=∠CPQ，
∴∠ADP+∠BCP=∠DPC；
（2）∠ADP=∠DPC+∠BCP.
过P作直线PQ∥AD，交CD于点Q，
∵AD∥BC，
∴PQ∥AD∥BC，
∴∠ADP=∠DPQ=∠DPC+∠CPQ，∠BCP=∠CPQ，
∴∠ADP=∠DPC+∠BCP.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质得出角的和差关系是解题的关键.
28．（1）180BCD ACE ∠+∠=︒，理由详见解析；（2）135°；（3）BCD ∠等于150︒或30时，//CE AB .
【分析】
（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD ，即可得到∠BCD+∠ACE 的度数；
（2）设∠ACE=α，则∠BCD=3α，依据∠BCD+∠ACE=180°，即可得到∠BCD 的度数； （3）分两种情况讨论，依据平行线的性质，即可得到当∠BCD 等于150°或30°时，CE//4B.
【详解】
解：（1）180BCD ACE ∠+∠=︒，理由如下：
90BCD ACB ACD ACD ∠=∠+∠=︒+∠，
∴90BCD ACE ACD ACE ∠+∠=︒+∠+∠9090180=︒+︒=︒；
（2）如图①，设ACE α∠=，则3BCD α∠=，
由（1）可得180BCD ACE ∠+∠=︒，
∴3180αα+=︒，
∴45α=，
∴3135BCD α∠==︒；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当//AB CE 时，180120BCE B ∠=︒-∠=︒， 又
90DCE ∠=︒，
∴36012090150BCD ∠=︒-︒-︒=︒；
②如图2所示，当//AB CE 时，60BCE B ∠=∠=︒， 又90DCE ∠=︒，
∴906030BCD ∠=︒-︒=︒.
综上所述，BCD ∠等于150︒或30时，//CE AB .
【点睛】
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键.。