湖南省张家界市高一数学下学期期末联考试题(A卷,含解析)

张家界市2018年普通高中一年级第二学期期末联考
数学试题卷（A）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置．
1. 设集合则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可
详解：由A中不等式变形得：(x−1)(x−2)<0，
解得：1<x<2,即A=(1,2)，
由B中不等式解得：x>,即B=(,+∞)，
则A∩B=(,2)，
故选：D.
点晴：集合是每年高考必考的内容，且属于必拿分题目。

注意不等式的解法，注意集合交并补的运算，
2. 在三角形中，内角所对的边分别为，若，则角
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：利用正弦定理列出关系式，将a，sinB，b的值代入求出sinA的值，即可确定出A的度数．
详解：在三角形中，知，
∴由正弦定理得：
，
∵，∴，
∴
点晴：三角形正弦定理余弦定理的选取上注意观察，另外在算出正弦值的基础上判断角，需
要注意角的范围
3. 数列的一个通项公式是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：观察数列的前即项可知写为，即可知道答案
详解：”因为数列的前即项可知写为，
则可知其一个通项公式是，也可以通过验证法排除得到选项C。

或者运用递推关系式，累加法得到结论。

故选C。

点晴：解决该试题的关键是理解给出的前几项与项数之间的关系，然后归纳推理得到结论，体现了数列的归纳猜想思想的运用。

4. 若直线不平行于平面，则下列结论成立的是
A. 内的所有直线都与直线异面
B. 内不存在与平行的直线
C. 内的所有直线都与相交
D. 直线与平面有公共点
【答案】D
【解析】∵直线a不平行于平面α，
∴直线a与平面α相交，或直线a在平面α内．
∴直线α与平面α有公共点．
故选D．
点睛：直线不平行于平面包含两种情况，即直线a与平面α相交，或直线a在平面α内，同学们往往误认为只用一种情况：直线a与平面α相交，导致错误，要熟练掌握直线与平面的位置关系，包含三种情况.
5. 直线与直线平行，则两直线间的距离为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先根据两直线平行，算出m的值，然后利用两平行直线间距离公式进行计算详解：∵与平行，
∴，
∴m=9.
将直线化为2x+3y+4=0，
故其距离 .
故选B.
点晴：两直线平行于垂直的关系需要求掌握，另外在两平行直线间距离公式的运算过程中首先确保相应的x和y的系数需相等”
6. 下列函数中，最小值为的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分析：利用基本不等式的性质依次分析4个选项函数的最小值即可得到答案
详解：根据基本不等式可得
A: 由于lg x≠0, ⩾2或⩽−2，舍去
B: 由于2x>0,则⩾2，故B正确
C: ⩾2，当且仅当方程无解
D: 由0<x<可得,0<sin x<1,y=，当且仅当sin x=1时取最小值，故无最小值
故选B
点晴：运用均值不等式注意三个条件：1正，2定，3相等
7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的组合体的三视图，则该几何体的表面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由三视图可知，该几何体是同底面的一个圆柱和一个圆锥组成的，从而图中的数据可得底面半径r、圆柱高h以及圆锥的母线长l；
接下来，利用公式分别求出底面面积、圆柱的侧面积以及圆锥侧面积，三者相加即为该几何体的表面积.
详解：由三视图可得，原几何体是由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成，
其底面半径r==2，圆柱高h=4，圆锥母线长l=；
所以底面面积S1=π×22=4π，
圆柱的侧面积S2=2π×2×4=16π，
圆锥侧面积S3=12×2×π×2×4=8π，
故表面积S=S1+S2+S3=4π+16π+8π=28π.
点晴：本题是一道利用三视图求几何体表面积的题目，解答本题首先需要确定立方体的形状；
8. 《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益攻疾（注：从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一个月（按30天计）共织390尺布，则从第二天起每天比前一天多织尺布.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m
则由题意知，
解得d=．
故选：D．
9. 设为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形为圆心的面积的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由圆的方程为求得圆心C（1，1）、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．
详解：∵圆的方程为：
∴圆心C（1，1）、半径r为：1
根据题意，若四边形面积最小
当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，
切线长PA，PB最小
圆心到直线的距离为d=2
∴|PA|=|PB|=
∴
故选C．
点晴：本题主要考察直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时还
考察了转化思想，属于中档题
10. 某海轮以每小时30海里的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东，海轮向北航行40分钟后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达点，则两点的距离为(单位：海里)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由题意可得△PBC为直角三角形，其中∠PBC=90°，BC易求，所以要求PC转求PB，解△PAB需构造直角三角形，因此过P作AB的垂线．
详解：过P作AB的垂线，垂足为E，
由题意得∠APB=∠ABP=30°.
∴AP=AB=30×=20.
在Rt△PAE中,PE=AP⋅sin60°=10 ,
在Rt△PBE中,PB= =20,
由已知可得∠PBC=90°,BC=30×=40，
∴Rt△PBC中,PC= =20 (海里).
点晴：本题考查的内容为解三角形问题的实际应用，注重正余弦定理的应用，正确画出草图，标上已知的边和选，选用正确的公式
11. 已知数列满足则该数列的前18项和为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析; 由已知条件推导出数列{a2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，由此能求出数列的前18项的和．
详解：∵数列{an}满足，
∴a3=2，
a4=(1+cos2π)a2+sin2π=2a2=4.
一般地,当n=2k−1(k∈N∗)时，
即−=1.
∴数列{}是首项为1、公差为1的等差数列，
∴=k.
当n=2k(k∈N∗)时,
∴数列{}是首项为2、公比为2的等比数列，
∴=2k.
∴数列的前18项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32+6+64+7+128+8+256+9+512=1067.
故选B
点晴：本题给出数列的隔项递推关系式，我们需要对n取值为奇偶进行分析，然后找出关系进行解决问题。

12. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用原料3吨，原料2吨，生产每吨乙产品要用原料1吨，原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元.若该企业在一个生产周期内消耗原料不超过13吨，原料不超过18吨，该企业一个生产周期可获得的最大利润是(单位：万元)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．
详解：设该企业生产甲产品为x吨,乙产品为y吨,则该企业可获得利润为z=5x+3y,且
联立解得
由图可知,最优解为P(3,4)，
∴z的最大值为z=5×3+3×4=27(万元).
故选C.
点晴：本题主要考察线性规划问题的实际应用，首先需要把提上的信息转化为不等式组，然后利用线性规划问题求最值问题，画出可行性及目标函数即可
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上.
13. 圆的圆心为点，且经过点，则圆的方程为______________.
【答案】
【解析】分析：根据圆心到点A的距离算出半径，根据圆心及半径得出结论
详解：圆的圆心为点，且经过点
即半径r=5
根据圆的标准方程即可得出圆C的方程为：
点晴：本题属于基础题，求圆的方程时我们需要知道圆的圆心坐标及半径即可
14. 在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为____________. 【答案】
【解析】分析：根据直线和平面所成角的定义即可得到结论．
详解：连结AC，
则AC是A1C在平面ABCD上的射影，
则∠A1CA即为直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值，
设正方体的棱长为1，
则，
则，
点晴：本题需要先找出线面角所成角的平面角，然后放在三角形中进行解决即可
15. 一牧羊人赶着一群羊通过4个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下3只羊，则牧羊人在过第1个关口前有_________只羊.
【答案】18
【解析】分析：根据题意，记此牧羊人通过第一个关口前、通过第二个关口前、…、通过第四个关口前剩下的羊只数能组成数列{a n}（n=1，2，3，4），则问题转化为求a1；
结合题中信息可得a2=a1+1，a3=a2+1，a4=a3+1，结合“过完这些关口后，只剩下3只羊”求出a4，进而求出a1.
详解：记此牧羊人通过第一个关口前、通过第二个关口前、…、通过第四个关口前剩下的羊只数能组成数列{a n}（n=1，2，3，4），
则由题意得a2=a1+1，a3=a2+1，a4=a3+1，
而a4+1=3，
解得a4=4，
因此得a1=18.
点晴：认真读题，根据牧羊人过关口剩下的羊的只数的特点可以建立数学模型，将问题转化为数列问题进行解答；
【答案】 (1). (2). 4
【解析】分析：由结合余弦定理可算出的值，然后将，将切化弦即可解决问题
详解：
由余弦定理可得
，即
点晴：本题主要考察利用余弦定理解决问题，找出边的关系，在高中阶段，遇到切的问题需要利用同角三角函数基本关系式转化为弦的问题
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知直线和互相垂直.
（1）求实数的值；
（2）求两直线的交点坐标.
【答案】（1）；（2）
【解析】分析：（1）利用两直线垂直的关系即可解决问题；（2）两直线联立即可
详解：（1）由，得
（2）交点坐标为(-1,0)
点晴：在斜率存在的情况下，两直线平行，即斜率相等，还需注意截距不等；两直线垂直，即斜率之积为-1
18. 中，内角所对的边分别为，若
（1）求边的值；
（2）求的值.
【答案】（1）2；（2）
详解：（1）由余弦定理得，
得
（2）由题可得
点晴：本题考察正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和与差的余弦函数，考察知识较多，相对较综合。

19. 已知等差数列中，公差是和的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】分析：（1）结合，是和的等比中项。

算出即可得出结论；（2）通过（1）可知b n=|11-n|，通过去绝对值符号可知当n≤11时b n=11-n，当n≥12时b n=n-11，
进而计算可得结论．
详解（1）由题意，
，，得
从而
（2）由（1）知，
①当时，,
②当记数列的前项和为，则
综上得，
点晴：（1）利用等差数列的通项公式即可得出结论；
（2）对含绝对值问题，是高中数学数列中一个难点，需要进行分类讨论，结果写出一个分段数列即可
20. 某投资公司计划投资两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资金额的函数关系为，产品的利润与投资金额的函数关系为（注：利润与投资金额单位：万元）.
（1）该公司现有100万元资金，并计划全部投入两种产品中，其中万元资金投入产品，试把两种产品利润总和表示为的函数，并写出定义域；
（2）怎样分配这100万元资金，才能使公司的利润总和获得最大？其最大利润总和为多少万元.
【答案】（1）；（2）28万元
【解析】试题分析：1）其中x万元资金投入A产品，则剩余的100-x（万元）资金投入B产品，根据A产品的利润与投资金额x的函数关系为，B产品的利润与投资金
额x的函数关系为，可得利润总和；（2）由函数解析式f （x）＝38－－（x∈[0，100]）的特点，可利用基本不等式求解最值
试题解析：（1）其中x万元资金投入A产品，则剩余的100－x（万元）资金投入B产品，
利润总和f （x）＝18－＋
＝38－－（x∈[0，100]）
（2）∵f （x）＝40－，x∈[0，100]，
∴由基本不等式得：
当且仅当时，即x＝20时等号成立
答：分别用20万元和80万元资金投资A、B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，
最大利润为28万元．
考点：1．函数模型的实际应用；2．均值不等式求最值
21. 如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，
.
（1）证明：平面；
（2）若的面积为，求四棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可．
详解：(1)
又平面，平面，平面
又，从而
从而
四棱锥的体积
点晴：（1）空间立体中的平行于垂直的判定定理需要大家熟记在心，另外在书写答案时注意扣分点；（2）注意椎体和柱体求体积的区别
22. 已知圆与直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）求直线截圆所得弦的长；
（3）过点作两条直线与圆相切，切点分别为，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】分析：（1）设出圆的方程，由直线和圆相切的条件，求得半径，即可得到圆的方程；（2）求出圆心到直线的距离，运用直线和圆相交的弦长公式，即可得到；
（3）判断出C，M，N，G四点共圆，求出圆的方程，再与圆C方程相减，即可得到相交弦方程．
详解：(1)由题意知，
所以圆的方程为
（2）由题意，圆心到的距离,
（3）由题意知，
其方程为
又在圆，两式相减得
即直线的方程为.
点晴：本题主要考察直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，这块内容在解析几何中属于核心内容，学生们需要关注几何方法和代数方法，几何方法需要转化，计算量相对较小，代数方法计算量较大。